¡Descarga Gráfica y límites laterales de una función a trozos y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
1.1. Ejercicio 1
Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, y de acuerdo con ella determinar los
límites laterales dados, presentar la gráfica y la respuesta a cada inciso.
f ( x )
x
2
4 − x x > 3
Figura 1. Representación gráfica función a trozos
Tenemos la función f ( x ) denominada función a trozos o por secciones la cual está definida
por formulas diferentes en distintas partes del dominio (James, n.d.), para este caso en
particular tenemos que revisar primero la regla, en la cual consideramos el valor de la
entrada de x , si x ≤ 3 entonces el valor de f
x
= x
2
, por otro lado si x > 3 entonces el valor
de
f ( x )= 4 − x.
Para realizar la gráfica de la función a trozos en el programa de GeoGebra se utilizó el
comando de SI [], la cual nos permite ingresar el comportamiento de la función si se
cumple la condición del valor de x. como se observa en la parte superior izquierda de la
figura 1, así ingresamos las dos condiciones que nos presenta la función f ( x ).
Igualmente vemos en la figura 1 los puntos A y B que representa que la parte de la función
a trozos h ( x ) toma valores menores o iguales a 3, por ello el punto cerrado y la parte de la
función
h ( x ) toma valores mayores al número 3, por lo cual se representa con un punto
abierto.
El cálculo de los siguientes límites nos permite encontrar las asíntotas horizontales de la
función f ( x ).
a)
lim
x→ − ∞
f ( x )
lim
x→ − ∞
f
x
= lim
x → − ∞
x
2
Por propiedades de los límites
lim
x→ − ∞
x
2
x → − ∞
+¿+ 3 = ∞
+¿ ¿
¿
Esto quiere decir que f ( x ) no tiene asíntota horizontal por la izquierda.
b)
lim
x→ + ∞
f ( x )
lim
x→ + ∞
f ( x )= lim
x→ + ∞
4 − x
Por propiedades de los límites
lim
x→ + ∞
4 − lim
x→ + ∞
x = 4 − ∞
−¿¿
¿
Esto quiere decir que la función f ( x ) no tiene asíntota horizontal por la derecha.
lim
x→ 3
+¿
f ( x )=¿ lim
x→ 3
+¿
4 − x ¿
¿¿ ¿
Reemplazamos el valor del limite
lim
x→ 3
+¿
4 − x = 4 − 3 = 1 ¿
Luego el límite por la derecha de la función
f ( x ) es igual a 1
Ahora calculamos el límite por la izquierda de la función f ( x ), que para este caso se tiene
el límite cuando
x tiende a 3 por la izquierda, para este caso si tomamos en cuenta como
está definida la función para este valor, f ( x ) se comporta como f
x
= x
2
luego,
d)
lim
x→ 3
−¿
f ( x )¿
lim
x→ 3
−¿
f ( x )= lim
x → 3
−¿
x
2
¿ ¿¿
Al reemplazar el valor del límite obtenemos
lim
x→ 3
−¿
x
2
2
Luego el límite por la izquierda la función f ( x ) es igual a 12.
Con esto podemos comprobar la existencia o no del límite de la función f ( x ) puesto que
lim
x → 3
f ( x )
Existe si y solo si
lim
x→ 3
−¿
f ( x )= lim
x → 3
+¿
f ( x )
¿ ¿¿
Comparando los valores de los limites laterales tenemos que
lim
x→ 3
−¿
f ( x ) ≠ lim
x→ 3
+¿
f ( x )
¿¿¿
Puesto que 1 ≠ 12
En este caso podemos decir que el límite de la función
f ( x ) no existe.
Figura 3.descripcion de los límites laterales en la función f ( x )
En la figura 3 podemos observar en la parte superior derecha el valor de los limites
laterales, estos se obtuvieron con el comando de limite derecha y limite izquierda que tiene
el programa de GeoGebra, al introducir la información del ejercicio podemos corroborar los
resultados obtenidos en los ejercicios anteriores y la no existencia del límite en la función
f ( x ).
1.2. Ejercicio 2
Calcular el siguiente límite indeterminado de la forma 0/0 presentado el paso a paso del
desarrollo y su respuesta.
lim
x → 3
x + 1 − 2
x − 3
