teoria 1, Apuntes de Álgebra

¡Descarga teoria 1 y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!

¡Qu´e bonita es la teor´ıa de Galois!

Algebra II. Tercero de Matem´^ ´ aticas.

Gauss Abel Galois

a d

n

Fe rn

o C a h z i m o

L

o

r e n

t e

Contenidos

Cap´ıtulo 1. Teor´ıa de anillos

• 1.1. Definici´on de anillo.
• 1.2. Ideales y cocientes.
• 1.3. Factorizaci´on.

Cap´ıtulo 2. Cuerpos y sus extensiones

• 2.1. Definici´on de cuerpo.
• 2.2. Extensiones de cuerpos.
• 2.3. Tres problemas cl´asicos.

Cap´ıtulo 3. Teor´ıa de Galois

• 3.1 El grupo de Galois.
• 3.2 Extensiones normales y separables.
• 3.3 El teorema fundamental de la teor´ıa de Galois.

Cap´ıtulo 4. Resolubilidad por radicales

• 4.1 Grupos solubles.
• 4.2 El teorema de Galois.
• 4.3 Algunas aplicaciones.

La teor´ıa de Galois en menos de cincuenta minutos

La idea genial bajo la teor´ıa de Galois es que se pueden representar ciertos conjuntos asociados a la soluci´on de ecuaciones algebraicas mediante grupos de simetr´ıas. Esta frase es tan lapidaria como incomprensible. Afortunadamente todav´ıa podemos utilizar los 49 minutos 50 segundos restantes para tratar de clarificarla un poco.

Comencemos resolviendo la ecuaci´on general de segundo grado x^2 + bx + c = 0. Considerando sus ra´ıces r 1 y r 2 como variables arbitrarias, los coeficientes b y c vienen dados por funciones polin´omicas sim´etricas de ellas:

x^2 + bx + c = (x − r 1 )(x − r 2 ) ⇒ b = b(r 1 , r 2 ) = −r 1 − r 2 , c = c(r 1 , r 2 ) = r 1 r 2.

La f´ormula para resolver la ecuaci´on (hallar r 1 y r 2 a partir de b y c) es (−b+

b^2 − 4 c)/ 2 donde el radical no es una verdadera funci´on univaluada, sino que hay que asignarle dos valores, uno con m´as y otro con menos. Este radical obra el milagro de pasar de una funci´on sim´etrica en r 1 y r 2 , concretamente b^2 − 4 c = (r 1 + r 2 )^2 − 4 r 1 r 2 , a dos funciones no sim´etricas,

b^2 − 4 c = ±(r 1 − r 2 ).

En la ecuaci´on de tercer grado x^3 + bx^2 + cx + d = 0, de nuevo b, c y d se pueden considerar como funciones sim´etricas en las variables r 1 , r 2 y r 3 que representan las ra´ıces: b = −r 1 − r 2 − r 3 , c = r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 y d = −r 1 r 2 r 3.

La f´ormula para resolver la ecuaci´on es en este caso bastante m´as complicada y se puede escribir como:

−

b 3

t 3

b^2 − 3 c 3 t

con t = 3

E

donde

E =

9 bc − 2 b^3 − 27 d +

D

y D = (9bc − 2 b^3 − 27 d)^2 + 4(3c − b^2 )^3.

En resumidas cuentas, la resoluci´on de la ecuaci´on pasa por hallar primero una ra´ız cuadrada de D y despu´es otra c´ubica (trivaluada) de E. Si tuvi´eramos tiempo y paciencia para sustituir b, c y d en t´erminos de las ra´ıces ver´ıamos que

D = −27(r 1 − r 2 )^2 (r 1 − r 3 )^2 (r 2 − r 3 )^2 y E = (r 1 + ζr 2 + ζ^2 r 3 )^3 ,

donde ζ es una ra´ız c´ubica no trivial de la unidad, esto es, ζ = (− 1 ± i

De nuevo observamos la p´erdida de simetr´ıas por medio de los radicales: D es una funci´on sim´etrica en r 1 , r 2 y r 3 , mientras que

D no lo es, aunque perduran algunas simetr´ıas, por ejemplo,

D es invariante al cambiar (r 1 , r 2 , r 3 ) 7 → (r 2 , r 3 , r 1 ). Tambi´en E goza de estas simetr´ıas de

D pero al extraer la ra´ız c´ubica se pierden todas ellas.

Para resolver la ecuaci´on de cuarto grado la f´ormula es much´ısimo m´as compleja. En una de las maneras de escribirla, primero hay que hacer una ra´ız cuadrada

F , despu´es una ra´ız c´ubica 3

G, y luego dos ra´ıces cuadradas m´as

H y

I. Al expresar todo en

i

t´erminos de las variables r 1 , r 2 , r 3 y r 4 que representan las ra´ıces, el fen´omeno de p´erdida de simetr´ıas se repite, desde F que las tiene todas, hasta

I que no tiene ninguna.

