¡Descarga teoria 5 y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Cap´ıtulo 4
Resolubilidad por radicales
4.1. Grupos solubles
El cap´ıtulo anterior se puede esquematizar diciendo que en las extensiones de Galois podemos transformar problemas de teor´ıa de cuerpos en otros de teor´ıa de grupos. Por ello no es de extra˜nar que resultados profundos acerca de grupos permitan deducir algunas propiedades finas de las extensiones de cuerpos. Nuestro objetivo principal en este cap´ıtulo es el estudio de la resolubilidad por radi- cales de ecuaciones algebraicas, para lo cual s´olo emplearemos como temas ajenos a los cap´ıtulos previos la definici´on de grupo soluble y un resultado acerca de este tipo de grupos, el Teorema 4.1.1. Por ello esta secci´on admite dos lecturas: una concisa que termina con los ejemplos tras dicho resultado, y otra m´as extensa que traspasa la frontera de los ejemplos incluyendo su prueba y la teor´ıa que la rodea. Ya optemos por la versi´on econ´omica o por la lujosa, nada nos evitar´a tener que escudri˜nar en el arc´on de los recuerdos para airear el important´ısimo concepto de subgrupo normal, introducido en Algebra I y que ya reapareci´´ o en el cap´ıtulo previo. De alguna forma, los subgrupos normales son los ´unicos con los que es posible “des- componer” un grupo sin perder su estructura. Expl´ıcitamente, si H es un subgrupo de G, el conjunto cociente G/H hereda la estructura de grupo si y s´olo si H es un subgrupo normal de G. El cardinal de G/H es |H| veces menor que el de G, y G/H se obtiene agrupando de cierta forma los elementos de G de |H| en |H|. Con esta idea de descomposici´on, los “grupos primos” ser´ıan los siguientes:
Definici´on: Se dice que un grupo G es simple si no tiene subgrupos normales propios (distintos del trivial y de ´el mismo).
Y la divisi´on sucesiva de un n´umero con cocientes primos, responde a:
Definici´on: Sea G un grupo finito, se dice que una cadena de subgrupos de G
{e} = G 0 $ G 1 $ G 2 · · · $ Gn = G
es una serie de composici´on si Gi− 1 / Gi y Gi/Gi− 1 es un grupo simple para 0 < i ≤ n.
Al igual que todo n´umero factoriza en primos, cualquier grupo finito tiene una se- rie de composici´on, aunque ello no est´e claro en absoluto sin recordar v´ıvidamente el
80 RESOLUBILIDAD POR RADICALES
curso de Algebra I. A´´ un m´as, el llamado teorema de Jordan-H¨older mimetiza el teo- rema fundamental de la aritm´etica afirmando que la serie de composici´on es ´unica en cierto sentido salvo reordenaciones de los factores simples Gi+1/Gi. Continuando con esta analog´ıa, entre los grupos simples finitos hay una especie de “superprimos” que ni siquiera admiten subgrupos propios. No es dif´ıcil probar que los grupos aditivos Zp son los ´unicos con esta propiedad. La definici´on que perseguimos es la de grupo que factoriza en “superprimos”.
Definici´on: Se dice que un grupo finito, G, es soluble si tiene una serie de composici´on
{e} = G 0 $ G 1 $ G 2 · · · $ Gn = G
tal que Gi+1/Gi ∼= Zpi , con pi primo, 0 ≤ i < n.
Finalmente, llegamos al resultado que necesitaremos en la pr´oxima secci´on.
Teorema 4.1.1 Sea G un grupo finito y H / G, entonces G es soluble si y s´olo si G/H y H lo son. Adem´as todo subgrupo de un grupo soluble es soluble.
Nuestra experiencia nos dice que es singular que un subgrupo sea normal y que los Zp son ejemplos muy particulares de grupos, lo cual sugiere que hay pocos grupos solubles, sin embargo hay que esperar nada menos que hasta orden sesenta para poder encontrar un grupo no soluble. De hecho hay varios resultados que permiten obtener muchos grupos solubles. El m´as sorprendente de ellos es el teorema de Feit-Thompson que afirma que todo grupo de orden impar es soluble. La longitud de su demostraci´on (m´as de doscientas p´aginas) puso en cuesti´on qu´e deb´ıa considerarse una prueba matem´atica, y todav´ıa estaba por llegar la clasificaci´on de los grupos simples finitos (v´eanse los comentarios en [Ga] §25), cuya prueba en conjunto ocupar´ıa muchos miles de p´aginas. (De nuevo planea el escepticismo de Hume planea desasosegante sobre nuestras cabezas: “No existe algebrista ni matem´atico tan experto en su ciencia que llegue a otorgar plena confianza a una verdad nada m´as descubrirla, y que no la considere sino como mera probabilidad. Cada vez que revisa sus pruebas, aumenta su confianza; la aprobaci´on de sus amigos la aumenta a´un m´as, pero es la aprobaci´on universal y los aplausos del mundo ilustrado lo que la lleva a su m´as alto grado”). Sirvan las razones aducidas para excusar que en los siguientes ejemplos s´olo aparezcan grupos solubles, reservando la aparici´on de nuestro flamante grupo no soluble de 60 elementos para una ocasi´on en que sea m´as espectacular, en relaci´on con la solubilidad por radicales.
Ejemplo. Una serie de composici´on para Z 12 es:
{ 0 } ⊂ { 0 , 6 } ⊂ { 0 , 3 , 6 , 9 } ⊂ Z 12.
Ejemplo. La cadena de subgrupos
{ 0 } ⊂ { 0 , 4 , 8 } ⊂ { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } ⊂ Z 12
es otra serie de composici´on para Z 12.
82 RESOLUBILIDAD POR RADICALES
Sea cual sea el alias por el que lo conozcamos, fue parte fundamental del curso de Algebra I, y quien no sea capaz de recuperar su prueba debe ser castigado a forzar la´ vista. Demostraci´on: Si g ∈ G y x ∈ Ker f , se tiene f (g−^1 xg) = f (g−^1 ) e f (g) = e por tanto g−^1 xg ∈ Ker f y Ker f / G. La aplicaci´on φ : G/Ker f −→ Im f dada por φ(gKer f ) = f (g) est´a bien definida (gKer f representa la clase de g) porque si g 1 Ker f = g 2 Ker f entonces g 1 = g 2 x con x ∈ Ker f y f (g 1 ) = f (g 2 ). Es obviamente sobreyectiva, y es inyectiva porque f (g) = e ⇔ g ∈ Ker f ⇔ gKer f = Ker f. Adem´as es homomorfismo ya que g 1 Ker f · g 2 Ker f = g 1 g 2 Ker f (lo que se sigue de Ker f / G). Por consiguiente φ es un isomorfismo. 2
Hab´ıa tambi´en en Algebra I algunas consecuencias que permit´´ ıan establecer algunos otros isomorfismos, y junto con el resultado anterior recib´ıan el nombre gen´erico de teore- mas de isomorf´ıa, aunque los resultados concretos que se recogen bajo esta denominaci´on cambian en funci´on de los autores (comp´arese [Cl], [Do-He] y [Rotm]).
