Matem´aticas II
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez
M. Carmen Mu˜niz Casti˜neira
Dpto. de Matem´atica Aplicada.
Facultad de Matem´aticas.
Universidad de Santiago de Compostela.
Grado de Qu´ımicas Matem´aticas II
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Asignatura: Matemáticas, Profesor: Hipólito Hipólito, Carrera: Química, Universidad: USC
Tipo: Apuntes
2010/2011
1 / 30
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Matem´aticas II
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez M. Carmen Mu˜niz Casti˜neira
Dpto. de Matem´atica Aplicada. Facultad de Matem´aticas. Universidad de Santiago de Compostela.
a) La integral definida
[Ref.: Steiner, p. 105]
La integral definida.
El objetivo principal del c´alculo integral es resolver el problema de hallar el ´area encerrada por una curva dada. En este apartado estudiaremos el c´alculo de ´areas de regiones planas como una aplicaci´on de la integral definida. Para una funci´on f (x), continua en el intervalo [a, b], el ´area sombreada de la figura siguiente se conoce como ´area bajo la curva.
a) La integral definida
y dividimos el ´area bajo la curva en n rect´angulos mediante l´ıneas verticales en los puntos de la partici´on, como se muestra en la figura
Obtenemos una aproximaci´on del ´area al sumar las ´areas de todos los rect´angulos. La base del rect´angulo r -´esimo es la longitud de sub-intervalo [xr − 1 , xr ] que denotamos por ∆xr = xr − xr − 1 , r = 1,... , n. Para cada subintervalo, tomamos un valor x∗ r arbitrario x r∗ ∈ [xr − 1 , xr ], r = 1,... , n
a) La integral definida
y construimos la suma
S(Pn, f ) =
∑^ n
r =
f (x r∗ )∆xr
llamada suma de Riemann que corresponde a sumar las ´areas de los rect´angulos Definici´on Una funci´on f se dice integrable -seg´un Riemann- en el intervalo [a, b] si existe el l´ımite
l´ım n→+∞ S(Pn, f ) = l´ım n→∞
∑^ n
r =
f (x r∗ )∆xr
A este l´ımite se le denomina integral definida de f en [a, b] -o integral de Riemann- y se denota por ∫ (^) b
a
f (x)dx = l´ım n→∞
∑^ n
r =
f (x r∗ )∆xr.
a) La integral definida
Propiedad Si f es una funci´on continua en [a, b], entonces es integrable en el intervalo [a, b].
Ejemplo Calcular la integral de la funci´on f (x) = 1, para todo x ∈ [a, b]
Soluci´on. Si construimos la suma de Riemann S(Pn, f ) =
∑^ n r =
1 · ∆xr = b − a.
n^ l´→∞ım S(Pn,^ f^ ) =^ nl´→∞ım(b^ −^ a) =^ b^ −^ a.
Por tanto, ∫ (^) b a
1 dx = b − a.
a) La integral definida
Propiedades de la integral.
(^1) Aditividad respecto al intervalo. Sea f una funci´on integrable en los intervalos [a, b] y [b, c] con a < b < c, entonces f es integrable en [a, c] y ∫ (^) c
a
f (x)dx =
∫ (^) b
a
f (x)dx +
∫ (^) c
b
f (x)dx.
(^2) Monoton´ıa. Sean f y g dos funciones integrables en [a, b] tales que f (x) ≥ g (x) para todo x ∈ [a, b], entonces ∫ (^) b
a
f (x)dx ≥
∫ (^) b
a
g (x)dx.
(^3) Como consecuencia de la propiedad anterior.
