Matem´aticas II
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez
MCarmen Mu˜niz
Dpto. de Matem´atica Aplicada.
Facultad de Matem´aticas.
Universidad de Santiago de Compostela.
Grado de Qu´ımicas Matem´aticas II
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Asignatura: Matemáticas, Profesor: Hipólito Hipólito, Carrera: Química, Universidad: USC
Tipo: Apuntes
2010/2011
1 / 22
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Matem´aticas II
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez
MCarmen Mu˜niz
Dpto. de Matem´atica Aplicada. Facultad de Matem´aticas. Universidad de Santiago de Compostela.
b) Integral triple.
[Ref.: Steiner, pp. 261-273]
- Sean f (x, y , z) una funci´on definida en D ⊂ R^3
Vamos a definir tambi´en la integral triple de f sobre D como un l´ımite de sumas, as´ı como se hizo para la integral doble. Se divide el s´olido D en m paralelep´ıpedos Pk de volumen ∆V = ∆xk ∆yk ∆zk. En cada paralelep´ıpedo tomamos un punto (x? k , y (^) k? , z k? ) y evaluamos la funci´on: f (x k? , y? k , z k? ).
b) Integral triple. d) C´alculo de vol´umenes
Propiedades
Si f (x, y , z) = 1 en el recinto D, entonces
D
1 dx dy dz = Volumen(D).
Si f (x, y , z) representa la densidad de masa del s´olido D, entonces la masa total es
Masa(D) =
D
f (x, y , z) dx dy dz.
Unidades de la integral. Dada una funci´on f (con unidades [f ]) dependiente de las variables x (con unidades [x]), y (con unidades [y ]), y z (con unidades [z] ), por definici´on de integral triple, se tiene que las unidades de la integral son
D
f (x, y , z) dx dy dz
(^) = [f ] · [x] · [y ] · [z]
b) Integral triple.
Teorema de Fubini
Si f es una funci´on continua en el paralelep´ıpedo
D = [a, b] × [c, d] × [u, v ], entonces
D
f (x, y , z) dv =
∫ v
u
∫ d
c
∫ b
a
f (x, y , z) dx dy dz =
∫ d
c
∫ b
a
∫ v
u
f (x, y , z) dz dx dy =...
Hay 6 integrales iteradas cuyo resultado coincide. El valor de la integral no depende del orden en el cual se haga la integraci´on si el integrando es una funci´on continua y la regi´on de integraci´on es un paralelep´ıpedo. La integraci´on ha de hacerse de dentro hacia afuera, adem´as hay que tener cuidado de asociar a cada pareja de l´ımites de integraci´on la variable de integraci´on correcta. Los m´etodos de integraci´on para integrales en una variable se aplican directamente en el c´alculo de integrales iteradas.
b) Integral triple. (d) Aplicaciones
Ejemplo
El cubo D = [1, 2] × [1, 2] × [1, 2] tiene densidad de masa
ρ(x, y , z) = (1 + x)ez^ y , expresada en gr /m^3.
Hallar la masa de la caja mediante una integral triple, indicando sus
unidades.
Masa =
D
ρ(x, y , z) dV =
1
1
1
((1 + x)ez^ y ) dx dy dz =
1
1
ez^ y
[
x +
x^2 2
] 2
1
dy dx =
1
1
ez^ y dy dz =
1
1
ez
[ (^) y 2
2
] 2
1
dz =
=^5
1
ez^ dz =^15 4
[ez^ ]^21 =^15 4
(e^2 − e) gr
b) Integral triple. (d) Aplicaciones
Ejemplo
La caja definida por
0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 ,
tiene densidad de masa ρ(x, y , z) = x^2 + y 2 + z^2 , expresada en gr /m^3.
Hallar la masa de la caja mediante una integral triple, indicando sus
unidades.
Masa =
D
ρ(x, y , z) dV =
0
0
0
(x^2 + y 2 + z^2 ) dx dy dz =
0
0
[ (^) x 3
3
- y 2 x + z^2 x
] 1
0
dy dx =
0
0
- y 2 + z^2 ) dy dz =
∫ (^1)
0
0
[
(^1
y + y^
3 3
- z^2 y )
] 1
0
dz =
0
(^1
+^1
- z^2 ) dz =
[
z + z
3 3
] 1
0
= 1 gr
b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones
Cambio de variable a coordenadas esf´ericas en integrales triples.
Teorema Supongamos que a cada punto (x, y , z) de una regi´on D ⊂ R^3
le corresponde un ´unico punto (r , θ, φ) de una regi´on D∗^ en el sistema de
coordenadas esf´ericas, si la transformaci´on T : D∗^ → D, que lleva un
conjunto en otro, es regular y f : D → R es continua, entonces
D
f (x, y , z) dV =
D∗
f (r sen θ cos φ, r sen θ sen φ, r cos θ) r 2 sen θdr dθ dφ.
←− dr
←− r sen θ dφ
←− r dθ
En efecto, el elemento diferencial de
volumen en coordenadas esf´ericas es
dV = r sen θ dφ r dθ dr
b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Ejemplo
Calcular el volumen de la esfera D de centro (0, 0 , 0) y radio a.
