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UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´aticas
Optica y Optometr´ıa
Res´umenes
Curso 2006-
C´alculo de Integral.
Primitiva de una funci´on.
Se dice que una funci´on F (x) es primitiva de otra funci´on f (x) si verifica que F ′ (x) = f (x). Es evidente
que una funci´on no tiene una ´unica primitiva, ya que si F (x) es primitiva de f (x), tambi´en lo es la funci´on
G(x) = F (x) + C, para cualquier constante C ∈ R, puesto que f (x) = F ′ (x) = G ′ (x). Es f´acil comprobar que
dos primitivas de una misma funci´on se diferencian en una constante.
Se denomina integral de una funci´on f (x), a cualquiera de sus primitivas, y se denota
f (x)dx
Propiedades.
(f (x) + g(x))dx =
f (x)dx +
g(x)dx.
λf (x)dx = λ
f (x)dx, para cualquier n´umero real λ.
0 dx = C.
F´ormulas b´asicas de integraci´on ∫
kdx = kx + C
x
n dx =
x
n+
n + 1
+ C
x
dx = ln |x| + C
e
x dx = e
x
∫
a
x dx =
a x
ln a
+ C
sen xdx = − cos x + C
∫
cos xdx = sen x + C
tan xdx = − ln | cos x| + C
∫
cotan xdx = ln | sen x| + C
sec xdx = ln | sec x + tan x| + C
∫
cosec xdx = ln | cosec x − cotan x| + C
dx √ a 2 − x 2
= arc sen
x
a
+ C
cosec
2 xdx = − cotan x + C
sec
2 xdx = tan x + C
∫ dx
x
x^2 − a^2
a
arcsec
|x|
a
+ C
cosh xdx = senh x + C
∫
senh xdx = cosh x + C
dx
a 2
a
arctan
x
a
+ C
x 2
a
2 ln(x +
x 2
x
x 2
+ C,
dx √ x^2 + a^2
= ln(x +
x 2
Algunos m´etodos de integraci´on.
Cambio de variable.- Este m´etodo se basa en la “regla de la cadena”de derivaci´on de funciones compuestas:
si f y g son dos funciones y F es una primitiva de f y se trata de calcular la integral
∫
f (g(x))g
′ (x)dx
haciendo el cambio g(x) = t, se tiene que g ′ (x)dx = dt y entonces:
f (g(x))g
′ (x)dx =
f (t)dt = F (t) + C = F (g(x)) + C.
Integraci´on por partes.- Si tenemos el producto de dos funciones uv y derivamos:
d(uv) = udv + vdu, de donde udv = d(uv) − vdu
e integrando, obtenemos la “f´ormula”de integraci´on por partes:
udv = uv −
vdu.
Se trata pues, de descomponer el integrando f (x)dx como producto de una funci´on u y otra dv que es derivada
de una funci´on v a determinar. Entonces se aplica la f´ormula. Quiz´as conviene tener en cuenta:
- Debemos saber integrar dv.
- La integral
vdu debe ser “m´as sencilla”que la original.
Integrales de funciones racionales.- Se trata de integrar funciones del tipo
P (x) Q(x)
donde P y Q son polinomios.
Podemos suponer que el grado de P es menor que el grado de Q, en caso contrario efectuamos la divisi´on de
ambos polinomios con lo que obtendremos una expresi´on del tipo:
P (x)
Q(x)
= C(x) +
R(x)
Q(x)
siendo R(x) el resto de tal divisi´on (y por tanto su grado es menor que el de Q). La integral de C(x) es sencilla
por tratarse de un polinomio y s´olo resta integrar la otra funci´on.
Toda funci´on racional de este tipo se puede descomponer en fracciones simples de la siguiente forma.