Corolario 4.1.3 (Teoremas de isomorf´ıa) Sea G un grupo y H un subgrupo normal. a) Si N es subgrupo de H y N / G, entonces H/N / G/N y
(G/N )
(H/N ) ∼= G/H.
b) Si N es un subgrupo de G entonces N H = {nh : n ∈ N, h ∈ H} es un grupo, H / N H, N H = HN y N H/H ∼= N/(N ∩ H).
Demostraci´on: Consideramos las funciones: f 1 : G/N −→ G/H gN 7 −→ gH y^
f 2 : N −→ N H/H g 7 −→ gH
Como N ⊂ H, f 1 est´a bien definida. Es un homomorfismo porque g 1 H · g 2 H = g 1 g 2 H, al ser H / G. Su n´ucleo es Ker f = {gN : g ∈ H} = H/N y evidentemente Im f 1 = G/H. Por tanto a) es una consecuencia del teorema anterior. Para b), n´otese primero que H / G implica que para cada n ∈ N y h ∈ H existe h′^ ∈ H tal que nh = h′n. Por tanto (nh)−^1 = (h′n)−^1 = n−^1 (h′)−^1 ∈ N H, y se sigue que N H es un grupo y que coincide con HN (nh ∈ N H ⇒ (nh)−^1 ∈ HN ). Adem´as es subgrupo de G y de aqu´ı H / N H. La prueba de que f 2 es epimorfismo es similar a la de f 1 , y b) se deduce del teorema anterior notando que Ker f 2 = {g ∈ N : gH = H} = {g ∈ N : g ∈ H}. 2
Vayamos ahora a la demostraci´on del resultado principal de esta secci´on.
Demostraci´on del Teorema 4.1.1: En primer lugar veamos que un subgrupo H de un grupo soluble G es tambi´en soluble. Para ello transformemos la serie de composici´on de G {e} = G 0 ⊂ G 1 ⊂ G 2 · · · ⊂ Gn = G con Gi/Gi− 1 ∼= Zpi
en una cadena de subgrupos normales que acaba en H:
{e} = G 0 ∩ H ⊂ G 1 ∩ H ⊂ G 2 ∩ H · · · ⊂ Gn ∩ H = H.
Por el Corolario 4.1.3 b), se cumple:
(Gi ∩ H) · Gi− 1
Gi− 1 ∼= (Gi ∩ H)
(Gi− 1 ∩ H).
Como (Gi ∩ H) · Gi− 1 es un subgrupo de Gi, el primer cociente es un subgrupo de Gi/Gi− 1 ∼= Zpi , y por tanto isomorfo al grupo trivial {e} o a Zpi. De este modo (4.1) se transforma en una serie de composici´on de un grupo soluble sin m´as que eliminar los subgrupos repetidos en la cadena.
Una vez hecho esto, veamos que G es soluble si y s´olo si G/H y H son solubles. ⇒) Acabamos de probar que H es soluble. La prueba de que G/H es soluble sigue l´ıneas parecidas. A partir de la serie de composici´on de G creamos la cadena de subgru- pos:
{e} = G 0 H/H ⊂ G 1 H/H ⊂ G 2 H/H · · · ⊂ GnH/H = G/H,
lo cual tiene sentido por la primera parte del Corolario 4.1.3 b). Adem´as por el aparta- do a) y despu´es por el b) con N = Gi,
(GiH/H)
(Gi− 1 H/H) ∼= GiH/Gi− 1 H ∼= Gi/
Gi ∩ (Gi− 1 H)
Como Gi− 1 / Gi ∩ (Gi− 1 H), por el Corolario 4.1.3 a) el ´ultimo cociente es isomorfo al cociente de Gi/Gi− 1 ∼= Zpi por
Gi ∩ (Gi− 1 H)
/Gi− 1. De nuevo las posibilidades son el grupo trivial y Zpi y la cadena de subgrupos se transforma en la serie de composici´on de un grupo soluble sin m´as que tachar los eslabones repetidos. ⇐) De alguna forma lo que hay que hacer es “pegar” las series de composici´on de H y G/H. Digamos que ´estas son:
{e} = H 0 ⊂ H 1 · · · ⊂ Hn = H, {e} = G 0 /H ⊂ G 1 /H · · · ⊂ Gm/H = G/H,
(n´otese que cualquier subgrupo de G/H es de la forma N/H con N ⊂ G) donde Hi/Hi− 1 ∼= Zpi y (Gi/H)
(Gi− 1 /H) ∼= Zp′ i. Consideremos ahora
{e} = H 0 ⊂ H 1 ⊂ H 2 · · · ⊂ Hn = G 0 ⊂ G 1 ⊂ G 2 · · · ⊂ Gm = G.
Esta es la serie de composici´^ ´ on de un grupo soluble, ya que aplicando el Corolario 4.1.3, Gi/Gi− 1 ∼= (Gi/H)
(Gi− 1 /H) ∼= Zp′ i. 2
Para terminar esta secci´on daremos oportunidad de conocer el teorema de Jordan-H¨older a los lectores m´as interesados. Como ya hemos sugerido, en un paralelismo con el teorema fundamental de la aritm´etica, los cocientes Gi/Gi− 1 en una serie de composici´on corresponder´ıan a los primos, mientras que los subgrupos Gi ser´ıan productos parciales. Si la analog´ıa es adecuada, los Gi no est´an un´ıvocamente determinados y por ello la serie de composici´on de un grupo no es ´unica en general (como qued´o reflejado en los ejemplos), sin embargo los cocientes Gi/Gi− 1 deber´ıan ser los mismos (isomorfos) salvo reordenaciones en las diferentes series de composici´on.
