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Cap´ıtulo 1
Teor´ıa de anillos
1.1. Definici´on de anillo
Un anillo intuitivamente no es m´as que un conjunto en el que podemos sumar, restar y multiplicar con las propiedades habituales excepto que la multiplicaci´on no tiene por qu´e ser conmutativa, aunque esta salvedad no se considerar´a en este curso.
Definici´on: Un anillo, A, es un conjunto dotado con dos operaciones cerradas, ⊕ y ⊗ (suma y multiplicaci´on), de modo que se verifican las siguientes propiedades: i) A es un grupo abeliano con respecto a ⊕. ii) ⊗ es una operaci´on asociativa en A. iii) Se cumplen las leyes distributivas (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c) y c ⊗ (a ⊕ b) = (c ⊗ a) ⊕ (c ⊗ b). Si adem´as ⊗ es una operaci´on conmutativa se dice que A es un anillo conmutativo, y si ⊗ tiene elemento neutro, se dice que A es un anillo con unidad.
Observaci´on: Que las operaciones sean cerradas simplemente quiere decir que al efec- tuarlas siempre el resultado estar´a en A. Con la notaci´on habitual, que seguiremos en lo posible aqu´ı, se escribe 0 para indicar el elemento neutro de ⊕ y 1 para indicar el de ⊗. Adem´as se suelen utilizar las notaciones de la suma y producto habituales: + y · (muchas veces omitida). Se dice que 1 es la unidad del anillo, y en general con la terminolog´ıa al uso se llama unidades (o elementos invertibles) a todos los los elementos con inverso respecto de ⊗.
Como se ve, incluso para leer la primera definici´on es necesario saber qu´e es un grupo. Y, en general, es un requisito indispensable para este curso cierto conocimiento de la teor´ıa de grupos. Como una concesi´on de primera p´agina, recordaremos al menos la definici´on.
Definici´on: Un grupo, G, es un conjunto dotado con una operaci´on cerrada, ∗, tal que se verifican las siguientes propiedades: i) ∗ es asociativa: g ∗ (h ∗ f ) = (g ∗ h) ∗ f. ii) Existe el elemento neutro: ∃e ∈ G : e ∗ g = g ∗ e = g ∀g ∈ G. iii) Existe el elemento inverso: ∀g ∈ G ∃h ∈ G : h ∗ g = g ∗ h = e.
2 TEOR´IA DE ANILLOS
Ya hemos insinuado que en este curso s´olo aparecer´an anillos conmutativos. Esta es´ una excusa como cualquier otra para introducir una nueva definici´on que especifica m´as el concepto de anillo.
Definici´on: Se dice que un anillo conmutativo con unidad es un dominio de integridad si a · b = 0 ⇒ a = 0 ´o b = 0 para cualquier par de elementos a, b.
Observaci´on: Cuando un anillo no es un dominio de integridad, a los elementos no nulos a y b con a · b = 0, se les llama divisores de cero. Estos constituyen el obst´´ aculo para poder simplificar en una igualdad (propiedad de cancelaci´on). Concretamente, s´olo podemos deducir x = y a partir de ax = ay si a no es un divisor de cero.
Siempre que se estudian estructuras algebraicas abstractas surge en nuestra mente el lejano soniquete de nuestra infancia: “¿y por qu´e?”, “¿y para qu´e?”. Una posible primera respuesta es la econom´ıa de medios. Por ejemplo, la teor´ıa de grupos da un marco general que permite hallar los grupos cristalogr´aficos, resolver el cubo de Rubik, dar una demostraci´on r´apida del peque˜no teorema de Fermat, clasificar part´ıculas en f´ısica cu´antica o adivinar la ´ultima carta de nuestro adversario jugando a la escoba. El concepto de grupo abstrae cierta noci´on gen´erica de simetr´ıa que podemos aplicar en diferentes problemas. Aunque la unificaci´on de la esencia de varios ejemplos importantes es hist´oricamente responsable de la creaci´on de la mayor´ıa de las estructuras algebraicas, no se agotan ah´ı las razones para su estudio. La mayor´ıa de los matem´aticos situar´ıan a la est´etica como gu´ıa directora. A pesar de que no tenga una “utilidad” clara disponer de una lista de todos los grupos simples, es algo natural, como en otro ´ambito lo es colocar los libros en una estanter´ıa.
Despu´es de esta inyecci´on de fe ciega, veamos unos cuantos ejemplos.
Ejemplo. Z es un anillo conmutativo con unidad, de hecho un dominio de integridad.
Ejemplo. {a + b
2 : a, b ∈ Z} es un dominio de integridad.
Ejemplo. Los enteros pares (divisibles por dos, negativos incluidos) conforman un anillo conmutativo pero no un anillo con unidad.
Ejemplo. {z ∈ C : 12 <z, 12 =z ∈ Z} es un anillo conmutativo pero no un anillo con unidad. (Aqu´ı y en lo sucesivo los s´ımbolos = y < se emplear´an para indicar las partes imaginaria y real, respectivamente).
Ejemplo. Z 6 , esto es, las clases de restos m´odulo 6 es un anillo conmutativo con unidad pero no un dominio de integridad porque 2 · 3 = 0.
Ejemplo. Los matrices reales 2 × 2 forman un anillo, pero no un anillo conmutativo.
4 TEOR´IA DE ANILLOS
Nota: Aunque no lo haremos aqu´ı, es posible probar la unicidad de esta expresi´on.
