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Matemática II

Primer Curso del Grado en Ingeniería, grupo C13, 2012-

Bloque de Cálculo

Dr. J.-F. Pascual-Sánchez

Observación En el caso de funciones f (x, y, z) de tres variables se habla de superficies de nivel f (x, y, z) = c. En el caso de funciones de n variables f (x 1 ,... , xn), se habla de conjuntos de nivel f (x 1 ,... , xn) = c. 

Procedimiento de las secciones Sea f una función de dos variables. Si hacemos bien x = 0 ó bien y = 0 en la expresión de la función obtenemos sendas curvas f (0, y) y f (x, 0) la primera contenida en el plano Oyz y la segunda contenida en el plano Oxz que corresponden a las secciones o cortes por los planos x = 0 e y = 0 respectivamente. La figura 21 muestra las secciones correspondientes a la gráfica de la función f (x, y) = x^2 + y^2.

Fig.

En los casos más frecuentes las curvas de nivel y las secciones, permiten hacerse una idea de la forma de la gráfica de una función de dos variables. En el apéndice al final de este tema se dan las gráficas de algunas funciones y sus correspon- dientes mapas de contorno o curvas de nivel.

Entorno de radio δ Un δ-entorno de (x 0 , y 0 ) es un disco centrado en (x 0 , y 0 ) de radio δ. Puede ser abierto o cerrado.

δ−entorno abierto := {(x, y) ∈ R^2 :

(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 < δ} (figura 22a)

δ−entorno cerrado := {(x, y) ∈ R^2 :

(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 ≤ δ} (figura 22b).

Fig.

Un punto (x 0 , y 0 ) de una región plana D se dice que es punto interior de D si existe un δ-entorno abierto del punto contenido en D. Si todos los puntos son interiores se llama región abierta. Si dice que una región es cerrada si contiene a todos sus puntos frontera (puede no ser ni una cosa ni otra). La generalización de estas ideas a regiones de un espacio n-dimensional es inmediata.

Límite Sea f una función de dos variables definida en un δ-entorno abierto del punto (x 0 , y 0 ) salvo, acaso, en el propio punto. Se dice que la función f tiende al límite L al tender (x, y) a (x 0 , y 0 ), y se escribe lim (x,y)→(x 0 ,y 0 )

f (x, y) = L

si los valores de f (x, y) están tan proximos a L como se quiera con tal de que (x, y) esté suficien- temente próximo a (x 0 , y 0 ).

Ejemplo

Sea la función f (x, y) = 5 x

(^2) y x^2 + y^2. Entonces

(x,y^ lim)→(1,2)^5 x

(^2) y x^2 + y^2 = 2

ya que cuando (x, y) tiende a (1, 2) ocurre que x^2 tiende a 1, y tiende a 2, e y^2 tiende a 4. Si se tratase del límite cuando (x, y) tiende a (0, 0), hacemos el cambio x = ρ cos θ, y = ρ sen θ para resolver la indeterminación 00 ,

(x,y^ lim)→(0,0)^5 x

(^2) y x^2 + y^2 = lim^ ρ→^0

5 ρ^3 cos^2 θ sen θ ρ^2 = 0.^ 

Continuidad Una función f de dos variables definida en un δ-entorno abierto del punto (x 0 , y 0 ) se dice continua en (x 0 , y 0 ) si

1. Existe lim(x,y)→(x 0 ,y 0 ) f (x, y)
2. f (x 0 , y 0 ) está definida
3. lim(x,y)→(x 0 ,y 0 ) f (x, y) = f (x 0 , y 0 ).

Una función es continua en una región del plano si es continua en todos los puntos de esa región.

Ejemplo

La función f (x, y) = x

(^2) − 2 xy 2 y − x^2 es continua en todos los puntos del plano excepto en aquellos que pertenez-

can a la parábola de ecuación y = x

2 2.^ 

La generalización de los conceptos de límite y continuidad funciones de Rn^ en R es inmediata.

Derivada parcial: notación vectorial Sea f : D ⊂ Rn^ → R una función real de n variables. Entonces las derivadas parciales ∂f /∂x 1 ,... , ∂f /∂xn de f con respecto de la primera, segunda,..., n–ésima variable, son fun- ciones reales de n variables, las cuales, en el punto (x 1 , ..., xn) = x, están definidas por

∂f ∂xj^ (x^1 ,... , xn) := lim h→ 0

f (x 1 , ..., xj + h, ..., xn) − f (x 1 , ..., xj , ..., xn) h ≡^ hlim→ 0

f (x + hej ) − f (x) h

si el límite existe. Siendo ej el j-ésimo vector de la base canónica ej = (0, ..., 1 , ..., 0), con 1 en el j-ésimo lugar (1 ≤ j ≤ n).