Teorema 4.1.4 (Jordan-H¨older) Si tenemos dos series de composici´on para G
{e} = G 0 ⊂ G 1 ⊂ G 2 · · · ⊂ Gn = G, {e} = H 0 ⊂ H 1 ⊂ H 2 · · · ⊂ Hm = G
entonces n = m y los cocientes Gi/Gi− 1 y Hj /Hj− 1 son isomorfos pero quiz´a apareciendo en distinto orden.
de radicales sencillos, lo que es natural porque en otro caso no habr´ıamos podido aplicar nuestra algoritmia para calcular grupos de Galois. Por otro lado, a primera vista es razonable tratar de invertir cualquier funci´on polin´omica con operaciones elementales y radicales ya que tales funciones se construyen operando los coeficientes con potencias de la variable. Sin embargo, m´as de doscientos a˜nos despu´es de que G. Cardano publicase (en su Ars Magna de 1545) las soluciones con radicales de las ecuaciones generales de tercer y cuarto grado, hab´ıa cierta opini´on entre la comunidad matem´atica de que tales soluciones no exist´ıan para grados superiores. Finalmente, N.H. Abel demostr´o en 1824 su famoso teorema afirmando la imposibilidad de resolver la ecuaci´on general de quinto grado con radicales (a˜nos antes P. Ruffini hab´ıa obtenido una prueba poco rigurosa y con lagunas, que alcanz´o escasa difusi´on). Aqu´ı invertiremos el orden hist´orico deduciendo el teorema de Abel (cuya versi´on cl´asica pospondremos hasta la secci´on siguiente) a partir del bien conocido teorema de Galois, la estrella de esta secci´on, que da una condici´on necesaria y suficiente (de poca utilidad pr´actica pero de gran atractivo te´orico) para la solubilidad por radicales. Antes de nada veamos un par de definiciones. La primera concreta el significado de que los elementos de una extensi´on se puedan expresar con radicales, mientras que la segunda es puramente notacional.
Definici´on: Se dice que una extensi´on finita L/K es radical si existe una cadena de subcuerpos: K = L 0 ⊂ L 1 ⊂ L 2 ⊂ · · · ⊂ Ln
con Ln ⊃ L, tales que para cada 0 < j ≤ n, Lj = Lj− 1 (αj ) donde α mj j ∈^ Lj−^1 y^ mj^ ∈^ Z
Nota: Esto es, cada subcuerpo se obtiene se obtiene a partir del anterior a˜nadiendo la ra´ız mj -´esima de alg´un elemento. Algunos autores [St] piden que Ln coincida exactamente con L, pero ello no est´a inmediatamente de acuerdo con nuestra intuici´on. Por ejemplo, no ser´ıa evidente que Q(
5)/Q es radical.
Definici´on: Se dice que un polinomio P ∈ K[x] es soluble por radicales si su cuerpo de descomposici´on es una extensi´on radical de K.
Ejemplo. La extensi´on Q(
2)/Q es radical, como muestra la cadena de subcuerpos:
Q ⊂ Q(
3) ⊂ Q(
5) ⊂ Q(
2) ⊂ Q(
Ejemplo. El polinomio P = x^5 − 5 x^4 + 10x^3 − 10 x^2 + 5x − 3 ∈ Q[x] es soluble por radicales porque podemos escribir P = (x − 1)^5 − 2, por tanto todas las ra´ıces son 1+ ζk^5
2 con ζ = e^2 πi/^5 , 0 ≤ k < 5. El cuerpo de descomposici´on es L = Q(ζ, 5
- y L/Q es evidentemente radical porque ζ es una ra´ız quinta de la unidad. M´as expl´ıcitamente Q ⊂ Q(ζ) ⊂ Q(ζ, 5
- = L con ζ^5 = 1 ∈ Q y ( 5
2)^5 = 5 ∈ Q(ζ).
Una simplificaci´on que ser´a ´util m´as adelante es que en la definici´on de extensi´on radical siempre se puede suponer que Ln/K es normal. La idea es sencillamente a˜nadir todas las ra´ıces de los polinomios m´ınimos de los generadores de la extensi´on.
86 RESOLUBILIDAD POR RADICALES
Lema 4.2.1 Sea L/K radical. Siempre se puede modificar la cadena de subcuerpos de la definici´on a K = M 0 ⊂ M 1 ⊂ · · · ⊂ MN
con propiedades an´alogas de forma que MN ⊃ Ln y MN /K sea normal.
Demostraci´on: Procedemos por inducci´on en n, la longitud de la cadena inicial. Si n = 1 basta a˜nadir sucesivamente las ra´ıces de xm^1 − αm 1 1 para obtener su cuerpo de descomposici´on sobre K y por tanto una extensi´on normal. Si se cumple para n − 1, entonces K = M 0 ⊂ M 1 ⊂ · · · ⊂ MN con MN ⊃ Ln− 1 donde MN /K es normal, digamos que MN es el cuerpo de descomposici´on de P ∈ K[x]. Sea Q el polinomio m´ınimo de αn sobre K, sean β 1 = αn, β 2 ,... βk sus ra´ıces y sea M el cuerpo de descomposici´on de P Q ∈ K[x]. Por el Corolario 3.2.6, para cada 1 ≤ i ≤ k existe σi ∈ G(M/K) tal que σi(αn) = βi. Como αm n n∈ Ln− 1 ⊂ MN y MN es normal, σi(αm n n) = β im n ∈ MN. Por tanto definiendo MN +i = MN +i− 1 (βi) para 1 ≤ i ≤ k, se tiene la extensi´on buscada de subcuerpos, Ln− 1 ⊂ MN ⊂ MN +1 ⊂ · · · ⊂ MN +k con M = MN +k ⊃ Ln = Ln− 1 (αn). 2
En la apasionante historia (v´ease [Kl]) que va desde la soluci´on de las ecuaciones de tercer y cuarto grado al teorema de Galois, hay un punto medio crucial que fue la introducci´on de las llamadas resolventes de Lagrange. Para ilustrar su significado, n´otese por ejemplo que la funci´on F (x, y, z) = (x + ωy + ω^2 z)^3 , ω = e^2 πi/^3 , es invariante por las permutaciones circulares de x, y, z; mientras que su ra´ız c´ubica x + ωy + ω^2 z no queda invariante por ninguna permutaci´on de las variables. Este truco, convenientemente generalizado, permiti´o en 1770 a J.L. Lagrange (y poco antes a A.T. Vandermonde, v´ease [Ed]) unificar las complicadas soluciones de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, a la vez que atisbar que las de quinto grado dan lugar a un obst´aculo insalvable. Con el lenguaje actual, permite asociar un radical a cada cociente c´ıclico del grupo de Galois. En el pr´oximo resultado aplicaremos el truco de Lagrange para probar que cada extensi´on de Galois cuyo grupo de galois sea isomorfo a Zp se obtiene a˜nadiendo un radical de ´ındice p. De ello a probar que grupo de Galois soluble implica polinomio soluble por radicales, s´olo hay un paso, aunque entorpecido por ciertas incomodidades t´ecnicas relacionadas con las ra´ıces de la unidad.