Demostraci´on: Sea P ∈ A[x 1 , x 2 ,... , xn] sim´etrico. Apliquemos el siguiente algoritmo:
- Seleccionar el monomio kxα 1 1 xα 2 2... xα nn (algunos αi pueden ser nulos) que tiene mayor grado en x 1 , si todav´ıa hubiera varios esc´ojase entre ellos el de mayor grado en x 2 y si hubiera varios el de mayor grado en x 3 , etc. Por la simetr´ıa de P se tiene α 1 ≥ α 2 ≥ · · · ≥ αn.
- Sea Q = P − kσα 1 1 −α^2 σα 2 2 −α^3... σα nn. Entonces P = kσα 1 1 −α^2 σα 2 2 −α^3... σα nn + Q y ahora se repite todo el proceso con Q hasta llegar a Q = 0. Obs´ervese que el monomio selecionado en 1) no aparece en Q y que el algoritmo siempre termina porque al aplicarlo sucesivas veces o bien el grado en x 1 se ha reducido o ha quedado igual, y en este ´ultimo caso el grado en x 2 se habr´a reducido o habr´a quedado igual, etc. 2
El teorema anterior tiene gran importancia hist´orica en el desarrollo de la teor´ıa de Galois y la teor´ıa de grupos en general. Para ilustrar su inter´es demostraremos el siguiente resultado
Corolario 1.1.3 Sean α 1 , α 2 ,... , αn ∈ C. Si P = (x − α 1 )(x − α 2 )... (x − αn) pertenece a Q[x], entonces para cualquier Q ∈ Q[x] el polinomio PQ = (x − Q(α 1 ))(x − Q(α 2 ))... (x − Q(αn)) tambi´en pertenece a Q[x].
Demostraci´on: Los coeficientes de PQ son an−k = (−1)kσk
( Q(α 1 ), Q(α 2 ),... , Q(αn)
)
. Conside- rando los αi como variables, an−k define un polinomio sim´etrico de Q[α 1 , α 2 ,... , αn], que por el teorema anterior se puede escribir como un polinomio con coeficientes racionales evaluado en σ 1 (α 1 , α 2 ,... , αn), σ 2 (α 1 , α 2 ,... , αn),... etc, y estas ´ultimas cantidades son racionales porque coinciden, salvo un signo, con los coeficientes de P. 2
Por ejemplo, de este resultado se deduce que como 3
√ 2 es ra´ız de P = x^3 − 2, entonces para cada a, b, c ∈ Z, a 3
√ 22 + b 3
√ 2 + c tambi´en es ra´ız de un polinomio de grado 3 en Z[x]. Una demostraci´on directa (hallando el polinomio), ser´ıa muy farragosa.
Una vez que tenemos anillos podemos considerar aplicaciones entre ellos que respeten las operaciones. La notaci´on rococ´o es la misma que en teor´ıa de grupos, y ya deber´ıa ser conocida.
Definici´on: Sean A y B anillos con unidad. Un homomorfismo de anillos es una funci´on φ : A −→ B que respeta la suma, la multiplicaci´on y el elemento unidad, esto es,
i) φ(a 1 + a 2 ) = φ(a 1 ) + φ(a 2 ) ii) φ(a 1 a 2 ) = φ(a 1 )φ(a 2 ) iii) φ(1A) = 1B.
Nota: Para anillos sin unidad, y a veces en general, la condici´on iii) se suprime.
Definici´on: i) Si φ es inyectiva se dice que es un monomorfismo. ii) Si φ es sobreyectiva se dice que es un epimorfismo. iii) Si φ es biyectiva se dice que es un isomorfismo. iv) Si φ es biyectiva y A = B se dice que es un automorfismo.
Si f : A −→ B es un homomorfismo de anillos, su n´ucleo y su imagen se definen como en teor´ıa de grupos o ´algebra lineal:
Ker f = {a ∈ A : f (a) = 0}, Im f = {b ∈ B : f −^1 (b) 6 = ∅},
y es muy f´acil comprobar que ambos son anillos (con las operaciones heredadas de A y B respectivamente).
Ejemplo. f : Z −→ C, con f la inclusi´on, es un monomorfismo.
Ejemplo. Sea M el subconjunto de M 2 × 2 (R) (el anillo de matrices reales 2 × 2) definido como M = {(aij )^2 i,j=1 : a 11 = a 22 , a 12 = −a 21 }. Entonces la aplicaci´on f : C −→ M dada por
f (z) =
<z =z −=z <z
es un isomorfismo. La biyectividad es obvia, y las propiedades de homomorfismo sencillas de comprobar. N´otese que est´a garantizado que M es un anillo por ser la imagen de la aplicaci´on f extendida a C −→ M 2 × 2 (R).
Ejemplo. f : Z −→ Z 6 con f (x) = x, la clase de x m´odulo 6, es un epimorfismo.
Ejemplo. La conjugaci´on C −→ C es un automorfismo.
Ejemplo. Si A ⊂ B con A y B anillos conmutativos con unidad. Para cada b ∈ B la funci´on fb : A[x] −→ B dada por fb(anxn+an− 1 xn−^1 +· · ·+a 0 ) = anbn+an− 1 bn−^1 +· · ·+a 0 es un homomorfismo.
A la imagen de este homomorfismo de evaluaci´on se le denota escribiendo A[b]. (N´otese el leve abuso de notaci´on debido a que A[b] no es un anillo de polinomios). Y copiando la notaci´on del an´alisis se escribe P (b) en lugar de fb(P ). Este tipo de ani- llos con A = Z o Q y b ciertos n´umeros complejos, tienen gran importancia en problemas aritm´eticos e hist´oricamente est´an en el origen del propio concepto de anillo.
Ejemplo. Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z}.
