apunts probabilitat, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga apunts probabilitat y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Capítol 8 1

Probabilitat

Introducció 2

Un objectiu de l’estadística és l’estudi de les característiques d’una població , en general “desconeguda”, a partir de les dades associades a una mostra d’aquesta. Cens : La mostra és tota la població. Models estadístics : Permeten obtenir informació a partir de les dades obtingudes en la mostra. Càlcul de probabilitats : Eina per a la construcció i l’estudi de models estadístics.

Definicions 4

Exemples

Exemple : Realitzem un experiment aleatori consistent en llençar una moneda. L’espai mostral és Ω = {cara(−), creu(+)}. Un exemple de esdeveniment seria S = {cara}.

Exemple : Realitzem un experiment aleatori consistent en llençar un dau. L’espai mostral és Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Exemple de succesos serien S 1 = { 2 , 4 , 6 } (parell) i S 2 = { 1 , 3 , 5 } (senar).

Exemple : Realitzem un experiment aleatori consistent en llençar una moneda dues vegades. L’espai mostral és Ω = {++, +−, −+, −−}. Un exemple de esdeveniment seria S = {++, −−}.

Definicions 5

Suposem que hem fet un experiment i hem obtingut el resultat ω ∈ Ω. Direm que un esdeveniment A ⊂ Ω s’ha realitzat si ω ∈ A.

Ω és el esdeveniment segur.

∅ és el esdeveniment impossible

Definició i propietats de la probabilitat 7

Una probabilitat P sobre un espai mostral Ω és una aplicació

P : P(Ω) −→ [ 0 , 1 ]

que satisfà 1 P(Ω) = 1. 2 Per a tot A, B ∈ P(Ω) tals que A ∩ B = ∅ ( esdeveniments mútuament excloents ) es té

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Propietats de la probabilitat 1 P(∅) = 0. 2 Si A ⊆ B aleshores P(A) ≤ P(B). 3 P(Ac^ ) = 1 − P(A). 4 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Definició de probabilitat 8

Observació i exemple

Observació : Suposem que els esdeveniments elementals són equiprobables i l’espai mostral Ω té un nombre finit d’elements. Aleshores si A ∈ P(Ω) tenim que

P(A) =

nombre d’elements en A nombre d’elements en Ω

#A

és una probabilitat. Exemple : Volem saber quina és la probabilitat que al llençar dues vegades una moneda surti almenys una cara. L’espai mostral és Ω = {++, +−, −+, −−}. Si suposem que la moneda no està trucada, tots els esdeveniments elementals tenen la mateixa probabilitat. El esdeveniment consistent en sortir almenys una cara és A = {−−, +−, −+}. Per tant, P(A) =

Probabilitat condicionada i esdeveniments

independents 10

Exemple

Exemple Llencem un dau. Tenim que Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Considerem els esdeveniments A = { 1 , 2 , 5 }, B = { 1 , 3 , 5 , 6 } i C = { 1 , 3 , 5 }. Aleshores P(A) =

, P(B) =

i P(C) =

A més, A ∩ B = A ∩ C = { 1 , 5 } i P(A ∩ B) = P(A ∩ C) =

. Per tant,

P(A|B) =

P(A ∩ B)

P(B)

= P(A),

P(A)P(B) =

= P(A ∩ B).

Per tant, A i B són esdeveniments independents. D’altra banda,

P(A|C) =

P(A ∩ C)

P(C)

, P(A)P(C) =

Per tant, A i C són esdeveniments dependents.

Variables aleatòries 11

Definició i exemples

Definició : Una variable aleatòria és una aplicació X : Ω −→ R que assigna al resultat d’un experiment aleatori (a cada esdeveniment elemental) un nombre real.

Exemples : 1 Si llencem un dau podem definir una variable aleatòria que sigui el valor que surt. 2 Si llencem dos daus podem definir una variable aleatòria que sigui la suma dels valors que han sortit 3 Si llencem una moneda, podem definir una variable aleatòria mitjançant X (+) = 1 i X (−) = −1.