Proposici´on 4.2.2 Sea L/K una extensi´on de Galois con G(L/K) ∼= Zp con p primo. Supongamos que K contiene a las ra´ıces p-´esimas de la unidad (el cuerpo de descom- posici´on de xp^ − 1 ) y p 6 = char(K), entonces L = K(α) con αp^ ∈ K.
Demostraci´on: Dada una r´aiz ζ de xp^ − 1 y φ ∈ G(L/K), definimos la resolvente de Lagrange como la aplicaci´on L −→ L dada por
L(ζ, φ) = Id + ζφ + ζ^2 φ^2 + · · · + ζp−^1 φp−^1
donde φk^ indica la composici´on del automorfismo φ consigo mismo k veces. Elijamos ζ 6 = 1 (siempre existe porque char(K) 6 = p implica que no todas las ra´ıces son iguales) y φ generando G(L/K). Sea β tal que L = K(β) (basta tomar β ∈ L − K, porque el grado
88 RESOLUBILIDAD POR RADICALES
H = G(L/˜ K˜) y G/H ∼= G( K/K˜ ), se tiene que G es soluble. Y como G(L/L˜ ) es un subgrupo normal de G, G(L/K) ∼= G
G(L/L˜ ) tambi´en es soluble. ⇐) Si G(L/K) es soluble, por la correspondencia entre subgrupos y subcuerpos podemos pasar de la serie de composici´on a una cadena de subcuerpos:
K = G′ n ⊂ G′ n− 1 ⊂ · · · ⊂ G′ 1 ⊂ G′ 0 = L,
y por el teorema fundamental de la teor´ıa de Galois, G′ i− 1 /G′ i es una extensi´on de Galois porque G(L/G′ i− 1 ) = Gi− 1 / Gi = G(L/G′ i) y su grado es primo, pi. En analog´ıa con lo hecho anteriormente, supongamos primero que disponemos de todas las ra´ıces pi-´esimas de la unidad en G′ i, entonces G′ i− 1 = Gi(α) con αp^ ∈ G′ i por la Proposici´on 4.2.2 y L/K ser´ıa una extensi´on radical. Si no se cumpliera nuestra suposici´on, digamos que ζ 6 = 1 con ζpi^ = 1 no est´a en Gi, consideramos la extensi´on G′ i− 1 (ζ)/G′ i(ζ) que es normal (si G′ i− 1 es el cuerpo de descomposici´on de Q ∈ G′ i[x], entonces G′ i− 1 (ζ) lo es de (xpi^ −1)Q). Sea el homomorfismo
φ : G
G′ i− 1 (ζ)/G′ i(ζ)
−→ G(G′ i− 1 /G′ i) σ 7 −→ σ|G′ i− 1
Se cumple Ker φ = {e} porque si σ fija los elementos de G′ i− 1 y los de G′ i(ζ), es la identi- dad en G′ i− 1 (ζ). Por consiguiente φ es un isomorfismo y se cumple G
G′ i− 1 (ζ)/G′ i(ζ)
Zpi y podemos aplicar la Proposici´on 4.2.2 para concluir que G′ i− 1 (ζ)/G′ i(ζ) es radical y por tanto G′ i− 1 /G′ i tambi´en lo es. 2
Con el teorema de Galois a nuestra disposici´on podemos deducir que es posible resolver con radicales todas las ecuaciones hasta grado cuatro. De hecho, como la de- mostraci´on es constructiva, en principio podr´ıamos elaborar f´ormulas expl´ıcitas para resolverlas. Volveremos sobre este punto en la pr´oxima secci´on.
Corolario 4.2.4 Sea P ∈ K[x] con char(K) = 0. Si ∂P ≤ 4 entonces P es soluble por radicales.
Demostraci´on: Sabemos que el grupo de Galois permuta las ra´ıces, con lo cual es isomorfo a un subgrupo de Sm ⊂ S 4 donde m es el n´umero de ra´ıces distintas. Por tanto, gracias a la segunda parte del Teorema 4.1.1, basta probar que S 4 es soluble. Para ello consideramos la serie de composici´on:
{Id} ⊂ 〈σ〉 ⊂ 〈σ, τ 〉 ⊂ A 4 ⊂ S 4
con σ = (1, 2)(3, 4), τ = (1, 3)(2, 4). N´otese que A 4 est´a generado por σ, τ y λ = (1, 2 , 3) (no es necesario embarcarse en muchos c´alculos, ya que los cuatro elementos de 〈σ, τ 〉 ∼= Z 2 × Z 2 multiplicados por Id, λ y λ^2 dan lugar a 12 elementos distintos y por tanto necesariamente a todo A 4 ) y λ−^1 σλ = τ , λ−^1 τ λ = στ implican 〈σ, τ 〉 / A 4. Es mucho m´as sencillo comprobar que el resto de los subgrupos son normales, por ejemplo viendo que son de ´ındice 2. Los cocientes respectivos son de ´ordenes primos 2, 2, 3 y 2, con lo cual S 4 es soluble. 2
En el otro sentido, para demostrar que no hay resolubilidad por radicales en general para grados superiores, “s´olo” hay que encontrar un cuerpo de descomposici´on de un polinomio de quinto grado cuyo grupo de Galois no sea soluble. A nuestro nivel esto no parece en absoluto sencillo porque no conocemos todav´ıa ning´un grupo no soluble y no est´a claro c´omo hallar siquiera el cuerpo de descomposici´on si no podemos emplear radicales. El primer problema lo resolveremos con un lema de teor´ıa de grupos que nos hemos estado reservando, mientras que para el segundo podremos evitar describir expl´ıcitamente el cuerpo de descomposici´on empleando un ingenioso regate te´orico.
Lema 4.2.5 El grupo A 5 de permutaciones pares de cinco elementos es simple, esto es, no tiene subgrupos normales propios.