Observación En el caso de una función f definida en D ⊂ R^2 se tiene ∂f ∂x (x, y) := lim^ h→^0

f (x + h, y) − f (x, y) h ,^

∂f ∂y (x, y) := lim^ k→^0

f (x, y + k) − f (x, y) k.^ 

Observación Análogamente si f ∈ C^3 ∂^3 f ∂x^2 ∂y =^

∂^3 f ∂y∂x^2 =^

∂^3 f ∂x∂y∂x , o bien si f es una función de tres variables, y con las mismas condiciones de derivabilidad

∂^3 f ∂x∂y∂z =^

∂^3 f ∂z∂y∂x =^

∂^3 f ∂y∂z∂x.^ 

Función diferenciable Sea f : D ⊂ Rn^ → R una función real de n variables. Decimos que f es diferenciable en x 0 ∈ D si existen las derivadas parciales de f en x 0 y si ocurre que

f (x) = f (x 0 ) + Df (x 0 )(x − x 0 ) + R 1

donde Df (x 0 )(x − x 0 ) representa el producto de la matriz fila (matriz derivada)

Df (x 0 ) =

∂f ∂x 1 (x^0 )^

∂f ∂x 2 (x^0 )^...^

∂f ∂xn^ (x^0 )

por el vector columna

(x − x 0 ) =

x 1 − x (^01) x 2 − x (^02)

...... xn − x (^0) n

dx 1 dx 2 .. . dxn

 = dx.

y R 1 es un término que tiende a cero más rápidamente que ‖x − x 0 ‖, es decir

x^ lim→x 0

R 1

‖x − x 0 ‖

= (^) xlim→x 0

f (x) − f (x 0 ) − Df (x 0 )(x − x 0 ) ‖x − x 0 ‖

Observaciones

1. La aproximación lineal de una función f (x) en el entorno de un punto (x 0 ) viene dada por f (x) ≈ f (x 0 ) + Df (x 0 )(x − x 0 ). Se puede decir, entonces, que una función es diferenciable en un punto si admite aproximación lineal en un entorno del punto. En el caso de funciones de una variable la expresión anterior resulta f (x) ≈ f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) (ver página 7 de estas notas).

En el caso de dos variables se tiene:

f (x, y) ≈ f (x 0 , y 0 ) + ∂f∂x

∣∣ ∣∣ (x 0 ,y 0 )

· (x − x 0 ) + ∂f∂y

∣∣ ∣∣ (x 0 ,y 0 )

· (y − y 0 ).

El plano tangente a la gráfica de f que pasa por el punto (x 0 , y 0 , f (x 0 , y 0 )) es z = f (x 0 , y 0 ) + ∂f∂x

∣∣ ∣(x 0 ,y^ ·^0 ()x^ −^ x 0 ) +^ ∂f∂y

∣∣ ∣(x 0 ,y^ ·^0 ()y^ −^ y 0 )). Este plano es el que mejor se aproxima a la gráfica de f en la proximidad del punto (x 0 , y 0 , f (x 0 , y 0 )) (figura 24).

Fig.

2. La sola existencia de las derivadas en un punto no garantiza la diferenciabilidad de la función en ese punto. En cambio la diferenciabilidad en un punto garantiza la existencia de derivadas parciales y la continuidad en el punto. 

Condición suficiente de diferenciabilidad Sea f : D ⊂ Rn^ → R. Si las funciones derivadas parciales f 1 , f 2 ,... , fn son continuas en x 0 , entonces f es diferenciable en x 0.

Derivadas parciales =⇒ Diferenciabilidad =⇒ Existencia de derivadas continuas (^) ⇓ parciales Continuidad

Ejemplo La función f (x, y) := x^2 y^3 − 3 xy es diferenciable en todo el plano ya que fx(x, y) = 2xy^3 − 3 y y fy (x, y) = 3x^2 y^2 − 3 x son continuas en todo el plano. 

Observación La condición no es necesaria. Por tanto, una función puede ser diferenciable en un punto sin que ninguna de las correspondientes funciones derivadas parciales sea continua en ese punto. 