Volvamos al caso de segundo grado. Consideremos el conjunto K 0 de todas las ex- presiones (f´ormulas) que se pueden obtener a partir de b y c haciendo sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, por ejemplo b/(c^2 − b) + b^2 , y K 0

b^2 − 4 c

definido de

igual manera pero permitiendo tambi´en operar con

b^2 − 4 c. Se tiene b, c ∈ K 0 y r 1 , r 2 ∈ K 1 = K 0

b^2 − 4 c

, de forma que el paso de K 0 a K 1 representa resolver la ecuaci´on. Como las funciones de K 0 son invariantes al permutar sus dos variables (r 1 y r 2 ), diremos que su grupo de simetr´ıas es S 2 , mientras que las funciones de K 1 no son en general sim´etricas y por tanto le asignaremos el grupo trivial de simetr´ıas {Id}. En un esquema:

K 0 K 1 = K 0

b^2 − 4 c

G 0 = S 2 G 1 = {Id}

Con la misma notaci´on, en el caso de tercer grado el esquema ser´ıa:

K 0 K 1 = K 0

D

K 2 = K 1

E

G 0 = S 2 G 1 = A 3 G 2 = {Id}

donde A 3 son las permutaciones pares, las generadas por (r 1 , r 2 , r 3 ) 7 → (r 2 , r 3 , r 1 ). Sin entrar en detalles, en el caso de grado cuatro se tiene:

K 0 K 1 K 2 K 3 K 4 G 0 = S 4 G 1 = A 4 G 2 G 3 G 4 = {Id}

con K 1 = K 0

F

, K 2 = K 1

G

, K 3 = K 2

H

y K 4 = K 3

I

, y G 2 y G 3 ciertos subgrupos de S 4 de ´ordenes 4 y 2 respectivamente. De esta forma reflejamos el m´etodo para resolver las ecuaciones de grado n = 2, 3 , 4 en una “tira” de subgrupos que empieza en Sn y acaba en {Id}. Adem´as, y aqu´ı est´a la clave del teorema de Galois, siempre que empleemos radicales para romper simetr´ıas cada subgrupo debe ser normal en el anterior, Gi. Gi+1. Para probar esto, debemos tener a mano nuestros apuntes de Algebra I, y si´ Ki+1 = Ki(R) con Rp^ ∈ Ki (digamos con p primo y R 6 ∈ Ki), considerar el homomorfismo:

φ : Gi −→

C − { 0 }, ·

σ 7 −→

R(rσ(1), rσ(2),... , rσ(n)) R(r 1 , r 2 ,... , rn)

Ahora leamos muy despacito, siempre con el Algebra I presente: La imagen de este´ homomorfismo son las ra´ıces p-´esimas de la unidad porque Rp^ es invariante por Gi y por consiguiente Rp(rσ(1), rσ(2),... , rσ(n)) = Rp(r 1 , r 2 ,... , rn); de donde Im φ ∼= Zp. Adem´as Ker φ = Gi+1 y el primer teorema de isomorf´ıa implica Ker φ = Gi+1 / Gi y Gi

Gi+1 ∼= Im φ ∼= Zp. En definitiva, la ´unica forma de romper simetr´ıas usando radicales es con subgrupos normales cuyo cociente sea isomorfo a un Zp.

ii

iv

Bibliograf´ıa

[Ca] R. Calinger (Ed.). Classics of Mathematics. Prentice-Hall 1995.

[Cam] O.A. C´ampoli. A Principal Ideal Domain That Is Not a Euclidean Domain. Amer. Math. Monthly 95 (1988), 868–871.

[Cl] A. Clark. Elementos de ´algebra abstracta. Alhambra, 1987.

[De-Fu-Xa] F. Delgado, C. Fuertes, S. Xamb´o. Introducci´on al ´algebra (Anillos, factori- zaci´on y teor´ıa de cuerpos). Universidad de Valladolid, 1998.

[Do-He] J.R. Dorronsoro, E. Hern´andez. N´umeros, grupos y anillos. Addison-Wesley Iberoamericana–UAM, 1996.

[Ed] H.M. Edwards. Galois Theory. Springer, 1998.

[Es] *J.-P. Escofier. Galois Theory. Graduate Texts in Mathematics 204, Springer- Verlag, 2001.

[Ga] J.A. Gallian. Contemporary Abstract Algebra. Houghton Mifflin Company, 2002.

[Gar] D.J.H Garling. A course in Galois Theory. Cambridge University Press, 1986.

[Ha] C.R. Hadlock. Field Theory and its Classical Problems. The Mathematical Associ- ation of America, 1978.

[Ja] N. Jacobson. Lectures in Abstract Algebra. Vol.3. Theory of fields and Galois theory. Van Nostrand, 1964.

[Ka] I. Kaplansky. Fields and Rings. University of Chicago Press, 1974.

[Mo] *P. Morandi. Field and Galois Theory. Graduate Texts in Mathematics 167. Springer-Verlag, 1995.

[Ri] P. Ribenboim. 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem. Springer-Verlag, 1979.

[Ro] *S. Roman. Field Theory. Graduate Texts in Mathematics 158. Springer-Verlag,

[Rot] J.J. Rotman. Galois Theory. Springer-Verlag, 1990.

[Sm] D.E. Smith. A Source Book in Mathematics. Dover Publications Inc., 1959.