Variables aleatòries discretes 13

Exemple

Exemple Llencem dos daus no trucats i X assigna a cada resultat el valor de la suma. Llavors, X = {x 1 ,... , x 11 } = { 2 , 3 , 4 ,... , 12 }. Sigui pi la probabilitat que X = xi. Aleshores, donat que Ω = {(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 6 } i per tant #Ω = 36.

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 pi 361 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361

Tenim que μ = 7, Var =

= 5 .833333 i σ = 2 .415229.

Variables aleatòries 14

Variables aleatòries contínues

X és una variable aleatòria contínua si el conjunt de valors que pot prendre és un subconjunt continu (no discret) de la recta real R. Diem que f (x) és una funció de densitat si satisfà f∫ ( x) ≥ 0. +∞ −∞ f^ (x)dx^ =^ 1. Per a [a, b] ⊂ R, amb −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞, definim la probabilitat que X estigui entre a i b com

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ (^) b

a

f (x)dx.

Definim la funció de distribució acumulada com

F (t) = P(−∞ ≤ X ≤ t) =

∫ (^) t

−∞

f (x)dx.

Distribucions de probabilitat discretes 16

Distribució Bernoulli

Sigui X una variable aleatòria definida a l’espai mostral Ω que només prengui els valors 0, 1. Donat p ∈ ( 0 , 1 ). La distribució de probabilitat ve donada per

P(X = 1 ) = P({ω ∈ Ω : X (ω) = 0 }) = p,

P(X = 0 ) = P({ω ∈ Ω : X (ω) = 1 }) = 1 − p = q. Exemple: Considerem l’experiment que consisteix en llençar una moneda (no trucada), i la variable aleatòria que val 1 si surt cara i 0 si surt creu.

Ω = {+, −}, P(X = 0 ) = P(X = 1 ) = 1 / 2

La mitjana i la desviació típica són μ(X ) = p i σ(X ) =

p( 1 − p), respectivament.

Distribucions de probabilitat discretes 17

Distribució binomial

Sigui A un esdeveniment de probabilitat p ∈ ( 0 , 1 ). Considerem n proves independents, on es pot o no realitzar el esdeveniment A. Sigui X la variable aleatòria que compta el nombre de vegades que es realitza A. X és una variable aleatòria finita i X = { 0 , 1 ,... , n}. Es diu que X segueix una distribució binomial de paràmetres n i p i escriurem X ∼ B(n, p). La distribució de probabilitat ve donada per

P(X = k) =

n k

pk^ ( 1 − p)n−k^ , 0 ≤ k ≤ n.

La mitjana i la desviació típica són μ(X ) = np i σ(X ) =

np( 1 − p), respectivament.

Distribucions de probabilitat 19

Distribució binomial: Un altre exemple

Exemple Llencem cinc vegades una moneda. Quina és la probabilitat d’obtenir al menys una cara? Si X és la variable aleatòria que compta el nombre de vegades que surt cara, tenim que X ∼ B( 5 , 1 / 2 ). Noteu que si p 1 c és la probabilitat de que surti al menys una cara i p 0 c és la de que no surti cap cara, tenim que p 1 c = 1 − p 0 c. Com

p 0 c = P(X = 0 ) =

llavors p 1 c = 1 −

Distribucions de probabilitat 20

Distribució Normal

Definició Diem que una variable aleatòria contínua X segueix una llei normal de paràmetres μ ∈ R i σ > 0 si la seva funció de densitat és

f (x) =

σ

2 π

e−^

(^12) ( x−σμ )^2 .

Escriurem X ∼ N(μ, σ). Si μ = 0 i σ = 1 la distribució N( 0 , 1 ) s’anomena normal estàndard. Observacions : Sigui X ∼ N(μ, σ). La mitjana és μ i la desviació típica és σ. f és simètrica respecte μ.

Si a ≤ b, P(a ≤ X ≤ b) =

σ

2 π

∫ (^) b a e

− 12 ( x−σμ )^2 dx.

Notació : Sigui Z ∼ N( 0 , 1 ). Fixat 0 ≤ α ≤ 1 denotem per zα el nombre real que compleix P(zα ≤ Z ) = α.