Ejemplo. Q[
d] = {a + b
d : a, b ∈ Q}.
Es cierto que todos los ejemplos de anillos y aplicaciones entre ellos incluidos en esta secci´on, se reducen a una comprobaci´on directa de la definici´on. Son todos demasia- do sencillos.En unos momentos complicaremos las cosas introduciendo anillos cociente. Mientras tanto, el que quiera quejarse por el tiempo perdido, que se dirija a R. Descartes que consider´o como una de sus reglas para la direcci´on de la mente: “Hay que dirigir toda la pene- traci´on de nuestro esp´ıritu o mente a lo que es menos importante y m´as f´acil. Y es conveniente que nos detengamos en ello durante bastante tiempo, hasta que hayamos adquirido el h´abito de ver la verdad por intuici´on de una manera distinta y clara”.
1.2. Ideales y cocientes
Un ideal es un subanillo que es absorbente con respecto al producto. Esto puede que sea verdad, pero como no hay quien lo entienda, demos una definici´on menos sint´etica y m´as comprensible.
Ejemplo. En R[x, y] el ideal I = (x, y) no es principal, ya que I = (P ) implicar´ıa P |x y P |y. Por otra parte, I s´ı es maximal porque I & J s´olo es posible si existe Q ∈ J con t´ermino independiente a 0 6 = 0, y a 0 − Q ∈ I implica a 0 ∈ J, y por tanto 1 = a− 0 1 a 0 ∈ J.
En Z, en realidad los ideales “tienen truco”. Como veremos, y no es dif´ıcil adivinar, todos los ideales de Z son principales y los maximales son (p) con p primo. Adem´as se cumple el siguiente resultado que permite simplificar generadores.
Proposici´on 1.2.1 En Z, si a y b no son simult´aneamente nulos se cumple la igualdad entre ideales (a, b) = (mcd(a, b))
donde mcd(a, b) es el m´aximo com´un divisor de a y b.
Demostraci´on: Sean I = (a, b) y J = (mcd(a, b)). Evidentemente I ⊂ J (porque a, b ∈ J). Por otra parte, por la identidad de Bezout existen λ 1 , λ 2 tales que mcd(a, b) = λ 1 a + λ 2 b ∈ I, y se sigue que J ⊂ I. 2
Vayamos ahora a unos cuantos ejemplos m´as dif´ıciles.
Ejemplo. El ideal I = (2, 1 +
−5) es maximal en A = Z[
−5].
Sea α = a + b
− 5 6 ∈ I. Necesariamente a − b es impar porque en otro caso α = 2(a−b)/2+b(1+
−5) ∈ I. Pero si a−b es impar, 1 = 2(a−b+1)/2+b(1+
−5)+(−1)α. Por tanto (2, 1 +
− 5 , α) = (1) = A. Es decir, el ideal I no se puede ampliar con ning´un elemento.
Ejemplo. El ideal I = (2, 1 +
−5) no es principal en A = Z[
−5].
Si I = (α) con α = a + b
−5, entonces 2 = αβ y 1 +
−5 = αγ para ciertos β, γ ∈ A. Multiplicando estas igualdades por sus conjugadas se tiene que a^2 + 5b^2 debe dividir a 4 y a 6. Esto s´olo deja las posibilidades a = ± 2 , b = 0 y a = ± 1 , b = 0. El primer caso es imposible porque 1 +
−5 no es un m´ultiplo de 2. El segundo caso s´olo se dar´ıa si I = A, y esto no es cierto porque no es dif´ıcil ver que si x + y
− 5 ∈ A es m´ultiplo de 2 o de 1 +
−5 entonces x e y tienen la misma paridad.
Ejemplo. El ideal I = (11 + 7
- es principal en A = Z[
2].
Tratamos de pasar a n´umeros enteros multiplicando por el conjugado, concretamente 23 = (11 + 7
- y −178 = (8 + 11
- est´an en I. Utilizando el algoritmo de Euclides se obtiene 1 = 31 · 23 + 4 · (−178). Por tanto,
1 =
[
]
[
]
y el ideal no s´olo es principal sino que I = (1) = A.
Ejemplo. Estudiar si el ideal I = (1+
−2) es principal en A = Z[
−2].
Como antes, 33 = (1+
−2) ∈ I y 153 = (−9+
−2) ∈ I.
El m´aximo com´un divisor en Z de estos n´umeros es 3, de forma que si I = (α) con α = a + b
−2, entonces 3 = (a + b
−2)β con β ∈ A. Al multiplicar por el conjugado
8 TEOR´IA DE ANILLOS
las posibilidades son α = ± 1 , ± 1 ±
−2. De estos valores, 1 +
−2 divide a los generadores de I, concretamente I =
Ahora con 3 +
−2 y 1 + 5
−2 podemos dar lugar a enteros coprimos. Por ejemplo, 5(3 +
−2) = 14 y
−2) = −11. Como 14x + (−11)y = 1 tiene soluci´on, existen γ, δ ∈ A tales que (3 +
−2)γ + (1 + 5
−2)δ = 1 y se concluye I = (1 +
Seguramente muchos de los lectores ya habr´an perdido la paciencia. Como sucede a menudo en matem´aticas, y en particular en ´algebra abstracta, las definiciones parecen gratuitas, desmotivadas, y la teor´ıa aislada e inasequible. Podemos tener fe en que hay muchos anillos interesantes y que conviene estudiarlos en general, pero ¿y los ideales? ¿c´omo a alguien en su sano juicio se le pudo ocurrir introducirlos? ¿para qu´e los ideales principales y maximales? Si estos conceptos son triviales en Z, ¿en qu´e anillos result´o in- teresante crear esta parte de la teor´ıa? Puede que el lector se sienta enga˜nado al saber que respetando el orden hist´orico las secciones de este cap´ıtulo debieran estar escritas en orden inverso: los problemas de factorizaci´on llevaron al concepto de ideal y despu´es se desarroll´o la teor´ıa de anillos. Sin embargo desde el punto de vista actual y con la preponderancia de lo deductivo frente a lo inductivo en las matem´aticas modernas, es m´as natural no comenzar la casa por el tejado. De todas maneras, al margen de las buenas palabras, disculpas y excusas, ¿es posible explicar las razones que llevaron a la teor´ıa de ideales? Lo que sigue es un intento un poco burdo desde el punto de vista hist´orico (para una descripci´on fiel v´ease [Ri] y [Sm]) pero que puede arrojar alguna luz.