Observaci´on: Evidentemente de este lema se deduce que A 5 no es soluble. El orden de A 5 es |S 5 |/2 = 5!/2 = 60 y con t´ecnicas de teor´ıa de grupos se puede probar (v´eanse los ejercicios de [Cl] §59) que todo grupo de orden menor es soluble. En este sentido, A 5 es el primer grupo no soluble. La demostraci´on del lema es puramente combinatoria y con modificaciones (v´ease [Cl]) servir´ıa para obtener que An es simple para n ≥ 5.
Demostraci´on: Sea {Id} 6 = H / A 5. Todo lo que hay que demostrar es que se debe cumplir H = A 5. Si Id 6 = α ∈ H, al descomponer α en ciclos disjuntos se tiene que α es un 3-ciclo, un 5-ciclo o un producto de dos trasposiciones disjuntas. En estos dos ´ultimos casos podemos suponer, quiz´a renumerando los objetos que se permutan, que α es α 1 = (1, 2 , 3 , 4 , 5) o α 2 = (1, 2)(3, 4). Un c´alculo prueba que en ambos casos (3, 4 , 5)−^1 α− i 1 (3, 4 , 5)αi es un 3-ciclo, que debe pertenecer a H porque H / A 5. Con ello hemos probado que siempre hay un 3-ciclo en H, digamos α = (1, 2 , 3). Si {a 1 , a 2 ,... , a 5 } es una reordenaci´on de { 1 , 2 ,... , 5 }, quiz´a intercambiando a 4 y a 5 se tiene que la per- mutaci´on definida por γ(ai) = i es par, entonces γ−^1 αγ = (a 1 , a 2 , a 3 ) ∈ H. En definitiva, H debe contener todos los 3-ciclos, y como ´estos generan A 5 , necesariamente se verifi- ca H = A 5. 2
Y ahora el ingenioso juego de manos para calcular un grupo de Galois sin hacer c´alculos. Abel trat´o la ecuaci´on de quinto grado con coeficientes generales, lo que no le permiti´o dar ejemplos expl´ıcitos, por lo que reservaremos su nombre para un resultado de este tipo de la pr´oxima secci´on, a pesar de que podr´ıamos ponerlo sin rubor en ´este.
Proposici´on 4.2.6 Sea P ∈ Q[x] irreducible con ∂P = 5 y exactamente tres ra´ıces reales, entonces el grupo de Galois de su cuerpo de descomposici´on es isomorfo a S 5 y P no es soluble por radicales.
Nota: La prueba podr´ıa acortarse utilizando un resultado de teor´ıa de grupos del final del curso de Algebra I (v´´ ease [St]) pero aqu´ı preferimos el camino pedestre.
Demostraci´on: La segunda parte es consecuencia de la primera, porque si P fuera soluble por radicales, S 5 ser´ıa un grupo soluble, y A 5 ⊂ S 5 tambi´en lo ser´ıa por el Teorema 4.1.1, lo que contradice el lema.
independientes es inherente al origen hist´orico del problema de la resolubilidad por radicales. Esto conduce a la definici´on de ecuaci´on general.
Definici´on: Se llama ecuaci´on general de grado n al polinomio xn^ + cn− 1 xn−^1 + · · · + c 1 x + c 0 ∈ K[x] donde K = Q[c 0 , c 1 ,... , cn− 1 ] con cj variables indeterminadas distintas.
Esta ecuaci´on general, tendr´a n ra´ıces, digamos r 1 , r 2 ,... , rn en su cuerpo de descom- posici´on. La relaci´on entre ellas y los coeficientes viene dada por las llamadas funciones sim´etricas elementales (conocidas para los que hayan le´ıdo la letra peque˜na del primer cap´ıtulo), σj = σj (r 1 , r 2 ,... , rn), definidas como la suma de todos los productos de j ra´ıces, sin importar el orden:
σ 1 = r 1 + r 2 + · · · + rn, σ 2 = r 1 r 2 + r 1 r 3 + · · · + rn− 1 rn,... σn = r 1 r 2... rn.
Igualando (x − r 1 )(x − r 2 ) · · · (x − rn) y xn^ + cn− 1 xn−^1 + · · · + c 1 x + c 0 se tiene que cn−k = (−1)kσk(r 1 , r 2 ,... , rn). Si consider´asemos las ra´ıces rj como variables, entonces para cada permutaci´on π ∈ Sn, la aplicaci´on rj 7 → rπ(j) definir´ıa un automorfismo perteneciente a G
Q(r 1 , r 2 ,... , rn)/Q(σ 1 ,... , σn)
y de hecho todos ser´ıan de esta forma porque los elementos del grupo de Galois quedan determinados por la permutaci´on que inducen sobre las ra´ıces. Esto prueba que el grupo de Galois anterior es isomorfo a Sn. Pero, la definici´on de ecuaci´on general nos habla de coeficientes variables y no de ra´ıces variables con lo cual el susodicho grupo de Galois no es exactamente el que corresponde al cuerpo de descomposici´on. Eso nos lleva a dar un rodeo. El concepto que escondemos bajo la alfombra sin mencionarlo es el de grado de trascendencia [Gar], [St], que es una generalizaci´on del grado para extensiones trascendentes (y por tanto infinitas) representando el n´umero de variables independientes que necesitamos para generar la extensi´on. Intuitivamente, la conclusi´on ser´a que el grupo de Galois es isomorfo a Sn siempre que los coeficientes no tengan nada que ver entre s´ı.
Proposici´on 4.3.1 Si L es el cuerpo de descomposici´on de la ecuaci´on general de grado n, entonces G(L/K) ∼= Sn.
Demostraci´on: Sean, como antes, r 1 , r 2 ,... , rn ∈ L las ra´ıces. Veamos primero que cada α ∈ L se escribe de forma ´unica como α = f (r 1 , r 2 ,... , rn) donde f ∈ Q(x 1 , x 2 ,... , xn), esto es, f es un cociente de polinomios de n variables y coeficientes racionales. Si tal representaci´on no fuera ´unica, restando dos de ellas tendr´ıamos g ∈ Q(x 1 , x 2 ,... , xn) − { 0 } tal que g(r 1 , r 2 ,... rn) = 0. La funci´on
F (x 1 , x 2 ,... , xn) =
π∈Sn
g(xπ(1), xπ(2),... , xπ(n))
no es id´enticamente nula (porque g no lo es) y es sim´etrica en todas sus variables. Por el Teorema 1.1.2, o usando que G
Q(x 1 , x 2 ,... , xn)/Q(σ 1 ,... , σn)
= Sn, como se explic´o antes de la demostraci´on, se tiene que F = h(σ 1 , σ 2 ,... , σn), evidentemente con h no nula. Sustituyendo las variables en ambas funciones por las ra´ıces r 1 , r 2 ,... , rn, se llega a que h((−1)nc 0 , (−1)n−^1 c 1 ,... , (−1)^1 cn− 1 ) = 0 lo cual contradice que c 0 , c 1 ,... , cn− 1 sean variables y h no id´enticamente nula.
