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TEMA 2 – MATRICES
OPERACIONES CON MATRICES
EJERCICIO 1 : Dada la matriz
A , comprueba que A
2 = 2A – I, siendo I la matriz identidad. Usando la
fórmula anterior, calcula A
Solución: Comprobamos que A
= 2 A - I : (^) Soniguales.
2 A I
A
2
Utilizando que A
= 2 A - I , calculamos A
A
= ( A
= (2 A - I )
= 4 A
- 4 AI + I
= 4(2 A - I ) - 4 A + I = 8 A - 4 I + 4 A - I = 4 A - 3 I
Por tanto:
A 4 A 3 I 4
4
EJERCICIO 2 :
Si lamatriz A
Satisface la igualdad A
**2
- xA + yI = 0, halla los valores numéricos de x e y (I**
representa la matriz identidad de orden 2.
Solución:
Calculamos :
2 A
A
2
Así:
15 3 x 10 4 x y
5 x y 10 2 x
y
3 4
x
15 10
A xA yI
2
Luego, ha de ser:
y 10 4 x 10 20 10
x 5
x 5
y 5 x 5 5 10
10 4 x y 0
15 3 x 0
10 2 x 0
5 x y 0
Por tanto: x = 5; y = 10
EJERCICIO 3 : Si I es la matriz identidad de orden 2 y A =
, halla el valor que deben tener “x” para que A
2
- xA +
yI = 0
Solución:
Calculamos eigualamosa 0 :
2 A xA yI
A
2
6 2 x 5 x y
2 2 x y 9 3 x
y
2 1
x
6 5
A xA yI
2
Así, tenemos que ha de ser:
y 5 x 5 3 8
x 3
x 3
y 2 2 x 2 6 8
5 x y 0
6 2 x 0
9 3 x 0
2 2 x y 0
Por tanto: x = 3, y = 8
EJERCICIO 4 : Dada la matriz:
A
a) Calcula AAyAA ,dondeA denotalamatriztraspuestadeA.
t t t
,talesque: AAX X
y
x
b) Encuentralasmatricesdelaforma X
t
,talesque: AAY Y
c
b
a
c) Encuentratodaslasmatricesdelaforma Y
t
Solución:
a) La matriz transpuesta de A es:
.Por tanto :
A
t
A A
t
AA
t
b) Imponemos la condición dada:
2 y y y 0
x x
y
x
2 y
x
y
x
y
x
AAX X
t
,donde x.
0
x
Por tanto: X R
a c c a 0
b b
a c a c 0
c
b
a
a c
b
a c
c
b
a
c) A AY Y
t ,dondeb.
b
Por tanto: Y R
PROBLEMAS CON MATRICES
EJERCICIO 5 : Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche de tres familias vienen expresados en la matriz A. La
evolución de los precios de los años 1997 a 2000 viene reflejada en la matriz B.
a) Hallar, si es posible, A · B y B · A e indicar que información proporciona el producto matricial.
b) ¿Quéinformaciónnosdaelelemento delamatriz producto? 34
c
LECHE
AGUA
PAN
PAN AGUA LECHE 1997199819992000
3
2
1
B
F
F
F
A
Solución:
a) La matriz A es 3 3 y la B es 3 4. Para poder efectuar el producto de dos matrices, el número de columnas de la primera
debe coincidir con el número de filas de la segunda.
Por tanto, el producto B · A no se puede hacer, pero el A · B sí.
a) Resume la información anterior en dos matrices: M y N****. M que recoja la producción por minuto, y N que recoja los
precios.
b) Calcula el elemento a 11
de la matriz M · N y da su significado.
c) Calcula el elemento a 11
de la matriz N · M y da su significado.
Solución:
a) Unidades producidas por minuto:
M
H
Q
A
Precios (en céntimos de euro):
N
A Q H
b) a 11
= 100 · 0,20 200 · 0,30 500 · 0,40 = 280 céntimos.
Producen 280 céntimos de euro de clavos de aluminio por minuto.
c) a 11
= 0,20 · 100 0,30 · 50 0,40 · 700 = 315 céntimos.
Producen 315 céntimos de euro de clavos de 1cm por minuto.
CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Buscar alguna sin inversa
EJERCICIO 9 : Calcula la inversa de las siguientes matrices:
A
B =
C
Solución:
La inversa de A:
a a
a a
a
3 1
2 21
1
a a
a
a
3 2
2
1
a
a a
a a
3
22 5 3
1 3 3
a
a
a a
3
2
101 32
a
a
a
3
2
1
2
10
1
1
10
1
Por tanto,
1
A
La inversa de B:
F F F
F F 2 F
2 2 1 3 3 2
No tiene inversa porque la tercera fila es nula.
La inversa de C:
a
a a
a
3
2 1
1
a a
a
a
2 3 2
2
1
a
a a
a a
3
2 3
41 3 2
a
a
a a
3
2
1 3
a
a
a
3
2
1
2
4
1
1
8
1
Así, C
1
CALCULAR LA POTENCIA N-ÉSIMA DE UNA MATRIZ
EJERCICIO 10 : Se considera la matriz: ,donde , y sontresnúmerosrealesarbitrarios.
c a b c
a b
A
a) Encuentra A
n
para todo natural n. .
2 35 b) Calcula A A
Solución:
A A
1 a)
0 0 ac
0 0 c
0 a b
0 0 c
0 a b
A
2
0 0 c
0 a b
0 0 ac
A A A
3 2
Por tanto, comoA 0 ,tenemosqueA 0 paran 3.
3 n
b) Teniendo en cuenta lo obtenido en a):
0 0 ac
A A 0 A A A
2 2 2
2 35
RESOLVER ECUACIONES MATRICIALES
EJERCICIO 11 : Dadas las matrices:
y B =
A
a) Compruebaque A
1 b) Halla una matriz, X , tal que AX = B****.
Solución:
a) SetratadeprobarqueAA I,donde Ieslamatrizidentidaddeorden 3. Efectuamoselproducto :
1
,comoqueriamos demostrar.
b) Despejamos enlaigualdad ,multiplicandoporlaizquierdapor :
1 X AX B A
A AX A B IX A B X A B
1 1 1 1
Por elapartadoa),conocemosA ;luego :
1
X
RESOLVER SISTEMAS MATRICIALES
EJERCICIO 15 : Resuelve el siguiente sistema matricial:
3 X 2 Y X Y
Solución:
Llamamos:
y B
A Así, el sistema queda:
X X B X B X
X X A
X B X A X B X A X A B X A 2 B
Y B X B A B B A B B A 3 B 2 A
Por tanto:
A 2 B
X
3 B 2 A
Y
EJERCICIO 16 : Halla la matriz X
+ Y
, donde X e Y son dos matrices cuadradas de orden dos,
verificando:
5 X 3 Y X Y
Solución:
.Tenemosqueresolverelsistema :
2 9
y B
4 15
Llamamos A
Y 5 B 3 A
15 X 10 Y 5 B
15 X 9 Y 3 A
Sumando :
3 X 2 Y B
5 X 3 Y A
a
a
5 2
3 1
X 2 A 3 B
9 X 6 Y 3 B
10 X 6 Y 2 A
Sumando :
a
a
3 2
2 1
Por tanto:
X 2
Y 5
Calculamos e :
2 2 X Y
; Y
X
2 2
Luego:
X Y
2 2
HALLAR LAS MATRICES QUE COMUTAN CON UNA DADA
EJERCICIO 17 :
a) Dada ,
1 0
A hallar las matrices que conmutan con A.
b) Escribe una matriz que conmute con A****.
Solución:
2 c d 0
2 a b 0
a b
2 a 2 b
c d
a b
c d
a b
a)
R
c, d
c d
2 c d 0
Por tanto, X
a 2 c d
b 0
b 0
a 2 c d
2 b 0
2 a 2 a b
b) Porejemplo,sic 1 yd 1 : X
COMBINACIÓN LINEAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES
EJERCICIO 1 8 : Estudia la dependencia lineal del conjunto de vectores:
u 1, 1, 1, 1 ; u 2, 3, 2, 1 ; u 1, 3, 1, 1
1 2 3
Solución:
Estudiemos el rango de la matriz cuyas filas son los tres vectores dados. El rango coincide con el número de vectores linealmente
independientes.
a a
a
a
a a
a a
a
3 2 2
2
1
3 1
2 2 1
1
Por tanto, el rango de la matriz es 2. Luego, hay dos vectores linealmente independientes; el tercero se puede escribir como
combinación lineal de los otros dos.