Los ideales los introdujo E. Kummer tratando de probar el ´ultimo teorema de Fermat y se revelar´ıan como un instrumento muy adecuado permitiendo demostrarlo para muchos exponentes especiales. La ecuaci´on de Fermat xn^ + yn^ = zn^ se puede factorizar como
(1.1) (x − ζy)(x − ζ^2 y) · · · (x − ζny) = z · z n veces · · · · · ·z
con ζ = eπi/n. Esto conduce a estudiar cu´ando dos productos coinciden en el anillo Z[ζ]. En Z es evidente que si tenemos unos cuantos n´umeros que son coprimos dos a dos con otros, el producto de los primeros no puede coincidir con el de los segundos. Esto es, productos iguales implica divisores comunes de los factores. Sin embargo en otros anillos no ocurre as´ı. Por ejemplo, en Z[
√ −5] se cumple
3 · 7 = (1 + 2
√ −5)(1 − 2
√ −5)
y sin embargo 3 y 1 ± 2
√ −5 no tienen divisores comunes no triviales en Z[
√ −5], ni 7 y 1 ± 2
√ −5. Si no ocurrieran casos patol´ogicos como ´este en Z[ζ], Kummer dispon´ıa de t´ecnicas para probar que (1.1) es imposible con n =primo y x, y ∈ Z+^ coprimos, de donde se deducir´ıa el ´ultimo teorema de Fermat. Desafortunadamente estos casos patol´ogicos son habituales en Z[ζ], pero la buena noticia es que la teor´ıa de ideales permite tratarlos creando un sustituto de los divisores comunes ausentes. Por ejemplo, partiendo de 3 · 7 = (1 + 2 √ −5)(1 − 2 √ −5), nos gustar´ıa que existiesen los divisores comunes antes indicados, digamos α± = mcd(3, 1 ± 2
√ −5), β± = mcd(7, 1 ± 2
√ −5), de forma que
(1.2) 3 = α+ · α−, 7 = β+ · β−, 1 + 2
√ −5 = α+ · β+, 1 − 2
√ −5 = α− · β−.
Como hemos mencionado, tales α±, β± no existen. Pero seg´un la Proposici´on 1.2.1, al menos en Z, un ideal con dos generadores es un sustituto para el m´aximo com´un divisor. Y as´ı resulta que (1.2) pasa a ser cierto reemplazando 3, 7 y 1 ± 2
√ −5 por los ideales que generan, α± por (3, 1 ± 2
√ −5) y β± por (7, 1 ± 2
√ −5) (el producto de ideales se define como el menor ideal que contiene a los productos de sus elementos).
10 TEOR´IA DE ANILLOS
en Algebra III los ideales primos y maximales son bien distintos (por ejemplo (´ x + y^2 ) es primo no maximal en R[x, y]), mientras que en los anillos de n´umeros complejos que se manipulan en Teor´ıa de N´umeros (por ejemplo en todos los Z[
d]) no hay diferencia entre primos y maximales.
En esta secci´on hemos dado por supuesto que el lector domina perfectamente el concepto de conjunto cociente, y m´as adelante haremos lo propio con el de grupo cociente. Si esta suposici´on fuera gratuita, es el momento de repasar cursos anteriores. De todos modos se a˜naden a continuaci´on unas pocas l´ıneas de nivel ´ınfimo, para desperezarse. Cuando tenemos una forma de relacionar los elementos de un conjunto, el conjunto cociente no es m´as que el conjunto de las colecciones de elementos del mismo tipo. Esta clasificaci´on en diferentes clases no es totalmente ajena al significado del cociente usual de n´umeros naturales. Por ejemplo 40 ÷ 4 = 10 significa que si repartimos 40 caramelos entre 4 ni˜nos, tocan a 10 cada uno. Supongamos que los caramelos estuvieran numerados del 1 al 40 y que cada ni˜no pusiera su nombre a los que recibiera. Si los repartimos de uno en uno ordenadamente, los caramelos 1, 5, 9, 13,... 37 tendr´ıan el nombre del primer ni˜no, los caramelos 2, 6, 10,... 38, el del segundo, etc. Con la relaci´on a ∼ b ⇔ 4 |a − b, los caramelos relacionados entre s´ı son los que pertenecen al mismo ni˜no. El conjunto cociente ser´ıa {N 1 , N 2 , N 3 , N 4 } donde Nj es el conjunto de caramelos del ni˜no j-´esimo (la clase de equivalencia de j), como las cuatro clases tienen el mismo tama˜no, cada una tiene 40/4 = 10 elementos. Al principio es un poco lioso que el conjunto cociente sea un conjunto de conjuntos, pero no lo es tanto pensando que por ejemplo un conjunto de libros es un conjunto de conjuntos de p´aginas. En grupos (o anillos) hay relaciones de equivalencia (formas de repartir caramelos) naturales aso- ciadas a ciertos subgrupos (o subanillos). Por ejemplo si H es un subgrupo de G uno puede inventarse g 1 ∼ g 2 ⇔ g 1 · g 2 − 1 ∈ H que expresa algo as´ı como que al repartir los caramelos de G “coherentemente” entre los elementos de H, g 1 y g 2 corresponden al mismo ni˜no (elemento) de H. El conjunto cociente correspondiente se suele denotar como G/H. Una cuesti´on t´ecnica muy importante es que la operaci´on de grupo de G puede no estar bien definida en G/H. S´olo lo est´a cuando H es un subgrupo normal. De forma que si queremos descomponer un grupo en grupitos, clasificando sus elementos, no podemos tomar cociente entre un subgrupo cualquiera. Con los anillos ocurre algo similar y debemos limitarnos a las relaciones de equivalencia que vengan de ideales, no de subanillos cualesquiera.