Diferencial de una función Si una función f de varias variables es diferenciable en un punto x 0 de su dominio se define la diferencial de f en ese punto, para una variación dx, como

df (x 0 ; dx) := Df (x 0 )(x − x 0 ) = ∂f ∂x 1

(x 0 )dx 1 + ∂f ∂x 2

(x 0 )dx 2 +... + ∂f ∂xn

(x 0 )dxn.

Derivada de la función compuesta Sean las funciones x = x(t) e y = y(t) de una variable t, diferenciables en el punto t 0 , y sean x 0 = x(t 0 ), y 0 = y(t 0 ). Si la función z = f (x, y) es diferenciable en el punto (x 0 , y 0 ) entonces la función compuesta z = f (x(t), y(t)) tiene derivada en t 0 y ésta viene dada por la expresión

dz dt =^

∂z ∂x

dx dt +^

∂z ∂y

dy dt (1)

o más detalladamente

df dt (x(t^0 ), y(t^0 )) =^

∂f ∂x (x^0 , y^0 )^

dx dt (t^0 ) +^

∂f ∂y (x^0 , y^0 )^

dy dt (t^0 ).

Observaciones

1. En el dominio en el que f sea diferenciable existe la derivada direccional en todas las direcciones. La derivada direccional en x 0 , en la dirección u está dada por

Duf = ∂f∂x (x 0 )u 1 + ∂f∂y (x 0 )u 2 + ∂f∂z (x 0 )u 3

donde u = (u 1 , u 2 , u 3 ) y ‖u‖ = 1.

2. En los casos en que u = i, j, k la derivada direccional coincide con las derivadas parciales ∂f∂x , ∂f∂y , ∂f∂z respectivamente. 

Gradiente Sea f : D ⊂ R^3 → R diferenciable. Se define el gradiente de f en x 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) como el vector de R^3 dado por la siguiente expresión:

∇f (x 0 ) :=

∂f ∂x

(x 0 ), ∂f ∂y

(x 0 ), ∂f ∂z

(x 0 )

Observaciones

1. Nótese que ∇f es precisamente la matriz derivada Df escrita en forma de vector.
2. La relación entre derivada direccional y gradiente en un punto x 0 viene dada por Duf (x 0 ) = ∇f (x 0 ) · u ≡ Df (x 0 )u
3. El mayor valor de la derivada direccional en un punto tiene lugar cuando u es paralelo a ∇f en ese punto, es decir, el gradiente nos da la dirección y el sentido de máxima variación creciente de f en un punto determinado.
4. El valor de esa variación máxima viene dado por el módulo del gradiente en ese punto Duf = ‖∇f ‖ ‖u‖ cos 0 = ‖∇f ‖.
5. El gradiente de f es ortogonal a las curvas o superficies de nivel de f (figura 25). 

Fig. 25

Fórmula de Taylor Sea f : D ⊂ Rn^ → R tal que f ∈ C^2 en las proximidades de x 0. La fórmula de Taylor (de orden dos), se escribe

f (x) = f (x 0 ) + Df (x 0 )(x − x 0 ) +

2 D

(^2) f (x 0 )(x − x 0 ) · (x − x 0 ) + R 2 (3)

donde

D^2 f (x 0 ) =

∂^2 f ∂x 1 ∂x 1

(x 0 ) ∂

(^2) f ∂x 1 ∂x 2

(x 0 ) · · · ∂

(^2) f ∂x 1 ∂xn

(x 0 )

∂^2 f ∂x 2 ∂x 1

(x 0 ) ∂

(^2) f ∂x 2 ∂x 2

(x 0 ) · · · ∂

(^2) f ∂x 2 ∂xn

(x 0 ) .. .

....^

∂^2 f ∂xn∂x 1 (x^0 )^

∂^2 f ∂xn∂x 2 (x^0 )^ · · ·^

∂^2 f ∂xn∂xn^ (x^0 )

y donde R 2 es un resto que tiende a cero “más deprisa” que ‖x−x 0 ‖^2 y que simboliza los términos de la fórmula de Taylor que siguen y que no consideramos en este orden de aproximación.

Observaciones

1. El término lineal en (x − x 0 ) es precisamente la diferencial de la función en el punto x 0. El término cuadrático es, salvo por el factor 1/2, la diferencial segunda de la función en x 0.
2. En el caso de dos variables la ecuación (3) se escribe en la forma f (x, y) = f (x 0 , y 0 ) + fx(x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + fy (x 0 , y 0 )(y − y 0 )+ (^12) [fxx(x 0 , y 0 )(x − x 0 ) (^2) + 2fxy (x 0 , y 0 )(x − x 0 )(y − y 0 ) + fyy (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) (^2) ] + R 2. 

