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EXTENSI ´ON DE UN TEOREMA DE LA TEOR´IA DE
LAS SERIES TRIGONOM´ETRICAS
POR
G. CANTOR
Halle
Traducci´on y comentarios por J. Bares y J. Climent.
(Traducci´on de una memoria publicada en los Math. Annalen de Leipzig, t. V, p´ag. 123)
Quisiera dar a conocer en este trabajo una extensi´on del teorema seg´un el cual una funci´on no puede ser desarrollada m´as que de una sola manera en serie trigonom´etrica. Procur´e demostrar en el Journal de Crelle t. 72, p´ag. 139 [Beweis, daß eine f¨ur jeden reellen Wert von x durch eine trigonometrische Reihe gegebene Function f (x) sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen l¨aßt], que dos series trigonom´etricas: 1 2 b^0 +^
(an sin nx + bn cos nx) y 12 b′ 0 +
(a′ n sin nx + b′ n cos nx)
tales que, para todos los valores de x, convergen y tienen la misma suma, tienen los mismos coeficientes; despu´es mostr´e, en una nota [Notiz zu dem Aufsatze: Beweis, daß eine f¨ur jeden reellen Wert... Crelles Journal f¨ur Mat- hematik, vol. 73, 1871, pp. 294–296] relativa a este trabajo, que este teorema sigue siendo verdadero, si, para un n´umero finito de valores de x, se renuncia, sea a la convergencia, sea a la igualdad de las sumas de las dos series. La extensi´on que quiero considerar aqu´ı consiste en que para un n´umero infinito de valores de x en el intervalo [0... (2π)] se puede renunciar a la convergencia o a la concordancia de las sumas de las series, sin que el teorema deje de ser verdadero. Pero para alcanzar este objetivo estoy obligado a empezar dando explica- ciones, o m´as bien dando algunas indicaciones simples destinadas a sacar a la luz las diversas maneras de las que se pueden comportar las magnitudes num´ericas en n´umero finito o infinito; soy llevado de ese modo a dar algunas definiciones, con el fin de hacer tan breve como sea posible la exposici´on del teorema en cuesti´on, cuya demostraci´on se haya en el §3.
Los n´umeros racionales sirven de fundamento para llegar a la noci´on m´as vasta de magnitud num´erica; los designar´e bajo el nombre de sistema A, incluyendo el cero. Se haya una primera generalizaci´on de la noci´on de magnitud num´erica en el caso en el que se tenga, obtenida mediante una ley, una sucesi´on infinita de n´umeros racionales:
(1) a 1 , a 2 ,... , an,... ,
constituida de tal modo que la diferencia an+m − an se haga infinitamente peque˜na a medida que aumenta n, sea cual sea el n´umero entero positivo m, 1
o, en otros t´erminos, que con ε (racional positivo) tomado arbitrariamente se tiene un n´umero entero n 1 tal que |an+m − an| < ε, si n ≥ n 1 , y si m es un n´umero entero positivo arbitrario. Expreso de este modo esta propiedad de la sucesi´on (1): “La sucesi´on (1) tiene un l´ımite determinado b”. Estas palabras no sirven pues m´as que para enunciar aquella propiedad de la sucesi´on, sin expresar en principio otra cosa, y lo mismo que ligamos la sucesi´on (1) con un signo particular b, del mismo modo se deben tambi´en adscribir signos diferentes b, b′, b′′,... a sucesiones diferentes de la misma especie. Sea una segunda sucesi´on:
(1′) a′ 1 , a′ 2 ,... , a′ n,... ,
que tenga un l´ımite determinado b′, entonces se haya que las dos sucesiones (1) y (1′) tienen constantemente una de las tres relaciones siguientes, que se excluyen mutuamente: O bien: 1o^ an − a′ n se hace infinitamente peque˜no a medida que n aumenta, o bien: 2o^ an −a′ n, a partir de un cierto n, permanece siempre superior a una magnitud positiva (racional) ε, o por ´ultimo 3o^ an − a′ n, a partir de un cierto n permanece siempre inferior a un n´umero negativo (racional) −ε. En el caso de la primera relaci´on, pongo: b = b′, en el caso de la segunda: b > b′, y, en el caso de la tercera: b < b′. Se haya del mismo modo que una sucesi´on (1), que tenga un l´ımite b, no tiene con un n´umero racional a m´as que una de las tres relaciones siguientes. O bien: 1o^ an − a se hace infinitamente peque˜no a medida que n aumenta, o bien: 2o^ an − a, a partir de un cierto n, permanece siempre superior a una magnitud positiva (racional) ε, o por ´ultimo 3o^ an − a, a partir de un cierto n permanece siempre inferior a un n´umero negativo (racional) −ε. Para expresar la existencia de estas relaciones, escribimos resp.:
b = a, b > a, b < a.