1.3. Factorizaci´on
Como ya hemos mencionado, la teor´ıa de ideales surgi´o en relaci´on con ciertos proble- mas de factorizaci´on en anillos. A t´ıtulo meramente ilustrativo, n´otese que por ejemplo hallar las soluciones enteras de xy = 10^20 requiere factorizar 10^20 en Z, y hallar las de x^2 + y^2 = 10^20 , debido a la f´ormula x^2 + y^2 = (x − iy)(x + iy), requerir´ıa factorizar 10^20 en Z[i]. Sabemos que en N todo n´umero mayor que uno se escribe como producto de primos de forma ´unica salvo el orden de los factores. Este es el llamado´ teorema fundamental de la aritm´etica. En Z la unicidad se complica por culpa de los signos. Por ejemplo
30 = 2 · 3 · 5 = (−2) · 3 · (−5) = 2 · (−3) · (−5) = (−2) · (−3) · 5.
La culpa la tiene el elemento −1, que al poseer inverso multiplicativo (´el mismo), puede introducirse y compensarse a voluntad. En otros anillos puede haber m´as elementos invertibles que causen problemas similares. La definici´on de unicidad de la factorizaci´on en un anillo tendr´a esta particularidad en cuenta. Antes introduciremos una notaci´on chic que llama irreducibles a los primos en un anillo (algunos autores los siguen llamando primos).
Definici´on: Sea A un anillo. Se dice que dos elementos a, b ∈ A est´an asociados si a = ub con u una unidad.
Definici´on: Sea A un dominio de integridad. Se dice que un elemento p ∈ A − { 0 } es irreducible si no es una unidad y p = ab implica que p est´a asociado con a o con b.
Definici´on: Se dice que un dominio de integridad A es un dominio de factorizaci´on ´unica si todo elemento de A − { 0 } que no sea una unidad se puede expresar como un producto de factores irreducibles de forma ´unica salvo el orden de los factores y el empleo de irreducibles asociados.
Ejemplo. Z es un dominio de factorizaci´on ´unica.
Ejemplo. Z[
−5] no es un dominio de factorizaci´on ´unica, ya que por ejemplo 2 · 3 = (1 +
Comprobar que los factores de esta doble factorizaci´on son realmente irreducibles conlleva algunos c´alculos. Si fuera 2 = (x + y
−5)(u + v
−5), multiplicando por el conjugado se tendr´ıa 4 = (x^2 + 5y^2 )(u^2 + 5v^2 ), y evidentemente esto s´olo es posible si y = v = 0, y se tiene x + y
−5 = ±1 o u + v
−5 = ±1. La misma demostraci´on sirve para 3. An´alogamente 1±
−5 = (x+y
−5)(u+v
−5) implica 6 = (x^2 +5y^2 )(u^2 +5v^2 ), y la ´unica posibilidad, salvo intercambiar x e y por u y v, es x = ±1, y = ±1, u = ±1, v = 0.
Los dominios de factorizaci´on ´unica se muestran m´as sencillos en algunos problemas que los anillos que no lo son, y nos gustar´ıa saber detectarlos. Una vez que sabemos qu´e queremos hacer, vamos a abstraer las propiedades nece- sarias para llevarlo a cabo. Si repasamos el teorema fundamental de la aritm´etica, vere- mos que la prueba se basa en la existencia del m´aximo com´un divisor. A su vez, ´esta depend´ıa de la existencia del algoritmo de Euclides. Uniendo estos cabos buscamos un teorema que diga algo as´ı como que los dominios de integridad en los que existe un algo- ritmo de Euclides son los de factorizaci´on ´unica. Pero ¿qu´e es un algoritmo de Euclides en general? En N era un procedimiento que simplemente requer´ıa la existencia de una divisi´on inexacta: dados a y b se calculaba un cociente c y un resto r < b tales que a = bc + r. Todo esto lo podemos copiar en anillos arbitrarios salvo el signo “<” ya que en general no hay relaciones de orden en un anillo. Por tanto para salvar la idea del algoritmo de Euclides requerimos que exista una funci´on que permita medir lo grandes que son sus elementos traspasando el problema a N. Habida cuenta de todo esto, la siguiente definici´on concretar´a la idea buscada de dominio con algoritmo de Euclides.
Definici´on: Se dice que un dominio de integridad A es un dominio eucl´ıdeo si existe una funci´on N : A − { 0 } −→ N tal que: i) ∀a, b ∈ A − { 0 } se cumple N (a) ≤ N (ab). ii) ∀a, b ∈ A − { 0 } existen c, r ∈ A tales que a = bc + r con r = 0 o N (r) < N (b).