92 RESOLUBILIDAD POR RADICALES
Una vez que representamos cada α como f (r 1 , r 2 ,... , rn), la prueba es como en los comentarios previos a la demostraci´on. A cada π ∈ Sn le podemos asociar un K- automorfismo:
L −→ L f (r 1 , r 2 ,... , rn) 7 −→ f (rπ(1), rπ(2),... , rπ(n))
lo que implica que G(L/K) tiene un subgrupo isomorfo a Sn. Como adem´as cada elemento del grupo de Galois est´a determinado por la permutaci´on que efect´ua sobre las ra´ıces r 1 , r 2 ,... , rn (porque generan L), se deduce G(L/K) ∼= Sn. 2
Con esto llegamos al famoso resultado de Abel de 1824. Entonces faltaban unos a˜nos para que Galois escribiera su famosa memoria, con lo cual no es de extra˜nar que la prueba original tenga poco que ver, al menos en apariencia, con la nuestra.
Corolario 4.3.2 (Teorema de Abel) La ecuaci´on general de grado n no es soluble por radicales para n ≥ 5.
Demostraci´on: Se puede considerar que A 5 es un subgrupo de Sn, n ≥ 5, hacien- do actuar sus permutaciones sobre los cinco primeros elementos y fijando el resto. El resultado se deduce del Teorema de Galois y del Lema 4.2.5. 2
Hasta ahora hemos escrito teoremas profundos acerca de la solubilidad por radicales y parad´ojicamente todav´ıa no hemos sido capaces de dar la f´ormula general para resolver la ecuaci´on de tercer grado que es conocida desde hace casi quinientos a˜nos. Es hora de remediarlo. En vez de buscar una f´ormula final compacta, que es muy poco atractiva, trataremos de dar un m´etodo que tenga ciertos visos de generalidad y que ilustre d´onde entra la solubilidad del grupo. Ser´ıa estupendo que tras esta explicaci´on alg´un lector comprendiera repentinamente c´omo se las apa˜naban nuestros tatarabuelos matem´aticos para hacer teor´ıa de Galois sin toda la maquinaria del ´algebra abstracta. Y ser´ıa excelso que tambi´en se percatase de que toda esta maquinaria no es superflua habida cuenta del ping¨ue negocio matem´atico que hacemos pagando abstracci´on por generalidad, rigor y elegancia. Con tan buenos prop´ositos damos paso al segundo tema, consistente en la soluci´on expl´ıcita de la c´ubica y su relaci´on con la solubilidad de S 3. Sean r 1 , r 2 , r 3 las ra´ıces de la ecuaci´on general de tercer grado x^3 + c 2 x^2 + c 1 x + c 0. Ya hab´ıamos visto que G(K(r 1 , r 2 , r 3 )/K) ∼= S 3 donde K = Q(c 0 , c 1 , c 2 ). El grupo S 3 es soluble porque se tiene la serie de composici´on
{Id} ⊂ A 3 ⊂ S 3
con cocientes A 3 /{Id} = 〈σ〉 ∼= Z 3 y S 3 /A 3 = 〈τ A 3 〉 ∼= Z 2 , por ejemplo con σ = (1, 2 , 3) y τ = (2, 3). Lo que hac´ıa Lagrange con sus resolventes (definidas en la demostraci´on de la Proposi- ci´on 4.2.2) es conseguir aplicaciones invertibles con radicales que fuerzan a que el grupo de simetr´ıas de una expresi´on sea Zp. Dando primero las simetr´ıas de A 3 /{Id} ∼= Z 3 y despu´es las de S 3 /A 3 ∼= Z 2 podremos pasar, escalando por la serie de composici´on, de
94 RESOLUBILIDAD POR RADICALES
Ejemplo. Hallar las ra´ıces de x^3 − 3 x^2 + 3x − 3 ∈ Q[x] con el m´etodo antes indicado. Aqu´ı c 0 = c 2 = −3, c 1 = 3. Empleando las f´ormulas, M 0 = 54, M 12 = 54^2. De donde L^31 = 54, L^32 = 0 (o en orden inverso si se escoge M 1 = −54). Por tanto L 1 = 3 3
2 , 3 ω 3
2 , 3 ω 3
- Finalmente, r = 1 + 3
2 , 1 + ω 3
2 , 1 + ω 3
La ecuaci´on general de cuarto grado se puede resolver de la misma forma escalando por la serie de composici´on, lo que ocurre es que ´esta es el doble de larga, con lo cual los c´alculos se duplican. El enfoque cl´asico es organizar las cuentas de manera que las ra´ıces de la ecuaci´on de cuarto grado se relacionen mediante radicales con las de una ecuaci´on de tercer grado asociada, llamada com´unmente c´ubica resolvente [Cl], [Rotm]. Desde el punto de vista de la teor´ıa de Galois esto corresponde a que los cocientes Z 3 y Z 2 que aparecen en la serie de composici´on de S 3 son los mismos que aparecen al final de la serie de composici´on de S 4.
El tercer tema que trataremos es el del c´alculo expl´ıcito del grupo de Galois del cuerpo de descomposici´on de un polinomio en Q[x], y para darle un toque cl´asico analizaremos un ejemplo que se puede relacionar con la constructibilidad con regla y comp´as. Despu´es de los resultados negativos que hemos visto, notamos que los ejemplos del cap´ıtulo anterior de grupos de Galois de cuerpos de descomposici´on de polinomios es- taban ciertamente preparados. Dado un polinomio P ∈ Q[x], lo m´as posible es que no podamos dar siquiera generadores expl´ıcitos con radicales para su cuerpo de descomposi- ci´on. Incluso en el caso ∂P = 3, aunque tengamos f´ormulas expl´ıcitas para las ra´ıces, son tan complejas que en general no ayudan nada a la hora de calcular el grupo de Galois. Veamos que al menos en este caso hay un m´etodo sencillo para saber a qu´e grupo es isomorfo el grupo de Galois. Nos restringiremos al caso irreducible porque el otro es casi trivial. (Un an´alogo para ∂P = 4 puede encontrarse en [Ka] Th. 43).