Si f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], entonces
∫ (^) b
a
f (x)dx ≥ 0.
a) La integral definida
(^7) Unidades de la integral. Dada una funci´on f con unidades [f ] dependiente de la variable x de unidades [x], por definici´on de integral definida se tiene ∫ (^) b
a
f (x)dx = l´ım n→∞
∑^ n
r =
f (x r∗ )∆xr ,
entonces, las unidades de la integral [∫ (^) b
a
f (x)dx
]
= [f ] · [x]
a) La integral definida
Teorema Fundamental del C´alculo Integral. Sea f una funci´on continua en [a, b]. Para cada x ∈ [a, b] se define
F (x) =
∫ (^) x
a
f (t)dt,
entonces F es derivable en [a, b] y se verifica que
F ′(x) =
d dx
[∫ (^) x
a
f (t)dt
]
= f (x)
Este teorema afirma que la derivaci´on y la integraci´on son operaciones inversas. Adem´as, para f continua en [a, b], siempre es posible calcular una primitiva.
a) La integral definida
Ejemplos
∫ (^3)
2
x^2 dx =
[ x^3 3
] 3
2
=^3
3 3 − 2
3 3 =^19 3 . ∫ (^4) 2
dx x^2 =
[ − 1 x
] 4
2
=
( − 1 4
) −
( − 1 2
)
1
∫ π 2 0
sen θ dθ = [−cos θ]
π 2 0 = (−cos^
π 2 ) − (−cos 0) = 1 ∫ (^) + − 1
e−^2 x^ dx =
[ (^) − 1 2 e−^2 x
]+
− 1
=
( (^) − 1 2 e−^2
) −
( (^) − 1 2 e^2
)
1 2
( e^2 − e−^2
) . ∫ (^3)
2
dx x = [ln(x)]^32 = ln 3 − ln 2 = ln^3 2
a) La integral definida.
Uso de relaciones trigonom´etricas. Es conveniente recordar:
sen x sen y = 1 2 [cos (x − y ) − cos (x + y )]
cos x cos y =^1 2 [cos (x − y ) + cos (x + y )]
sen x cos y =^1 2 [sen (x − y ) + sen (x + y )]
Ejemplo Demostrar que
Int =^2 l
∫ (^) l
0
sen ( mπx l ) sen ( nπx l ) dx = δmn =
{ 0 si n 6 = m 1 si n = m
Esta propiedad indica que las soluciones de la ecuaci´on de Schr¨odinger para una part´ıcula en un pozo de potential unidimensional de longitud l, dadas por ψn(x) =
√ 2 l sen ( nπx l ) son ortonormales (ortogonales y normalizadas).
a) La integral definida
Teorema. Regla de Leibniz Sea f una funci´on continua en [a, b] y u, v dos funciones derivables con valores en [a, b]. Se define
G (x) =
∫ (^) v (x)
u(x)
f (t)dt,
entonces G es derivable en [a, b] y
G ′^ = f (v (x)) · v ′(x) − f (u(x)) · u′(x).
Ejemplos Calcular G ′(x) siendo
G (x) =
∫ (^0) x^2
cos(t)dt ⇒ G ′(x) = cos(0) · 0 ′^ − cos(x^2 ) · 2 x = − 2 x cos(x^2 )
a) La integral definida
G (x) =
∫ (^) x 2 sen(x)
(1 + t^2 )dt ⇒ G ′(x) = (1 + x^4 ) · 2 x − (1 + sen^2 (x)) · cos(x)
G (x) =
∫ (^) ex 1
1 t dt ⇒ G ′(x) = 1 ex^ ex^ = 1
c) Aplicaciones de la integral
Aplicaciones de la integral definida
(^1) C´alculo de volumenes de revoluci´on alrededor del eje X.
∆V = π (R(x))^2 ∆x,
Volumen =
∫ (^) b
a
π(R(x))^2 dx.
c) Aplicaciones de la integral
Ejemplo Calcular el volumen del s´olido generado al girar alrededor del eje X la regi´on bajo la curva y =
x en el intervalo [0, 4]
Soluci´on.-
V =
∫ (^4) 0
π( √ x)^2 dx = π
∫ (^4) 0
x dx = π
[ (^) x 2 2
] 4
0
= π
( (^42) 2
) = 8π.