Observaci´on: Algunos autores piden que N sea una funci´on multiplicativa, esto es, N (ab) = N (a)N (b), lo cual es m´as fuerte que i).
Queremos probar que ambas son iguales salvo en el orden de los factores y multiplicaci´on por elementos invertibles. Procedemos por inducci´on en n = m´ın(l, m). Evidentemente l = 1 ⇔ m = 1 (por la irreducibilidad) y el caso n = 1 es trivial. Sea por tanto n > 1. El ideal I = (pl, qm) debe ser principal, digamos I = (b). Por tanto pl = rb, qm = sb, y como pl y qm son irreducibles, o bien r y s son invertibles o bien b es invertible. En el primer caso pl y qm son asociados porque pl = r−^1 sqm, y simplicando en (1.3), el resultado se sigue por la hip´otesis de inducci´on. Si b es invertible I = A, en particular
1 ∈ (pl, qm) ⇒ λpl + μqm = 1 ⇒ λplq 1 q 2... qm− 1 + μp 1 p 2... pl = q 1 q 2... qm− 1.
De forma que cpl = q 1 q 2... qm− 1 para cierto c ∈ A y por la hip´otesis de inducci´on se sigue que pl es asociado de alguno de los qj. Simplificando como antes pl y qj en (1.3) se concluye la prueba empleando la hip´otesis de inducci´on. 2
En resumen, lo que hemos demostrado es:
Dom. eucl´ıdeo ⇒ Dom. de ideales principales ⇒ Dom. de factorizaci´on ´unica.
Es posible dar contraejemplos a los rec´ıprocos. Por ejemplo, se puede probar (pero no es nada f´acil) que Z[(1 +
−19)/2] es un dominio de ideales principales pero no un dominio eucl´ıdeo (v´ease en [Cam] una demostraci´on abreviada). Tambi´en se puede probar que Z[x] es un dominio de factorizaci´on ´unica (se sigue de que Q[x] lo es) pero no un dominio de ideales principales, ya que I = (3, x^2 ) no es principal.
A continuaci´on mostramos algunos ejemplos desarrollados que no debieran hacernos demasiado optimistas, porque incluso en anillos sencillos hay todav´ıa problemas abiertos respecto a la factorizaci´on ´unica.
Ejemplo. El anillo Z[i] = {a + bi : a, b ∈ Z} es un dominio de factorizaci´on ´unica. De hecho es un dominio eucl´ıdeo con N (z) = |z|^2 donde | · | indica la norma usual en C. Como N (z 1 z 2 ) = N (z 1 )N (z 2 ), la primera propiedad de los dominios eucl´ıdeos est´a a- segurada. Los c´ırculos unitarios {z ∈ C : N (z − w) < 1 } recubren todo C cuando w recorre Z[i]; por tanto dados z 1 , z 2 ∈ Z[i] − { 0 } siempre existe w ∈ Z[i] tal que N (z 1 /z 2 − w) < 1, o lo que es lo mismo N (z 1 − z 2 w) < N (z 2 ). Esto prueba la segunda propiedad con r = z 1 −z 2 w. Como N (0) = 0, el caso r = 0 est´a incluido en N (r) < N (z 2 ).
Ejemplo. El anillo Z[
−3] no es de factorizaci´on ´unica y por tanto no es de ideales principales ni eucl´ıdeo. Un ejemplo de factorizaci´on no ´unica es 2 · 2 = (1 +
−3). Para comprobar que cada factor es irreducible se puede usar el mismo argumento empleado para Z[
−5].
De esta doble factorizaci´on se deduce que el ideal I = (2, 1 +
−3) no es principal. No es muy dif´ıcil comprobar que I es maximal.
Ejemplo. El anillo Z[(1 +
−3)/2] es de factorizaci´on ´unica. De hecho es un dominio eucl´ıdeo con N (z) = |z|^2.
14 TEOR´IA DE ANILLOS
Observando que ((1 +
−3)/2)^2 = (−1 +
−3)/2, se deduce que
Z[(1 +
−3)/2] = {a + b(1 +
−3)/2 : a, b ∈ Z}.
Como en el caso de Z[i], los c´ırculos de radio 1 centrados en los puntos de Z[(1+
−3)/2]
cubren todo C y la demostraci´on es similar.
Nota: Los anillos de la forma Z[
d] son m´as dif´ıciles de estudiar en el caso d > 0. Si queremos probar que son de factorizaci´on ´unica, la funci´on N “natural” a considerar
es N (z) = |z · z| donde z es el conjugado real (esto es, a + b
d = a − b
d) y | · | es el valor absoluto. Parte de la complicaci´on proviene de que ahora hay que considerar recubrimientos por regiones hiperb´olicas no acotadas, en vez de por c´ırculos. Para cerrar el bucle, volvamos al problema del principio de la secci´on: supongamos que queremos hallar las soluciones de x^2 + y^2 = 10^20. En Z[i] se tiene la factorizaci´on 2 = (1 + i)(1 − i) con 1 + i y 1 − i irreducibles asociados porque 1 + i = i(1 − i); y 5 = (2 + i)(2 − i). De modo que la ecuaci´on anterior se puede escribir como
(x + iy)(x − iy) = (1 − i)^40 (2 + i)^20 (2 − i)^20 ,
lo que implica que existen enteros 0 ≤ α ≤ 40 y 0 ≤ β, γ ≤ 20 tales que
x + iy = u(1 − i)α(2 + i)β^ (2 − i)γ^ y x − iy = u−^1 (1 − i)^40 −α(2 + i)^20 −β^ (2 − i)^20 −γ
con u alg´un elemento invertible. Conjugando la segunda ecuaci´on y usando que que la factorizaci´on es ´unica (recu´erdese que 1 + i y 1 − i est´an asociados) se sigue α = 40 − α, β = 20 − γ y γ = 20 − β. Por tanto las soluciones enteras x, y de la ecuaci´on original vienen dadas por
x + iy = u(1 − i)^20 (2 + i)β^ (2 − i)^20 −β^.
