antiderivadas o integrales, Transcripciones de Cálculo

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CÁLCULO 2

La Antiderivada y La Integral

Indefinida.

Departamento de Ciencias

Temperatura del

Cuerpo 12 ° C

Temperatura del

Refrigerador= 5°C

¿Qué pasa con la temperatura del cuerpo?

Ley de Enfriamiento de Newton

El calor transferido hacia el

cuerpo o viceversa es modelado

por:

Si la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio

ambiente no es demasiado grande.

( ) a

dT K T t dt

 

¿cuál es la temperatura T(t) del cuerpo en cada instante de

tiempo, si su temperatura inicial es de 80 °C?

¿Cuál es la altura h(t) del agua en cualquier instante

de tiempo t?

Si la altura

disminuye a

razón de:

    (^)   

 

dh (^1) t

20 dt (^25 )

Vaciado de un Tanque

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante

resuelve problemas vinculados a la

gestión e ingeniería a partir de Ecuaciones

Diferenciales (ED) con una condición

inicial, usando el cálculo de las integrales

inmediatas y las reglas básicas de

integración indefinida, de forma

coherente.

Distancia Velocidad

Ingreso Ingresos Marginal

Costo Costo Marginal

Población Razón de Crecimiento de

la población

Derivada

Antiderivada

f ( )x  3 x

3 1

F x( )  x +

3 2

F ( )x  x +

3 3 F ( )x  x - 1

3

4

F ( )x  x - 2

• C;

C es una costante cualquiera

i F x  x

3 ( )

Son antiderivadas

De la misma forma, son antiderivadas las siguientes

funciones:

Puesto que:

 

'( ) 3 ( )

'( ) ( )

i

F x x f x

F x f x

 

 

Significado geométrico:

Si es una antiderivada de en I , cualquier otra

antiderivada de f en I es una curva paralela al gráfico de

F x( ) C

Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I ,

entonces la antiderivada general de f sobre I es:

F x( ) f^ ( )x

y F x( )

Teorema

Donde:

C es una constante

2. Interpretación Geométrica

Las primitivas difieren en una constante

Integrando

Derivando

3. La Integral Indefinida

f x( ) ( ) d x  F(x)  C 

Constante de

Integración

Variable de Símbolo de Integración

Integral

Diferencial de x

Una antiderivada de f

4 .1. (^)  f ( x )  g x ( )  d ( ) x  f ( ) x d ( ) x  g x ( ) d ( x )   

Cf x d x  C f x d x  

4. 2. ( ) ( ) ( ) ( )

 Af^ ( ) x^^ ^ Bg x^ ( )^ ^ dx^ ^ A f^ ( ) x dx^^  B^ g ( ) x dx   

Las constantes pueden salir y entrar del signo de la integral indefinida.

La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma

(resta) de las integrales indefinidas.

4. Propiedad de Linealidad

1

• Reescribir la integral

2

• Identificar la Regla de Integración

3

• Integrar

4

• Simplificar 5. Integración Inmediata

Ejemplo:

4

df x

x

dx

  f (0)  5

Ecuación Diferencial^ Condición Inicial

6. Ecuación Diferencial (ED)

Es aquella condición que se expresa 0 0

f ( x )  y

Condición Inicial:

Esta condición permite determinar la Solución Particular

de la ED.

Una ED en x e y: es una ecuación que involucra a x, y y a

una derivada de y.

Resolución de ED

Ejemplo:

2 1

2

df x

dx (^) x

 

Resolver la siguiente Ecuación Diferencial

Esta solución se denomina

Solución General pues depende

de una constante C

Para resolverla se integra ambos miembros, obteniendo:

3

( )

3

x f x   x C

Si: f (0)  5

Se reemplaza la CI en la SG:

3

( ) 3

x f x   x C

Obteniendo:

3 0 (0) 0 5 5 3

f    C   C 

La solución particular es:

3

( ) 5 3

x f x   x 