TEMA 3: C`alcul de probabilitats.
Introducci´o a la probabilitat
1. Tirem un dau. Determineu:
(a) L’espai mostral Ω.
(b) Expresseu els esdeveniments: A= ”obtenir una puntuaci´o parell”, B= ”obtenir m´es de 4 punts”, C=
”obtenir un 5”.
(c) Expresseu tamb´e els esdeveniments: A∪B,A∩B,A∩C,B−C,Ac. Dibuixeu els diagrames de
Euler-Venn.
2. Siguin AiBdos esdeveniments. Suposant que P(A)=0.3, P(B) = 0.6 i P(A∩B)=0.1, calculeu les seg¨uents
probabilitats:
(a) P(A∪B)
(b) P(Ac)
(c) P(Ac∩B)
(d) P(A∩Bc)
(e) P(Ac∩Bc)
3. Una p oblaci´o est`a afectada per tres malalties diferents A,BiC. La probabilitat que una persona pateixi A
´es 0.30, la probabilitat que pateixi B´es 0.20 i la probabilitat que pateixi C´es 0.15. La probabilitat que una
persona pateixi AiB´es 0.12, la que pateixi AiC´es 0.09 i la que pateixi BiC´es 0.06. La probabilitat que
una persona pateixi les tres malalties ´es 0.03. Es demanen les probabilitats que una persona escollida a l’atzar:
(a) pateixi almenys una malaltia,
(b) nom´es pateixi A,
(c) pateixi BoC, per`o no pateixi A,
(d) pateixi Ao b´e no pateixi ni Bni C.
4. Quina ´es la probabilitat que surti un nombre parell en una tirada d’una dau trucat de manera que la probabilitat
de cadascuna de les cares ´es proporcional al nombre de punts gravat en aquesta cara?
Probabilitat condicionada i independ`encia estoc`astica
5. A partir d’una s`erie d’estudis sobre els car`acters A,B i O que determinen el grup sanguini, s’ha observat que
els cromosomes portadors dels codis A,B i O es troben en proporcions p=0,28, q=0,06 i r=0,66 respectivament.
Admetent la mateixa distribuci´o a homes i dones i que l’aparellament no est`a condicionat p el grup sanguini,
determineu: a) La probabilitat dels fenotips A, B, AB i O. b) La probabilitat que un individu sigui homozigot.
c) La probabilitat de ser heterozigot.
6. Un laboratori produeix un determinat kit que pot tenir defectes amb probabilitat 0.1. Cada kit fabricat passa
per un verificador de qualitat que detecta defectes de fabricaci´o amb probabilitat 0.95. Si el verificador veu un
defecte, el kit es declara defectu´os. A m´es, el verificador pot declarar defectu´os, per error, un kit apte, la qual
cosa succeeix amb probabilitat 0.07. Es demana:
(a) La probabilitat que un kit defectu´os sigui declarat apte.
(b) La probabilitat que un kit sigui declarat defectu´os.
(c) Si un kit ha estat declarat apte pel verificador, quina ´es la probabilitat que realment sigui apte?
7. Pels s´ımptomes observats en un malalt, i segons l’experi`encia acumulada en un gran nombre de situacions
similars, es dedueix que ha pogut agafar la malaltia Aamb probabilitat 1/3, o la malaltia Bamb probabilitat
2/3. Per tal de precisar el diagn`ostic, es fa una an`alisi cl´ınica al malalt amb dos resultats possibles, positiu o
negatiu. Se sap, tamb´e per experi`encia, que en els pacients que tenen la malaltia Al’an`alisi ´es positiva amb
probabilitat 0.99, i en els que pateixen la malaltia Bho ´es amb probabilitat 0.06.
(a) Quina ´es la probabilitat que l’an`alisi doni un resultat negatiu?
1