Extremos relativos Sea f : D ⊂ Rn^ → R. Un punto x 0 ∈ A es un mínimo local (resp. máximo local) de f si f (x) ≥ f (x 0 ) (resp. f (x) ≤ f (x 0 )) cerca del punto. El punto x 0 se llama extremo local o extremo relativo.

Puntos críticos Un punto x 0 es un punto crítico de f si Df (x 0 ) = 0. Si f : D ⊂ Rn^ → R es diferenciable la condición necesaria de extremo local en x 0 es que x 0 sea punto crítico.

Observación Un punto crítico puede no ser extremo local, y entonces se le dice punto de silla. 

Condición suficiente de extremo Un punto crítico es un máximo (resp. mínimo) de una función f si el término cuadrático de la fórmula de Taylor en ese punto es negativo (resp. positivo) en ese punto. En caso de que no ocurra ninguna de las dos cosas es un punto de silla.

Observación Si (x 0 , y 0 ) es punto crítico de una función de dos variables, es útil la siguiente regla:

• mínimo si

{ fxx(x 0 , y 0 ) > 0 fxx(x 0 , y 0 ) · fyy (x 0 , y 0 ) − (fxy (x 0 , y 0 ))^2 > 0

• máximo si

{ fxx(x 0 , y 0 ) < 0 fxx(x 0 , y 0 ) · fyy (x 0 , y 0 ) − (fxy (x 0 , y 0 ))^2 > 0

• punto de silla en todos los demás casos (siempre que fxx(x 0 , y 0 ) · fyy (x 0 , y 0 ) − (fxy (x 0 , y 0 ))^2 6 = 0). 

3 Hallar el dominio y la imagen de las siguientes funciones:

1. ln(y − 2 x) 2.

√ x^2 − y 3. 1 +^ x

(^2) y 3 x^2 − y^2

4 Dibujar la gráfica y el mapa de contorno (curvas de nivel) de las siguientes funciones

1. f (x, y) = x + y + 2
2. f (x, y) = x^2 + 4y^2
3. f (x, y) = x^2
4. f (x, y) = y

2 4 −^

x^2 9

5. f (x, y) = x^2 + 2y^2 + 1

5 Si V (x, y) es el voltaje o potencial en un punto (x, y) del plano Oxy , entonces las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales. Sobre una de estas curvas el voltaje permanece constante. Siendo

V (x, y) = √^8 16 + x^2 + y^2

trazar las curvas equipotenciales para las que V = 2. 0 , V = 1. 5 , V = 0. 5. 6 Calcular las derivadas parciales primeras de las siguientes funciones

1. f (x, y) = sen(1 +πx y 2 )
2. f (x, z) = (^) 1 + cos 2x z
3. f (x, z) = xz^2 − cos(xz^3 )
4. f (x, y, z) = xyz

7 Una función u = f (x, y) con derivadas parciales continuas satisfaciendo la ecuación de Laplace

∂^2 u ∂x^2 +^

∂^2 u ∂y^2 = 0

se llama función armónica. Demostrar que la función u(x, y) = x^3 − 3 xy^2 es armónica.

8 Demostrar que la función g(x, t) = 2 + e−t^ sen x satisface la ecuación del calor:

∂g ∂t =^

∂^2 g ∂x^2

(En este caso g(x, t) representa la temperatura en una varilla de metal en la posición x y en el tiempo t).

9 Hallar las derivadas parciales fx y fy de las siguientes funciones en los puntos que se indican

1. f (x, y) = ex−cos(xy)^ en (0, 1)
2. f (x, y) = cos(x + exy^ ) en (1, 0).

10 Calcular fx, fy , fxx, fyy , y fxy para las siguientes funciones

1. f (x, y) = (^) (x (^2 2) +xy y (^2) ) 2
2. f (x, y) = cos(x^2 y^2 )

3. f (x, y) = (^) cos (^2) x^1 + e−y

11 Demostrar que el potencial de Newton V (r) = −GmMr donde r =

√ x^2 + y^2 + z^2 satisface la ecuación de Laplace en tres dimensiones:

∂^2 V ∂x^2 +^

∂^2 V ∂y^2 +^

∂^2 V ∂z^2 = 0

para (x, y, z) 6 = (0, 0 , 0). 12 La potencia eléctrica viene dada por

P = E

2 R donde E es el voltaje y R la resistencia. Aproximar el máximo porcentaje de error al calcular la potencia para un voltaje de 200 voltios y una resistencia de 4000 ohmios, si los posibles errores en las medidas de E y R son 2 por 100 y 3 por 100 , respectivamente.