En primer lugar se factoriza el denominador Q(x); por cada factor bin´omico (x−a)
n de multiplicidad n, aparecen
las n fracciones siguientes:
A 1
(x − a)
A 2
(x − a) 2
A 3
(x − a) 3
An
(x − a) n
y por cada factor cuadr´atico (x
2
m de multiplicidad m aparecen las m fracciones siguientes:
M 1 x + N 1
x 2
M 2 x + N 2
(x 2
Mmx + Nm
(x 2
Se trata entonces de establecer la igualdad entre P (x)/Q(x) y la suma de todas las fracciones que aparecen,
operar para obtener los numeradores de las fracciones simples.
Reducci´on de integrales trigonom´etricas a racionales.-Se hace el cambio de variable siguiente
tan
x
= t, sen x =
2 t
1 + t^2
; cos x =
1 − t
2
1 + t^2
; dx =
2 dt
1 + t^2
; x = 2 arctan t.
Integrales de potencias de senos y cosenos.- Se trata de integrales del tipo
sen
m x cos
n xdx, con m, n > 1 ,
procedemos de la siguiente forma:
Si n es impar hacemos el cambio sen x = t y utilizamos cos
2 x = 1 − sen
2 x.
Si, por el contrario m es impar hacemos cos x = t y utilizamos sen 2 x = 1 − cos 2 x.
Si ambos son pares podemos hacer utilizamos: sen x cos x =
1 2
sen 2x, sen x =
1 2
(1 − cos 2x) y cos 2 x = 1 2
Cambios de variable trigonom´etricos.-
Para integrales que contienen
a 2 − x 2 se hace x = a sen t.
Teorema (fundamental del c´alculo).-Sea f una funci´on real continua definida en [a, b]; entonces la funci´on
F : [a, b] −→ R definida como
F (x) =
x
a
f (t)dt
es derivable y su derivada es F ′ (x) = f (x).
Teorema (Regla de Barrow).- Si f es integrable en [a, b] y F es una primitiva de f entonces
∫ (^) b
a
f (x)dx = F (b) − F (a).
C´alculo de ´areas planas.
Ya hemos se˜nalado que si f (x) ≥ 0, entonces
∫ (^) b
a
f (x)dx es, precisamente el ´area comprendida entre la curva
y = f (x) y el eje X en el intervalo [a, b]. Si f (x) ≤ 0 entonces dicha ´area es −
∫ (^) b
a f (x)dx = |
∫ (^) b
a f (x)dx|.
Si, f (x) corta al eje X en x 1 , x 2 , ...., xk ∈ [a, b], el ´area delimitada por la curva y ele eje X es
A =
x 1
a
f (x)dx
x 2
x 1
f (x)dx
b
xk
f (x)dx
Para calcular el ´area comprendida entre dos curvas f (x) y g(x) basta aplicar todo lo anterior a la funci´on
h(x) = f (x) − g(x).
C´alculo de vol´umenes dee s´olidos de revoluci´on.
Si consideramos una funci´on f (x) en un intervalo [a, b] y la hacemos girar alrededor del eje X, obtenemos un
s´olido que se llama de revoluci´on. Para cada x ∈ [a, b] el plano perpendicular a dicho eje que corta al s´olido, es
un c´ırculo de radio, precisamente f (x) y cuya ´area es precisamente A(x) = π[f (x)]
2
. Si integramos esta nueva
funci´on, obtenemos el volumen del solido de revoluci´on (es como si sum´aramos las infinitas secciones en [a, b]:
V =
b
a
π[f (x)]
2 dx.
Este mismo m´etodo se puede aplicar al calculo de vol´umenes de solidos tales que el ´area de cada secci´on, en un
intervalo depende de x. Si tal ´area es A(x), entonces el volumen es
V =
∫ (^) b
a
A(x)dx
C´alculo de la longitud de una curva.
La longitud de una curva y = f (x) en un intervalo [a, b] viene dada por
L
b a (f ) =
∫ (^) b
a
1 + [f ′ (x)] 2 dx.
C´alculo del ´area de una superficie de revoluci´on.
El ´area de una superficie de revoluci´on obtenida al girar una curva f (x) alrededor del eje X en un intervalo
[a, b] se obtiene como
A =
b
a
f (x)
1 + [f ′ (x)] 2 dx.
