calculo integral, Apuntes de Matemáticas

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Elementos básicos

de cálculo integral y series

Elementos básicos

de cálculo integral y series

Jesús del Valle Sierra

Autor

Acerca del

autor

Jesús del Valle Sierra

Jesús del Valle Sierra

Matemático de la Universidad de Antioquia 1977, especialista en Matemá- ticas Avanzadas de la Universidad Nacional de Colombia (sede Bogotá, 1987) Actualmente se desempeña como Coordinador de Cursos de Servicio del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Exactas y Natura- les de la Universidad de Antioquia.

Correo electrónico: [email protected]

Como estudiante del programa Ude@, usted es el centro del modelo educativo y puede controlar el proceso de aprendizaje mediante la organización del tiempo alrededor de sus intereses. La autonomía, la disciplina, la creatividad y el trabajo en equipo son características que le ayudarán en su formación, para solucionar problemas reales de la sociedad, recurriendo al método de la ingeniería.

La Universidad de Antioquia, a tra- vés del programa Ude@, ha puesto a su disposición contenidos acadé- micos en diferentes medios con el fin de facilitarle el aprendizaje me- diante las tecnologías de informáti- ca y telecomunicaciones clásicas y modernas:

„ Radio „ Televisión „ Impresos „ Web „ Multimedia „ Videoconferencias

En el modelo Ude@ los conocimientos son aportados por cada medio en igualdad de importancia y con las fortalezas propias de cada uno de ellos, pero el texto desempeña un papel fundamental en el aprendizaje ya que es el que más diversidad ofrece en términos de funcionalidad y cantidad de contenidos. El texto Ude@ no sólo permite analizar con más detalle y profundidad los contenidos de cada curso, sino que facilita en mayor medida la realización de ejercicios, tareas y autoevaluaciones.

La estructura del texto es lineal, con una progresión gradual de cada tema, lo cual hace más fácil la transmisión del contenido de una manera lógica.

La división del texto está dada por capítulos que, a su vez, agrupan módulos (sesiones de clase). Al empezar cada capítulo se encuentra un “Contenido breve” en la columna externa, que incluye una lista del número y el título de los módulos que componen el capítulo. Por su parte cada módulo contiene, en su primera página, un índice temático del contenido, objetivos específicos, preguntas básicas y una introducción, que le guiarán en el proceso de aprendizaje sobre el tema en particular de cada sesión de clase.

El texto Ude@

Estructura del texto Ude@

Cómo usar este libro

Contenido

Tabla de contenido

• Módulo Capítulo 1: Integral indefinida
• Función primitiva o antiderivada
• Módulo
• Integral indefinida
• Módulo
• Regla de sustitución o cambio de variable
• Módulo
• Algunas aplicaciones de la integral indefinida
• Capítulo 1, módulos 1 al Ejercicios
• Módulo Capítulo 2: Métodos de integración
• Tabla preliminar de integrales indefinidas
• Módulo
• Integración por partes
• Módulo
• Integración por sustitución
• Módulo
• Sustituciones trigonométricas
• Módulo
• Integración por descomposición en fracciones simples
• Módulo
• Integración de funciones racionales propias
• Módulo
• Sustituciones diversas
• Capítulo 2, módulos 5 al Ejercicios
• Módulo Capítulo 3: Integral definida
• Notación sigma ( ∑) y partición de un intervalo
• Módulo
• Integral según Riemann
• Módulo
• Propiedades de la integral definida
• Módulo
• Teorema del valor medio (TVM) para integrales
• Módulo
• Los teoremas fundamentales del cálculo
• Módulo
• Integrales impropias
• Capítulo 3, módulos 12 al Ejercicios
• Módulo Capítulo 4: Aplicaciones de la integral definida
• Área de una región plana
• Módulo
• Volúmenes de sólidos por secciones transversales
• Módulo
• Volúmenes de sólidos de revolución
• Módulo
• Longitud de arco de una curva plana y área de superficie de revolución
• Módulo
• Momentos y centros de masa
• Módulo
• Los teoremas de Pappus
• Módulo
• Trabajo mecánico

Prólogo

Como es de manifiesto conocimiento, los conceptos funda- mentales del cálculo son el límite, la continuidad, la deriva- da y la integral de una función.

En el primer texto, Elementos básicos de cálculo diferen- cial , he presentado los tres primeros, los cuales conforman en su conjunto lo que es en nuestro Departamento de Mate- máticas el curso actual de Cálculo I que se ofrece para la Facultad de Ingeniería, y en este segundo texto de la serie presento el último concepto (integral de una función) y las series numéricas, que constituyen el de Cálculo II que, igual- mente, se dicta para los estudiantes de dicha Facultad.