Como hay 21 posibles valores de 0 ≤ β ≤ 20 y 4 posibles valores de u (en Z[i] los elementos invertibles son 1, − 1 , i, −i), tenemos 84 soluciones.
Para terminar descansadamente, recordemos los buenos y tiernos tiempos de Con- juntos y N´umeros a trav´es de los inofensivos anillos de polinomios C[x], R[x] y Q[x]. Todos ellos son dominios de factorizaci´on ´unica por ser dominios eucl´ıdeos (basta elegir como funci´on N el grado).
Nos han dicho muchas veces que todo polinomio no constante tiene una ra´ız compleja, lo que por el teorema del resto se traduce en:
Teorema 1.3.4 (Teorema fundamental del ´Algebra) Sea P ∈ C[x] no constante, P es irreducible en C[x] si y s´olo si gr P = 1.
Seguramente el lector ya habr´a visto dos demostraciones de este teorema, una en Topolog´ıa y otra en Variable Compleja I. No es posible dar una prueba totalmente algebraica porque la propia definici´on de C depende de la de R, que est´a en la base del an´alisis. De todas formas, si alguien quiere opinar lo contrario puede, cuando termine el curso, leer [St] §18 y hacer caso omiso de las excusas. En R[x] las cosas no son muy diferentes:
16 TEOR´IA DE ANILLOS
Ejemplo. Los polinomios P = x^5 − 2 x + 6 y Q = x^7 − 12 son irreducibles en Q[x]. (T´omese p = 2 y p = 3 en el criterio de Eisenstein).
Una aplicaci´on indirecta de este criterio prueba que el polinomio llamado ciclot´omico
P = xp−^1 + xp−^2 + · · · + x + 1
es irreducible en Q[x] si p es primo. Para ello n´otese que P es irreducible si y s´olo si Q = (x + 1)p−^1 + (x + 1)p−^2 + · · · + (x + 1) + 1 tambi´en lo es (ejercicio) y como
Q =
(x + 1)p^ − 1 x + 1 − 1
= xp−^1 +
p 1
xp−^2 +
p 2
xp−^3 + · · · +
p p − 2
x +
p p − 1
el criterio de Eisenstein es aplicable a Q (ejercicio). Adem´as se puede probar que P no es irreducible si p no es primo, aunque no lo haremos aqu´ı.
Recordemos tambi´en otro criterio sencillo de Conjuntos y N´umeros. La demostraci´on es muy sencilla y se deja al lector.
Proposici´on 1.3.8 Dado P ∈ Z[x] sea P ∈ Zp[x] el polinomio que resulta al reducir los coeficientes m´odulo p (primo). Suponiendo que ∂P = ∂P , si P es irreducible en Zp[x] entonces P es irreducible en Q[x].
Ejemplo. El polinomio x^3 − 17 x^2 + 10x + 105 es irreducible en Q[x], porque al tomar m´odulo 2 obtenemos x^3 + x^2 + 1 y si este polinomio se pudiera descomponer en Z 2 [x] se podr´ıa escribir como (x^2 + ax + b)(x − c), lo cual es imposible porque ni x ni x − 1 dividen a x^3 + x^2 + 1.
Ejercicios del Cap´ıtulo 1
Leyenda: ♥ f´acil, ♦ dif´ıcil, ♦♦ muy dif´ıcil, ◦ opcional.
Secci´on 1.
- Demostrar que: i) {n + m
3 : n, m ∈ Z} es un anillo. ii) {a + b
3 : a, b ∈ Q} es un anillo tal que todos sus elementos no nulos son unidades. iii) {a + b 4
3 : a, b ∈ Q} no es un anillo. ♦iv) {a + b 3
3 + c 3
9 : a, b, c ∈ Q} es un anillo tal que todos sus elementos no nulos son unidades.
♥2. Sean R 1 ,... , Rn anillos. Demostrar que R 1 ⊕.. .⊕Rn es un anillo con las operaciones de suma y producto obvias (las dadas por las de cada Ri coordenada a coordenada).
♥3. Escribir la tabla de multiplicaci´on del anillo Z 3 [i] = {a + bi : a, b ∈ Z 3 }.
- El conjunto { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } es un anillo conmutativo con unidad, con la suma y el producto m´odulo 10. ¿Cu´al es la unidad multiplicativa? ¿Y los elementos invertibles?
- Probar que los elementos neutros de las operaciones de un anillo con unidad son ´unicos.
- Comprobar que las unidades de Z 17 forman un grupo c´ıclico.
- ¿Cu´antas unidades hay en Z 106?
- Hallar todas las unidades en Z[
−5], Z[(1 +
−3)/2] y en el anillo de matrices enteras 2 × 2.
- Probar que 2x + 1 tiene inverso multiplicativo en Z 4 [x].
- Hallar las unidades del anillo de matrices 2 × 2 con elementos en Z 4.
- Hallar el inverso multiplicativo de 5 en Z 21 usando el algoritmo de Euclides.
- Probar que en el anillo de matrices reales n × n, para todo elemento, m, que no es una unidad, existe m′^6 = 0 tal que m′m = 0.