13 El periodo T de un péndulo de Longitud L es T = 2π

√ L/g, donde g denota la aceleración de la gravedad. El péndulo se lleva de una zona en donde g = 9.78 m/s^2 a otra donde g = 9.82 m/s^2. Además debido al cambio de temperatura la longitud del péndulo pasa de 3. 20 a 3. 18 metros. Aproximar el cambio que sufre el periodo del péndulo.

14 En los casos siguientes hallar por derivación implícita las primeras derivadas parciales de z:

i) x^2 + y^2 + z^2 = 25 ii) tan(x + y) + tan(y + z) = 1 iii) z = ex^ sen(y + z)

15 Demostrar que x^3 z^2 − z^3 yx = 0 define z como función de (x, y) en las proximidades del punto (1, 1 , 1) pero no cerca del origen. Calcular ∂z/∂x y ∂z/∂y en (1, 1).

16 En los siguientes casos hallar ∂w/∂s y ∂w/∂t utilizando la regla de la cadena apropiada y evaluar cada derivada parcial en los valores de s y t que se especifican.

1. w = y^3 − 3 x^2 y, x = es, y = et, s = 0, t = 1
2. w = x^2 − y^2 , x = s cos t, y = s sen t, s = 3, t = π 4
3. w = sen(2x + 3y), x = s + t, y = s − t, s = 0, t = π 2

17 Un tipo muy importante de funciones es el de las funciones homogéneas. Una función f se dice ho- mogénea de grado n si f (tx, ty) = tnf (x, y). Averiguar, en los casos siguientes, el grado de cada de cada función homogénea y verificar que xfx(x, y) + yfy (x, y) = nf (x, y) (fórmula de Euler)

1. f (x, y) = xy

√ x^2 + y^2

2. f (x, y) = x^3 − 3 xy^2 + y^3
3. f (x, y) = ex/y^.

18 Si el potencial eléctrico en un punto (x, y) del plano Oxy es V (x, y), entonces el vector intensidad de campo eléctrico en (x, y) es E = −∇V (x, y). Supóngase que V (x, y) = e−^2 x^ cos 2y

1. Hallar el vector intensidad de campo eléctrico en (π/ 4 , 0)
2. Demostrar que en cualquier punto del plano el potencial eléctrico disminuye con mayor rapidez en la dirección de E.

APÉNDICE

Ejemplos de gráficas y mapas de contorno A continuación se muestran las gráficas y mapas de contorno de la semiesfera z = (1 − x^2 − y^2 )^1 /^2 , semielipsoide z = (1 − x^2 / 22 − y^2 / 12 )^1 /^2 y paraboloide hiperbólico z = x^2 − y^2.

Fig.

2.INTEGRALES MÚLTIPLES

Integral doble Sea f (x, y) una función definida en una región D ⊂ R^2. Supongamos D dividida en n subregiones de áreas ∆S 1 ,... , ∆Si,... , ∆Sn, y denotemos por (xi, yi) un punto de la subregión de área ∆Si. Si existe el límite

lim max´ ∆Si→ 0

i

f (xi, yi)∆Si

y es único para cualquier elección del punto (xi, yi) en cada una de las subregiones, se le llama integral doble de f (x, y) sobre D, es decir, ∫ ∫

D

f (x, y) dxdy := (^) m´axlim ∆S i→^0

i

f (xi, yi)∆Si

Observación Si f (x, y) es una función no negativa (f (x, y) ≥ 0 ) sobre la región D del plano, la integral doble nos proporciona el volumen del sólido de base D, bajo la superficie z = f (x, y) (figura 36). 

Fig.

Cálculo de la integral doble sobre una región rectangular (Teorema de Fubini) Sea f continua sobre el rectángulo R definido por las desigualdades a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d. Entonces ∫ ∫

R

f (x, y) dA =

∫ (^) b

a

[ ∫ (^) d

c

f (x, y) dy

]

dx =

∫ (^) d

c

[ ∫ (^) b

a

f (x, y) dx

]

dy. (4)

La última expresión de la igualdad anterior, por ejemplo, se calcula de la siguiente manera. Se halla la integral (^) ∫ b a

f (x, y) dx

tratando la variable y como una constante e integrando la función resultante de x con respecto a x. De esta manera se obtiene un valor para la integral que puede contener la variable y. O sea, ∫ (^) b

a

f (x, y) dx = g(y)

Observación Si f (x, y) = 1 el valor de la integral doble sobre una región dada es precisamente el área de esa región. 