En lo que respecta al orden de los capítulos, he recibido e incluido algunas sugerencias de los docentes del área de cálculo para que el curso se desarrolle de una manera más ágil. Por esta razón, presento el capítulo de «métodos de integración» inmediatamente después de la «primitivación», buscando con ello que el estudiante adquiera mayor habili- dad para manipular y resolver integrales antes de las aplica- ciones.

Igual que en el primer texto, éste también está escrito en el lenguaje normal de nuestros cursos de cálculo. Las defini- ciones y teoremas están seguidas de observaciones y ejem- plos gráficos que ayudan a su comprensión. Durante el de- sarrollo de los temas, éstos se ilustran con muchos ejemplos que le dan pautas al estudiante para resolver los más de 600 ejercicios propuestos al final de los capítulos.

Las preguntas básicas en cada uno de los módulos pueden responderse después de estudiado el módulo correspon- diente. Con ellas se busca no sólo medir el grado de apren- dizaje de los mismos por parte del estudiante sino empezar a prepararlo para las pruebas tipo ECAES que debe presentar para la cualificación profesional respectiva.

He adjuntado al final del texto tres apéndices que completan cualquier curso de cálculo. El primero de ellos, «Métodos de aproximación en el cálculo», será de gran utilidad para aquellos estudiantes que en sus cursos avanzados precisan del análisis numérico. El segundo corresponde a «Otros sis- temas de coordenadas», que serán de gran utilidad en el desarrollo de las integrales múltiples en el próximo curso. Y el tercero es una tabla sencilla de integrales que no puede faltar en cualquier texto de cálculo integral. La tabla ha sido

tomada del libro Cálculo y geometría analítica de Howard Anton que aparece reseñado en la bibliografía.

Agradezco los comentarios positivos que ayuden a mejorar una futura edición. Todos serán bien recibidos en la direc- ción: [email protected].

El autor

Elementos básicos de cálculo integral y series

Objetivos generales

Objetivos específicos

1. Facilitarle al estudiante, mediante el desarrollo teórico de los temas, la comprensión de la integral indefini- da, la integral definida y las series numéricas.
2. Presentar la integración como «operación inversa» de la diferenciación. Esto es, dada una función f se precisa hallar otra función F cuya derivada sea igual a f.
3. Desarrollar en el estudiante, mediante modelos pro- pios de la ingeniería, la capacidad de plantear y resol- ver problemas relacionados con las aplicaciones de la integral: áreas, volúmenes, momentos y centros de masa, etc.
4. Indicar las diferentes etapas y estrategias que puedan emplearse cuando se analiza una situación problemá- tica y se busca llegar a su solución. Evidenciar la necesidad de distinguir con claridad cuáles son los datos y cuáles son los resultados pedidos; así mis- mo, diferenciar claramente, en los teoremas, las hipótesis y las tesis. 5. Diseñar situaciones problema integrales que facili- ten la intervención del mayor número posible de elementos teóricos básicos, mostrando la necesidad de establecer relaciones adecuadas entre ellos para su utilización óptima. 6. Proponer situaciones problema que involucren pro- piedades interesantes del cálculo y que estimulen el espíritu investigativo. 7. Mostrar en el desarrollo temático del curso cómo se articula la teoría, introduciendo las definiciones co- rrectas que surgen de manera natural para designar relaciones y demostrar los teoremas más importantes. 8. Presentar las series numéricas, juntamente con los criterios de convergencia y divergencia de las mismas. 9. Presentar las series de potencias y los correspondien- tes intervalos de convergencia absoluta y convergen- cia. 10. Establecer los fundamentos y nexos requeridos con los proyectos de aula que tiene este curso como prerrequisito o correquisito, especialmente con Cál- culo III , Ecuaciones diferenciales y Álgebra Lineal.
5. Presentar el concepto más importante de la integral indefinida, la primitiva o antiderivada , y sus nexos con la derivación de funciones.
6. Presentar las propiedades de la integral indefinida o fórmulas de integración y su demostración simple con base en las fórmulas de derivación correspon- dientes y mostrar cómo usarlas en la solución de ejercicios.
7. Mostrar algunas aplicaciones de la integral indefini- da a las ecuaciones diferenciales ordinarias y a la física (movimiento rectilíneo). 4. Construir, con base en las reglas de derivación y las reglas diferenciales, una primera tabla de integrales. 5. Ampliar la tabla del objetivo anterior con la ayuda de los métodos o técnicas de integración. 6. Establecer las «técnicas o métodos de integración» como el estudio de métodos sistemáticos para hallar primitivas o antiderivadas. 7. Enunciar y demostrar la regla de sustitución (cam- bio de variable) y hacer notar que es uno de los méto- dos más importantes del cálculo de integrales defini- das.