Teorema 4.3.3 Sea P = x^3 + c 2 x^2 + c 1 x + c 0 ∈ Q[x] irreducible, L su cuerpo de descomposici´on y ∆ = c^22 c^21 + 18c 2 c 1 c 0 − 4 c^31 − 4 c^32 c 0 − 27 c^20.
Entonces√ G(L/Q) ∼= A 3 (∼= Z 3 ) si y s´olo si ∆ es un cuadrado perfecto en Q, esto es, ∆ ∈ Q. En otro caso G(L/Q) ∼= S 3.
Observaci´on: A ∆ se le suele llamar discriminante y generaliza al concepto hom´oni- mo en las ecuaciones de segundo grado en un sentido que se explicar´a m´as adelante. La proporcionalidad entre ∆ y M 12 en la soluci´on general de la c´ubica no es casual y est´a relacionada con el hecho de que M 1 se constru´ıa de forma que tuviera las simetr´ıas de A 3 pero no el resto de las de S 3.
Demostraci´on: En primer lugar comprobemos la identidad algebraica:
3
−3(x − y)(x − z)(y − z) = (x + ωy + ωz)^3 − (x + ωy + ωz)^3
con ω = (−1 +
−3)/2. Ambos miembros se pueden considerar como polinomios de segundo grado en x que tienen el mismo coeficiente principal porque 3
−3(y − z) = 3(ωy + ωz) − 3(ωy + ωz). Adem´as tienen las mismas ra´ıces porque el segundo miembro
se anula para x = y y x = z (n´otese que 1 + ω = −ω y ω^3 = ω^3 = 1). Sustituyendo en esta identidad las variables por las ra´ıces r 1 , r 2 y r 3 de P , elevando al cuadrado y empleando la f´ormula para M 12 , se obtiene
∆ = (r 1 − r 2 )^2 (r 1 − r 3 )^2 (r 2 − r 3 )^2.
Como [Q(r 1 ) : Q] = 3 divide a |G(L/Q)| y los elementos de G(L/Q) permutan las ra´ıces, s´olo puede ser G(L/Q) ∼= A 3 o G(L/Q) ∼= S 3. Todas las permutaciones de A 3 dejan fijo (r 1 − r 2 )(r 1 − r 3 )(r 2 − r 3 ) y ninguna de las de S 3 − A 3 lo hace (en el primer caso basta comprobarlo para un 3-ciclo, y en el segundo para una trasposici´on). As´ı pues G(L/Q) ∼= A 3 si y s´olo si esta cantidad pertenece al cuerpo fijo
G(L/Q)
= Q. Esto es,
si y s´olo si
∆ ∈ Q. 2
El concepto de discriminante se puede generalizar si partimos de la igualdad para ∆ probada en la demostraci´on anterior.
Definici´on: Si P ∈ K[x], ∂P = n ≥ 1, y r 1 , r 2 ,... , rn son sus ra´ıces (repetidas seg´un sus multiplicidades) entonces se define el discriminante de P como
∆n(P ) =
1 ≤i<j≤n
(ri − rj )^2.
Observaci´on: Si L es el cuerpo de descomposici´on de P y L/K es separable (lo que est´a asegurado si se exige char(K) = 0) entonces L/K es una extensi´on de Galois. Como ∆n(P ) es invariante por todos los elementos del grupo de Galois (porque es invariante por cualquier permutaci´on de las ra´ıces), necesariamente en el caso separable ∆n(P ) ∈ K y habr´a una f´ormula kilom´etrica que relacione el determinante con los coeficientes del polinomio. Seg´un la demostraci´on anterior ∆ = ∆ 3 (P ) y un c´alculo prueba que en Q[x], ∆ 2 (x^2 + bx + c) = b^2 − 4 c lo que explica la notaci´on.
En principio uno podr´ıa aventurarse en la b´usqueda de un algoritmo para decidir el grupo de Galois de cualquier polinomio. Tal algoritmo existe (v´ease [St], [Gar]) pero es demasido complicado y computacionalmente costoso. Dicho esto, nos desquitaremos hallando el grupo de Galois del cuerpo de descomposici´on de un polinomio particular de cuarto grado, y elevaremos los c´alculos al rango de lema porque nos servir´an para tratar un problema de constructibilidad.
Lema 4.3.4 Sea L el cuerpo de descomposici´on de P = x^4 − 10 x^2 − 4 x + 6 ∈ Q[x]. Entonces G(L/Q) ∼= A 4.
Demostraci´on: Sean r 1 , r 2 , r 3 , r 4 las ra´ıces de P y consideremos las cantidades:
s 1 = (r 1 + r 2 )(r 3 + r 4 ), s 2 = (r 1 + r 3 )(r 2 + r 4 ), s 3 = (r 1 + r 4 )(r 2 + r 3 ).
El polinomio Q = (x − s 1 )(x − s 2 )(x − s 3 ) es invariante por todas las permutaciones de las ra´ıces (basta comprobar que el efecto de las trasposiciones (1, 2), (1, 3) es intercam- biar los sj ) por tanto Q ∈ Q[x]. Con las funciones sim´etricas elementales y suficiente paciencia uno tendr´ıa que poder expresar los coeficientes de Q en funci´on de los de P.
Observaci´on: El rec´ıproco del Lema 2.3.1 sin embargo s´ı es cierto con la hip´otesis adicional de que Q(α)/Q sea normal, y por tanto de Galois. Un teorema de teor´ıa de grupos asegura que los grupos de orden 2n^ son solubles (v´ease [Cl], [Ga]), en particular lo es el grupo de Galois de Q(α)/Q y, aplicando la correspondencia entre subgrupos y subcuerpos, la serie de composici´on se transforma en la cadena de subcuerpos requerida para la constructibilidad.
Como tema final, estudiaremos las extensiones ciclot´omicas y su relaci´on con la cons- tructibilidad de pol´ıgonos regulares.
Teorema 4.3.6 El grupo de Galois de Q(ζ)/Q con ζ = e^2 πi/n, es isomorfo al grupo (multiplicativo) de unidades de Zn.