Valor medio de una función Si f es integrable sobre la región plana D, entonces su valor medio sobre D está dado por ∫∫ D f^ (x, y)^ dA Area de^ ´ D =

D (^) ∫∫f^ (x, y)^ dA D dA^

Integral doble en coordenadas curvilíneas Sean D y D∗^ regiones elementales en el plano y sea T : D∗^ → D una aplicación de clase C^1 e inyectiva sobre D∗. Además supongamos que D = T (D∗). Entonces para cualquier función integrable f : D → R, se tiene ∫ ∫

D

f (x, y) dxdy =

D∗

f (x(u, v), y(u, v))

∣∣^ ∂(x, y) ∂(u, v)

∣∣ dudv,

donde el determinante

∂(x, y) ∂(u, v) =

∂x ∂u

∂x ∂v ∂y ∂u

∂y ∂v

=: J

se conoce como jacobiano de la transformación de coordenadas.

Observación El caso más importante es el cambio a coordenadas polares: x = ρ cos θ, y = ρ sen θ; |J | = ρ. 

Integral triple Sea f (x, y, z) una función definida en una región V ⊂ R^3. Supongamos V dividida en n subregiones de volúmenes ∆v 1 ,... , ∆vi,... , ∆vn, y denotemos por (xi, yi, zi) un punto de la subregión de volumen ∆vi. Si existe el límite

m´ax^ lim ∆v i→^0

i

f (xi, yi, zi)∆vi

y es único para cualquier elección del punto (xi, yi, zi) en cada una de las subregiones, se le llama integral triple de f (x, y, z) sobre V , es decir, ∫ ∫ ∫

V

f (x, y, z) dxdydz := lim max´ ∆vi→ 0

i

f (xi, yi, zi)∆vi.

Observación Si una función f (x, y, z) no negativa (f (x, y, z) ≥ 0 ), definida en la región sólida V , se considera como una densidad de masa, la integral triple se puede interpretar como la masa del sólido V. 

Cálculo de la integral triple sobre un paralelepípedo rectangular Sea V el paralelepípedo rectangular definido por las desigualdades a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d y u ≤ z ≤ v. Entonces ∫ ∫ ∫

V

f (x, y, z) dV =

∫ (^) v

u

[ ∫ (^) d

c

( ∫ (^) b

a

f (x, y, z) dx

dy

]

dz.

Observaciones

1. Si f (x, y, z) es una función continua, el orden en que se realicen las iteraciones es irrelevante para el resultado final.
2. Las propiedades mencionadas para la integral doble sirven para la integral triple sin más que considerar un paralelepípedo rectangular en vez de un rectángulo. 

Cálculo de la integral triple sobre una región espacial arbitraria Sea V una región espacial comprendida entre las gráficas de dos funciones continuas de x e y, esto es V = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, γ 1 (x, y) ≤ z ≤ γ 2 (x, y)}

en donde D es la proyección de E en el plano xy.

A su vez la región D puede ser región tipo I o región tipo II en el plano xy. Es decir

a ≤ x ≤ b, φ 1 (x) ≤ y ≤ φ 2 (x) y γ 1 (x, y) ≤ z ≤ γ 2 (x, y)

o bien,

c ≤ y ≤ d, ψ 1 (y) ≤ x ≤ ψ 2 (y) y γ 1 (x, y) ≤ z ≤ γ 2 (x, y)

La forma de calcular estas integrales es ∫ ∫ ∫

V

f (x, y, z)dV =

∫ (^) b

a

∫ (^) φ 2 (x)

φ 1 (x)

∫ (^) γ 2 (x,y)

γ 1 (x,y)

f (x, y, z) dzdydx

o ∫ ∫ ∫

V

f (x, y, z)dV =

∫ (^) d

c

∫ (^) ψ 2 (y)

ψ 1 (y)

∫ (^) γ 2 (x,y)

γ 1 (x,y)

f (x, y, z) dzdxdy.

Observación Si f (x, y, z) = 1 entonces el valor de

∫∫∫ V f^ (x, y, z)^ dV^ es el volumen del dominio tridimensional al que está extendida la integral. 

Ejemplo Sea W la región limitada por los planos x = 0, y = 0, z = 2 y la superficie z = x^2 +y^2 , x ≥ 0 , y ≥ 0. Calcular

∫ W

x dxdydz.