Mapa conceptual

1

Integral

indefinida

Capítulo 1

En este capítulo se definirá el concepto matemático de integral de tal manera que el estudiante empiece a conocer lentamente el proceso u operación de «integración», mostrándole además la relación que existe entre esta operación de integración y la operación «inversa» de derivación, a la cual llamaremos «primitivación».

En general, este proceso es más complicado que el de la derivación y debemos ser más cautelosos y pacientes con los métodos que se expongan, los cuales nos permitirán, cuando sea posible, obtener la primitiva o antiderivada de un gran nú- mero de funciones.

Iniciamos el capítulo presentando las definiciones correspondientes a la función primitiva, para posteriormente hacer el estudio de la regla de sustitución o cambio de variable, quizás el método de integración más importante, ya que en cualquiera de los otros métodos, por lo general, en algún paso intermedio se hace uso de dicha regla.

Al finalizar el capítulo ilustramos con algunos ejemplos sencillos una primera apli- cación de la integral indefinida a las ecuaciones diferenciales y a la física.

Módulo 1 Función primitiva o antiderivada

Módulo 2 Integral indefinida

Módulo 3 Regla de sustitución o cambio de variable

Módulo 4 Algunas aplicaciones de la inte- gral indefinida

Ejercicios Módulos 1 al 4

La ley de caída de Galileo establece que todos los cuerpos caen en el mismo tiempo desde la misma altura, independientemente de su peso.

Elementos básicos de cálculo integral y series 23

1

Función primitiva o antiderivada

Contenidos del módulo

Objetivos del módulo

Preguntas básicas

Introducción

1.1 Función primitiva o antiderivada 1.2 Teorema 1

1. Presentar el concepto más importante de la integral indefinida, la primitivación o antiderivada , y sus nexos con la derivación de funciones.
2. Se puede demostrar, usando métodos de integración, que la función

3 2 ( ) 25

x f x x

=

tiene las siguientes primitivas:

2 3 2 2 1 2 1

1 ( ) ( 25) 25( 25) , 3

F x = x + − x + + C

2 2 1 2 2 3 2 2

2 ( ) ( 25) ( 25). 3

F x = x x + − x + + C

Demuestre que F 1 ( x ) = F 2 ( x ).

En el capítulo 3 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial hemos estudia- do el siguiente problema: dada una función F ( x ), hallar su función derivada f ( x ),

esto es, F ′( )^ x = f ( ). x En este módulo consideraremos el problema inverso: dada la

función f ( x ), se precisa hallar otra función F ( x ) cuya derivada coincida con f ( x ). Esta función F que tratamos de buscar se llama primitiva o antiderivada de f ( x ).

Gabrielle Émile le Tournelle de Breteuil

Émile le Tournelle, conocida como la marquesa de Châtelet, estudió a Newton y Leibniz, tradujo al francés losPrincipia de Newton y contribuyó a divulgar los concep- tos del cálculo diferencial e integral.

Émile, nacida en 1706 y fallecida en 1749, no respondía al prototipo de belleza de su época pues ya de niña era muy alta (1, m) y tenía las manos y los pies grandes. Tal vez por esto su padre, pensando que no iba a casarse, se preocupó de que recibiese una excelente educación. Sin embargo, a los diecinueve años se casó con el marqués de Châtelet y suspendió temporalmente sus estudios, pero los reanudó a los veintisiete años, después del nacimiento de su tercer hijo.

En los salones de su residencia, en vez de frivolizar con conversaciones intrascenden- tes, Émile y sus invitados deliberaban con ardor sobre problemas matemáticos. A tanto llegó su pasión por esta actividad académica que mandó que le confeccio- naran unas ropas de hombre, y con sus piernas enfundadas en calzas y calzones logró entrar vitoreada por sus colegas en el café Gradot de París, en donde se reunían matemáticos y científicos y al cual se le había prohibido la entrada por ser mujer.

Émile le Torunelle escribióLas instituciones de la física, libro que contiene uno de los capítulos más interesantes sobre cálculo infinitesimal.

1.1 Función primitiva o antiderivada

Definición

Sea f una función definida en un intervalo I. Una función F ( x ) se llama primitiva o antiderivada de f ( x ) en I si F es diferenciable y F ′( ) x = f ( ) x para todo x en I.