Los tresvectoresu,u,u sonlinealmentedependient es. 1 2 3
RANGO DE UNA MATRIZ
EJERCICIO 19 : Halla el rango de las siguientes matrices:
a)
M b)
A c)
A
d)
A e)
M
Solución:
a)
a a
a a
a a
a
a
a
a
a
4 31
3 1
2 1
1
4
3
1
2
. Por tanto,ran M 3.
a a
a a
a
a
3 4 4 2
3 3 2
2
1
b)
a a
a a
a a
a
a
a
a
a
4 5 1
3 1
2 2 1
1
4
3
1
2
C
a a
a a
a a
a
a
a
a
a
4 1
3 21
2 41
1
4
3
1
2
a
a a
a
a
4
3 2
2
1
ran ( C ) = 3.
D
a a
a a
a
a
a
a
3 1
2 31
1
3
1
2
a a
a
a
3 2
2
1
Por tanto, ran ( D ) = 2.
E
a a
a a
a
a
a
a
3 41
2 21
1
3
1
2
a a
a
a
3 32
2
1
Por tanto, ran ( E ) =2.
EJERCICIO 21 :
a) Halla el rango de la matriz:
A
b) Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores:
u 2, 1,3, 4 ; u 0, 1,1, 2 y u 1,3,4, 1
1 2 3
Solución:
a) 2 0 1
a a
a a
a a
a
a
a
a
4 41
3 31
2 21
1
4
3
1
2
a
. Por tanto,ran A 3.
a a
a
a
a a
a a
a
a
3 4 2 3
3
2
1
4 3 2
3 2 2
2
1
a
b) ObservamosquelascolumnasdelamatrizAcoincidenconlosvectoresu,u ,u. 1 2 3
El número de vectores linealmente independientes es el rango de A. Por tanto, los vectores son linealmente independientes.
EJERCICIO 2 2 : Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores
u 2, 1,0, 1 ; u 1,0,2, 1 ; u 5, 4,6, 7 1 2 3
y dicuáleselrangodelamatrizcuyasfilassonu,u,u. 1 2 3
Solución:
Estudiamos elrangodelamatrizcuyasfilassonu ,u ,u : 1 2 3
a a
a a
a
a
a
a
3 5 1
2 21
1
3
1
2
. Por tanto,elrangodelamatrizes 2.
a a
a
a
3 4 2
2
1
Esto significa que los vectores son linealmente dependientes. Hay dos vectores linealmente independientes y el tercero depende de
ellos.
EJERCICIO 23 : Calcula el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente
independientes:
A
Solución:
Calculamos el rango de la matriz dada:
a a
a a
a
a
a
a
3 1
2 31
1
3
1
2
.Por tanto,ran A 2.
a a
a
a
3 2
2
1
Esto significa que hay dos columnas linealmente independientes en A ; las otras dos dependen linealmente de ellas.
EJERCICIO 2 4 : Estudiar el rango de las siguientes matrices, en función de los valores de los parámetros:
a 4 2
1 a a 1
A
3 2 a
2 a 1
B
1 a 1
1 1 a
C
2 a 1
a 3
D.
0 a 1
1 a 1
2 a
E
Solución:
A: Aplicamos el método de Gauss:
0 4 a a a 2
1 a a 1
a 4 2
1 a a 1
2 2 a a
a
2 a 1
1
Hacemos 4 0
2
a
a
a
o ranA 1
0 0 0
Si a 2 ,
o ranA 2
0 0 4
Si a 2 ,
o Si a 2, ran C = 2.
B: Aplicamos el método de Gauss:
0 0 a 9 a 14
0 a 7
0 2 a 9
0 a 7
3 2 a
2 a 1
a a 2
a
a
a a
a a
a
a 3 22
2
1
3 31
2 21
1
Hacemos 9 14 0
2
a
a
a a
o Si a 7 y a 2, ran B = 3
o 2
Si 7 ,
a ranB 2
Si 2 ,
a ranB
C: Aplicamos el método de Gauss:
0 0 3 a 2 a 1
0 1 3 a
1 1 a
0 a 1 1 a
0 1 3 a
1 1 a
1 a 1
1 1 a
a a 2
a
a
a a
a a
a
3 a 12
2
1
3 1
2 31
1
Hacemos 3 a 2 a 1 0
2
a 1 / 3
a 1
o ranC 2
Si a 1 ,
ranC 2
Si a
o ,ranC 3.
Si a 1 y a
D: Aplicamos el método de Gauss:
a a 2
a
2 2 1
1
a a
a
a
a
a
Hacemos 6 0
2
a
a
a a
