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NÚMEROS COMPLEJOS
Se incorporan al sistema numérico para permitir la extracción de raíces cuadradas de números
negativos.
Unidad imaginaria j = - 1
FORMA CARTESIANA O RECTANGULAR
El número complejo está expresado como la suma de un número real y un número imaginario.
N = a + jb a = Re [ N ] b = Im [ N ]
FORMA POLAR El número complejo está representado en el plano complejo por coordenadas polares.
N = r ∠ θ r = a^2 + b^2
a
θ= tg −^1 b
a = rcos θ
b = rsen θ
r = N = Módulo
θ= Arg [ N ] = Argumento
FORMA EXPONENCIAL
N = rej^ θ
Resumiendo:
N = a + jb = rej θ^^ = r ∠θ= rcos θ+ jrsen θ
0 a
Real
Imaginario b N^ = a +^ jb
Real
r θ a
Imaginario b N =^ r ∠^ θ
0
- CO N J UGADO DE UN N Ú ME RO CO MP L E J O
El conjugado se obtiene invirtiendo el signo de su componente imaginaria.
N = a + jb = r ∠θ = rej^ θ
N* = a − jb = r ∠−θ = re − j^ θ
[ ]
a
tg b a
Arg N *^ =−θ= tg −^1 − b =− −^1
- O P E RACI O N E S CO N N ÚME RO S CO MP L E J O S
Sean dos números complejos: N = a + jb = r ∠θ = rej^ θ y Z = c + jd = z ∠α = zej^ α
SUMA/RESTA
Para este tipo de operaciones los números complejos han de estar expresados en forma rectangular o en forma gráfica en el plano complejo.
N ± Z = ( a + jb ) ±( c + jd ) =( a ± c ) + j ( b ± d )
PRODUCTO
Para esta operación los números complejos pueden estar expresados en cualquiera de sus formas de notación.
N × Z = ( a + jb ) (⋅ c + jd ) =( ac − bd ) + j ( ad + bc ) j^2 =− 1
N × Z = r ∠θ × z ∠α= r × z ∠θ+ α
N × Z = rej^ θ^ × zej α = r × zej( θ+^ α^ )
COCIENTE
Para esta operación los números complejos pueden estar expresados en cualquiera de sus formas de notación.
c^2 d^2
ac bd jbc ad c jd c jd
a jb c jd c jd
a jb Z
N
θ α α
θ (^) = ∠ − ∠
z
r z
r Z
N
j( ) j
j e z
r ze
re Z
N θ α α
θ (^) − = =
−b
b r
− θ
r θ (^) a (^) Re
Im
b N =^ r ∠^ θ
N * = r ∠− θ
0