Ejemplo 1

Sea f ( ) x = 4 x^3^ + 8 x^2 − 4 x +5.

Son primitivas de f ( x ) las siguientes funciones:

4 3 2 1

8 ( ) 2 5 6 3

F x = x + x − x + x − (^) , 2 4 3 2

8 ( ) 2 5 4. 3

F x = x + x − x + x +

En efecto,

3 2 F 1 ′ ( ) x = F 2 ′( ) x = 4 x + 8 x − 4 x + 5 = f ( ). x

Ejemplo 2

Sea f ( ) x =sec x.

Son primitivas de f ( x ) las siguientes funciones:

F 1 (^) ( ) x = ln (sec x + tan x ) + 3, F 2 ( ) x = ln (sec x + tan x ) − 2.

En efecto,

F 1 ′ ( ) x = F 2 ′( ) x = Dx (ln (sec x + tan x ) + 3) = Dx (ln (sec x + tan x ) − 2).

1 (sec tan ) sec tan

Dx x x x x

= +

(RD26)

(^1) (sec tan sec 2 ) sec tan

x x x x x

= ⋅ ⋅ +

(RD15 y RD13)

1 sec (tan sec ) sec tan

x x x x x

= ⋅ +

= sec x = f ( ). x

Observación

En los ejemplos anteriores es fácil ver que si una función dada f ( x ) tiene función primitiva F ( x ) ésta no es única. Así, en el ejemplo 1 las funciones F 1 ( x ) y F 2 ( x ) figuran como funciones primitivas de f ( x ), o en general, cualquier función de la

Capítulo 1: Integral indefinida

Vea el módulo 1 del programa de televisiónElementos básicos de cálculo integral y series

Elementos básicos de cálculo integral y series 27

2

Integral indefinida

Contenidos del módulo

Objetivos del módulo

Preguntas básicas

Introducción

2.1 Integral indefinida 2.2 Primeras fórmulas de integración

1. Presentar las propiedades de la integral indefinida o primeras fórmulas de integra- ción y su demostración simple con base en las fórmulas de derivación correspon- dientes, y mostrar cómo usarlas en la solución de ejercicios.
2. Construir, usando las reglas básicas de derivación y diferenciales, una primera tabla de integrales.

Diga si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

1. (^) ∫ f^ ( ) x^^ ⋅^ g x dx ( )^^ =^ ( (^) ∫ f^ ( ) x dx^^ ) (⋅ (^) ∫ g x dx ( )^ ).Justifique su respuesta.

( ) ( ) ( ) (^) ( )

f x^ f^ x dx dx g x (^) g x dx ∫ =^ ∫ ∫

. Justifique su respuesta.

En el módulo 1 definimos la primitiva o antiderivada de una función f , y también la primitiva más general de f. Esta última es la que se conoce como la integral indefini- da de f. En este módulo mostraremos que en muchos casos puede ser calculada mediante la operación «inversa» de la derivación, la cual llamaremos antidiferenciación o integración.

Arquímedes de Siracusa

Arquímedes, considerado por muchos como el más grande de los matemáticos de la antigüedad, nació en el año 287 a.C. y murió en el 212. Pasó casi toda su vida en su ciudad natal de Siracusa, aunque se sabe que visitó Egipto al menos en una ocasión. La fama de Arquímedes se basa fun- damentalmente en sus numerosos descu- brimientos matemáticos. Halló, por ejemplo, un valor aproximado del númeropi con un error muy pequeño. Calculó volúmenes y áreas, algunos muy difíciles, entre ellos el volumen de la esfera, y demostró el siguiente resultado fundamental del que se sentía particularmente orgulloso: «Los volúmenes de un cono, de una semiesfera y de un cilindro, todos de la misma altura y radio, se encuentran en la razón 1:2:3». Consi- derado este teorema con la perspectiva que nos da la historia, era verdaderamente un resultado excepcional para la época. La pureza de su matemática en las obrasDe la esfera y del cilindro,De los conoides y esferoides,De las espirales, y la originalidad de sus nuevas ideas (método de exhaución, cuadratura del segmento de parábola), en las que se puede ver el germen del cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz, se unen y se complementan armoniosamente con sus trabajos sobre estática e hidrodinámica, poniendo de manifiesto cómo las dos matemáticas (la pura y la aplicada) se complementan mutuamente, de manera que

Escuche el audio¡Eureka! Arquí- medes y el cálculo integral en su multimedia deElementos básicos de cálculo integral y series.