- Encontrar un anillo R en el que no se verifiquen ninguna de las siguientes propiedades: i) Si a^2 = a, entonces a = 1 ´o a = 0. ii) Si ab = ac entonces b = c.
- Si R no es un dominio de integridad la intuici´on que tenemos sobre ecuaciones algebraicas puede ser completamente err´onea. Meditemos sobre este hecho: i) Buscar un anillo R en el que la ecuaci´on ax = b con a, b ∈ R tenga m´as de una soluci´on.
- Demostrar que el grupo multiplicativo de Z 3 [x]/(x^2 + 1) es c´ıclico y dar un generador.
- Hallar los ideales de Z 24.
- Sea f : R → S un homomorfismo de anillos. Demostrar que: i) Si J ⊂ S es un ideal, entonces f −^1 (J) = {r ∈ R : f (r) ∈ J} es un ideal en R. ii) El n´ucleo de f es un ideal. iii) Un homomorfismo de anillos es inyectivo si y s´olo si su n´ucleo es { 0 }.
- Dado un anillo R y un ideal I ⊂ R, demostrar que hay una correspondencia biyectiva entre los ideales de R/I y los ideales de R que contienen a I. Indicaci´on: usar el homomorfismo natural π : R → R/I, que a cada elemento a ∈ R le asocia su clase m´odulo I, y observar que la imagen inversa de un ideal por un homomorfismo de anillos es tambi´en un ideal.
- Sea A = Z[
2]. Hallar todos los ideales del anillo A/ 2 A.
- Hallar los ideales de Q[x]/(x^3 − 1).
- Decidir si el ideal (29, 13 +
−5) es principal en Z[
−5]
- Probar que el anillo de matrices cuadradas reales n × n no tiene ideales no triviales.
- Encontrar todos los ideales maximales de los anillos Z 8 , Z 10 , Z 12 y Zn.
- Probar que I = {(3n, m) : n, m ∈ Z} es un ideal maximal en Z ⊕ Z.
- Sea I ⊂ Z[
−5] dado por I = {a + b
− 5 : a + b es par}. Demostrar que es un ideal maximal de Z[
−5].
♦40. Sean I y J ideales de un anillos A. Probar que A/I es isomorfo a (A/J)
(I/J).
(Esto requiere en particular probar que este ´ultimo cociente tiene sentido).
♦41. Sea p primo y sea A ⊂ Q el anillo formado por todas las fracciones cuya forma irreducible tiene denominador no divisible por p. Hallar un anillo sencillo que sea isomorfo a A/(p).
Secci´on 1.
- Sea el conjunto H = { 1 , 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25... }. Decimos que p ∈ H es un H- primo si p 6 = 1 y no es divisible por ning´un elemento de H salvo por s´ı mismo y por uno. Por ejemplo, 5 y 9 son H-primos, pero 25 = 5 · 5 no. Comprobar que 693 tiene varias posibles descomposiciones en factores H-primos. (Nota: Hilbert (1862-1943) propuso H como un conjunto sencillo en el que no se cumple el an´alogo del teorema fundamental de la aritm´etica).
- Hallar todos los polinomios irreducibles en F 2 [x] de grados 2, 3 y 4.
20 TEOR´IA DE ANILLOS
- Decir si son irreducibles en Q[x] los polinomios 3x^2 − 7 x − 5, 6x^3 − 3 x − 18 y x^3 − 7 x + 1.
- Demostrar que x^3 − x + 1 es irreducible en Z 3 [x].
- Demostrar que x^5 − x^2 + 1 es irreducible en Z 2 [x].
- Probar la irreducibilidad en Q[x] de los polinomios: x^5 − 3 x + 3, x^6 − 6 x + 2, x^2 + 1, x^4 + 1 y x^6 + x^3 + 1.
- Probar que P ∈ Q[x] es irreducible si y s´olo si Q dado por Q(x) = P (x + 1), lo es.
- Probar que el citerio de Eisenstein es aplicable al polinomio
xp−^1 +
p 1
xp−^2 +
p 2
xp−^3 + · · · +
p p − 2
x +
p p − 1
- Decidir si los siguientes polinomios son irreducible en Q[x]: x^4 + 3x + 6, x^3 + 1111 x + 13^13 , 13 x^5 + 52 x^4 + 32 x^3 + 12 , x^5 − 9 x^2 + 1 y x^4 − x^3 − x − 1.
- Probar que x^2 + bx + c es irreducible en Z 7 [x] si y s´olo si b^2 − 4 c = 3, 5 , 6.
- Estudiar la irreducibilidad de P = x^2 + 1 en Z 3 [x], Z 5 [x], Z 7 [x], Z 11 [x], Z 13 [x] y Z 17 [x].
◦53. Intentar inducir (sin demostraci´on) una regla general sencilla que permita decidir la irreducibilidad de P = x^2 + 1 en Zp[x] sin calcular sus ra´ıces.
- Hallar un contraejemplo a la Proposici´on 1.3.8 si se omite la condici´on ∂P = ∂P.
- Estudiar si Z[
−2] es un dominio de factorizaci´on ´unica.
- Demostrar que Z[
2] es un dominio de factorizaci´on ´unica y encontrar la fac- torizaci´on de 20.
- Estudiar si Z[
−6] es un dominio de factorizaci´on ´unica.
♦58. Estudiar si Z[
6] es un dominio de factorizaci´on ´unica.
♦59. Demostrar que un polinomio de la forma f = xn^ + px + p^2 es irreducible en Z[x].
♦60. Sea p > 2 primo. Demostrar que existen n, m ∈ Z tales que p = n^2 + mn + m^2 si y s´olo si P = x^2 + x + 1 factoriza en Zp[x].