En este ejercicio la regi´on de integraci´on tiene una expresi´on m´as simple en coordenadas esf´ericas: en efecto, la esfera de centro (0, 0 , 0) y radio a, en coordenadas esf´ericas, se parametriza por
0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2 π
b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Ejemplo
Evaluar la integral de la funci´on f (r , θ, φ) = 1 + r 2 cos^2 θ sen^2 φ en la
esfera D de centro el origen y radio a.
Procedemos a calcular la integral en el dominio de integraci´on (expresado en esf´ericas)
0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2 π.
∫
D
(1 + r 2 cos^2 θ sen^2 φ) dV =
∫ (^2) π
0
∫ (^) a
0
∫ (^) π
0
(1 + r 2 cos^2 θ sen^2 φ) r 2 sen θ dθ dr dφ =
∫ (^2) π
0
∫ (^) a
0
r 2
[
−cos θ − r 2 sen^2 φ cos
(^3) θ 3
]π
0
dr dφ =
∫ (^2) π
0
∫ (^) a
0
r 2 (2 +^2 3
r 2 sen^2 φ) dr dφ =
∫ (^2) π
0
[
r 3 3
sen^2 φ
r 5 5
]a
0
dφ =
∫ (^2) π
0
a^3 3
a^5 5
sen^2 φ ) dφ =
πa^3 +
2 a^5 15
π.
b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Aplicaci´on
Cuando la regi´on de integraci´on es todo el espacio tridimensional, la
integral triple es, en esf´ericas,
R^3
f dV =
0
0
0
f (r , θ, φ) r 2 sen θ dr dθ dφ
N´otese que da lugar a una integral impropia. Dichas integrales son utilizadas, por ejemplo, en qu´ımica cu´antica: Ejemplo Calcular la integral en R^3 de la densidad de probabilidad del orbital 1s del ´atomo de hidr´ogeno ψ^21 s =
πa^30
e−^2 r^ /a^0 (a 0 es el radio de Bohr).
Soluci´on: Tenemos que calcular ∫ ∫ ∫
R^3
ψ^21 s dV =
∫ (^2) π
0
∫ (^) π
0
0
πa^30
e−^2 r^ /a^0 r 2 sen θ dr dθ dφ
b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Aplicaci´on En mec´anica cu´antica, si la densidad de probabilidad es el m´odulo al cuadrado de una funci´on de onda, el valor promedio de una funci´on f viene dado por
f^ ¯ =
R^3
f |ψ|^2 dV ,
se suele llamar el valor esperado de f en el estado ψ.
Ejemplo Hallar la distancia promedio del electr´on al n´ucleo para el orbital 1s del ´atomo de hidr´ogeno.
Soluci´on: En este caso, la distancia del un punto P al origen es f (r , θ, φ) = r y su valor esperado es ¯r 1 s =
R^3
r |ψ 1 s |^2 dV.
¯r 1 s =
∫ (^2) π
0
∫ (^) π
0
0
πa^30
e−^2 r^ /a^0 r 3 senθ dr dθ dφ =
πa^30
∫ (^2) π
0
∫ (^) π
0
(2/a 0 )^4 senθ^ dθ^ dφ^ =^
πa^30
3 a^40 8 2
∫ (^2) π
0
dφ =
4 π πa^30
3 a^40 8 =
2 a^0
b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones.
Ejemplo Hallar la integral de f (r , θ, φ) = r 3 e−r^ en todo el espacio.
Soluci´on:
I =
R^3
r 3 e−r^ dV =
∫ (^2) π
0
∫ (^) π
0
0
r 3 e−r^ r 2 senθ dr dθ dφ =
∫ (^2) π
0
∫ (^) π
0
5! senθ dθ dφ = 5! 2
∫ (^2) π
0
dφ = 240 · 2 π = 480 π
Repaso coordenadas cil´ındricas
[Ref.: Steiner, p´ag. 270]
1 ρ: Sus valores posibles van desde 0
a +∞.
2 φ: Sus valores posibles van desde 0
a 2 π.
3 z : Sus valores posibles van desde
−∞ a +∞.
Las coordenadas cil´ındricas y las
cartesianas se relacionan mediante las
ecuaciones:
1 x = ρ cos φ
2 y = ρ sen φ
3 z = z
b) Integral triple. (c) Cambio de variable. (d) Aplicaciones
Cambio de variable a coordenadas cil´ındricas en integrales triples.
Teorema Supongamos que a cada punto (x, y , z) de una regi´on D ⊂ R^3
le corresponde un ´unico punto (ρ, φ, z) de una regi´on D∗^ en el sistema
de coordenadas cil´ındricas, si la transformaci´on T : D∗^ → D, que lleva un
conjunto en otro, es regular y f : D → R es continua, entonces
D
f (x, y , z) dV =
D∗
f (ρ cos φ, ρ sen φ, z) ρ dρ dφ dz.
Ejemplo
Calcular el volumen de la regi´on cil´ındrica C de radio a entre z = 0 y
z = b.
Soluci´on: En este ejercicio la regi´on de integraci´on tiene una expresi´on m´as simple en coordenadas cil´ındricas: en efecto, la regi´on cil´ındrica C de radio a entre z = 0 y z = b, en coordenadas cil´ındricas, se define por
0 ≤ ρ ≤ a, 0 ≤ φ ≤ 2 π, 0 ≤ z ≤ b