Demostraci´on: Sea P ∈ Q[x] el polinomio m´ınimo de ζ. Como P |xn^ − 1, se tiene de hecho P ∈ Z[x] (por el lema de Gauss, ejercicio). Basta demostrar que las ra´ıces de P son exactamente ζk, 1 ≤ k < n, con k y n coprimos, ya que en ese caso los Q-automorfismos ser´ıan los σk determinados por σk(ζ) = ζk^ (Corolario 3.2.6) y la aplicaci´on del grupo de Galois en el grupo de Galois en el grupo de unidades dada por Φ(σk) = k ser´ıa claramente un isomorfismo: es biyectiva y Φ(σkσl) = Φ(σkl) = Φ(σk) · Φ(σl). Para probar que los ζk^ son las ra´ıces de P , definimos Qm como el polinomio resultante al sustituir en P la variable x por xm. En particular P (ζk) = 0 ⇔ Qk(ζ) = 0. Sea Rm el resto al dividir Qm entre P. La sucesi´on de restos R 1 , R 2 , R 3 ,... es peri´odica de periodo n porque Qm+n(ζ) − Qm(ζ) = 0 y, como P es el polinomio m´ınimo de ζ, P debe dividir a Qm+n − Qm. Por otra parte, desarrollando (anxnp+an− 1 x(n−1)p+· · ·+a 1 xp+a 0 )−(anxn+an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 )p^ se obtiene
∑^ n
j=
(aj − apj )xjp^ −
r 0 +r 1 +···+rn=p
p! r 0 !r 1! · · · rn!
ar 00 (a 1 x)r^1 · · · (anxn)rn
con 0 ≤ rj < p. Los coeficientes del segundo sumatorio son obviamente divisibles por p, y los del primero tambi´en lo son por el peque˜no teorema de Fermat. En particular, los coeficientes de Qp − P p^ son divisibles por p para todo primo. Digamos que Qp − P p^ = pC = p(ApP + Bp) con ∂Bp < P , entonces necesariamente Rp = pBp (Qp es un m´ultiplo de P m´as pBp) y se deduce que los coeficientes de Rp son todos m´ultiplos de p. Sea N mayor que el m´aximo valor absoluto de los coeficientes de los Rj (est´a bien definido porque los restos son peri´odicos). Evidentemente, si p > N se tiene Rp = 0. Si k = p 1 p 2 · · · pr con pj primos mayores que N , entonces Rpj = 0 ⇒ P |Qpj y de aqu´ı P (ζp^1 ) = Qp 1 (ζ) = 0, P (ζp^1 p^2 ) = Qp 2 (ζp^1 ) = 0 (porque P (ζp^1 ) = 0), e iterando P (ζk) = 0. Como ζk^ = ζk+an, lo ´unico que falta por demostrar es que a cualquier 1 ≤ k < n le podemos sumar un m´ultiplo de n de forma que todos los factores primos del resultado sean mayores que N. Esto es inmediato sumando nP con P el producto de los primos menores que N que no dividen a k. N´otese que P est´a bien definido, por la infinitud de los primos, eligiendo N suficientemente grande, lo cual es siempre posible. 2
98 RESOLUBILIDAD POR RADICALES
Si uno recuerda el curso de Conjuntos y N´umeros el siguiente corolario es una con- secuencia directa, en otro caso, hay que husmear en la demostraci´on.
Corolario 4.3.7 Si n factoriza como n = pα 1 1 pα 2 2 · · · pα r r con pj primos distintos y αj ∈ Z+, el grado de Q(ζ)/Q viene dado por la funci´on de Euler φ(n) = pα 1 1 −^1 (p 1 −1)pα 2 2 −^1 (p 2 −
- · · · pα r r^ −^1 (pr − 1)
Demostraci´on: Por definici´on, la funci´on φ de Euler cuenta los 1 ≤ k < n coprimos con n, as´ı que lo ´unico que hay que recordar es la f´ormula para φ(n). Veamos una de las pruebas que se pudo incluir en el curso de Conjuntos y N´umeros: Si p es primo, se cumple φ(pα) = pα−^1 (p − 1) = pα^ − pα−^1 porque entre 1 y pα^ hay exactamente pα−^1 m´ultiplos de p. Con ello s´olo resta probar que φ(ab) = φ(a)φ(b) si a y b son coprimos. Si 1 ≤ r < ab es coprimo con ab, al reducirlo m´odulo a y b se obtienen restos ra y rb coprimos con a y b respectivamente. Rec´ıprocamente el teorema chino del resto asegura que, dados estos ra y rb, existe un ´unico r m´odulo ab tal que r ≡ ra (mod a) y r ≡ rb (mod b). As´ı que los cardinales contados con φ(ab) y φ(a)φ(b) coinciden. 2
Antes de seguir fijemos una notaci´on que previsiblemente tambi´en se mencion´o en Conjuntos y N´umeros.
Definici´on: Los primos p para los que p − 1 es potencia de dos se llaman primos de Fermat.
Si excluimos p = 2 como caso especial, todos los primos de Fermat son de la forma 22 n
- 1 porque 2ab^ + 1 con b > 1 impar es compuesto: 2ab^ + 1 = (2a^ + 1)(2a(b−1)^ − 2 a(b−2)^ + · · · − 2 a^ + 1). La terminolog´ıa viene porque Fermat crey´o err´oneamente que todos los n´umeros de la forma 2^2 n
- 1 eran primos. El primer contrajemplo lo encontr´o Euler: 22 5
- 1 = 641 · 6700417. De hecho a partir de n = 5 no se ha encontrado todav´ıa ning´un primo. Con esto ya estamos preparados para extasiarnos con el resultado de Gauss sobre constructibilidad de pol´ıgonos regulares, uno de los m´as bellos de las Matem´aticas.
Teorema 4.3.8 El pol´ıgono regular de n lados es construible con regla y comp´as si y s´olo si n = 2rp 1 p 2 · · · pk con pi primos de Fermat distintos.
Demostraci´on: Distingamos ambas implicaciones. Escribamos ζ = e^2 πi/n. ⇒) Seg´un el Teorema 4.3.6 y su corolario, Q(ζ)/Q tiene grupo de Galois abeliano de orden una potencia de dos. Como Q(cos(2π/n))/Q es una subextensi´on de Q(ζ)/Q, debe ser de Galois (en un grupo abeliano todo subgrupo es normal) y tener tambi´en estas propiedades. Digamos G = G
Q(cos(2π/n))/Q
con |G| = 2m. Al ser G abeliano, es soluble y existe una serie de composici´on:
{e} = G 0 ⊂ G 1 ⊂ G 2 ⊂ · · · ⊂ Gm = G
Con |Gi|/|Gi− 1 | = 2. Por la correspondencia de Galois esto da lugar a una cadena de subgrupos:
Q = L 0 ⊂ L 1 ⊂ L 2 ⊂ · · · ⊂ Lm = Q(cos
2 π n