A partir de estas definiciones y de las que siguen inmediatamente, resulta (y se puede demostrar rigurosamente esta consecuencia) que, siendo b el l´ımite de la sucesi´on (1), b − an se hace infinitamente peque˜no a medida que n aumenta, lo cual justifica por consiguiente de una manera precisa la designaci´on de “l´ımite de la sucesi´on (1)” dado a b. Designemos por B el conjunto de las magnitudes num´ericas b. Seg´un las convenciones precedentes, se pueden extender las operaciones elementales efectuadas con los n´umeros racionales a los dos sistemas A y B reunidos. Sean en efecto b, b′, b′′^ tres magnitudes num´ericas del sistema B, entonces las f´ormulas:
b ± b′^ = b′′, bb′^ = b′′,
b b′^
= b′′
Aunque de ese modo los sistemas B y C puedan en una cierta medida ser considerados como id´enticos, en la teor´ıa que aqu´ı expongo (y seg´un la cual la magnitud num´erica, no teniendo en principio en ella misma, en general, ning´un objeto, no interviene m´as que como elemento de teoremas que tienen una cierta objetividad, e. g., del teorema, de que la magnitud num´erica sirve de l´ımite para la sucesi´on correspondiente) es esencial mantener la distinci´on abstracta entre los dos sistemas B y C; puesto que la equivalencia de dos magnitudes num´ericas b, b′^ tomadas del sistema B no implica su identidad, sino que expresa solamente una relaci´on determinada entre las sucesiones a las cuales se refieren. El sistema C y aqu´ellos que le preceden producen de una manera an´aloga un sistema D, ´estos a su vez, otro sistema E, y as´ı sucesivamente; mediante λ de estas operaciones (considerando la operaci´on en virtud de la cual se pasa de A a B como la primera) se llega a un sistema L de magnitudes num´ericas. Si se realiza la sucesi´on de las definiciones dadas para la equivalencia, superioridad e inferioridad de estas diferentes magnitudes num´ericas y para las operaciones elementales, de un sistema a otro, entonces tendr´a lugar la misma relaci´on con aqu´ellos que le preceden, con la excepci´on de A, de manera que se podr´a siempre igualar una magnitud num´erica a una magnitud num´erica k, i,... , c, b, y rec´ıprocamente. Se pueden reconducir a la forma de igualdades de este g´enero los resulta- dos del an´alisis (haciendo abstracci´on de algunos casos conocidos) aunque (y no lo indico aqu´ı m´as que en atenci´on a estas excepciones) la noci´on de n´umero, como ha sido desarrollada aqu´ı, lleva en s´ı el principio de una extensi´on necesaria en s´ı misma y absolutamente infinita. Parece leg´ıtimo, dada una magnitud en el sistema L, que nos podamos servir de esta expresi´on: Es una magnitud num´erica, un valor, o un l´ımite, de λ-´esima especie; de donde se ve que empleo en general las palabras magnitud num´erica, valor y l´ımite en el mismo sentido. Una ecuaci´on F (, ′,... ,(p)) = 0 formada por los n´umeros ,′,... , (p) mediante un n´umero finito de operaciones elementales aparece precisamente, en la teor´ıa en cuesti´on, como la expresi´on de una relaci´on determinada entre p+1 sucesiones λ veces infinitas de n´umeros racionales; estas sucesiones est´an producidas a partir de las sucesiones simplemente infinitas que definen en primer lugar a las magnitudes, ′,... ,(p); se las obtiene reemplazando, en las primeras, los elementos por las sucesiones que las definen, tratando del mismo modo las sucesiones as´ı obtenidas, que en general ser´an doblemente infinitas, y continuando este procedimiento hasta que no se tenga ya ante s´ı m´as que n´umeros racionales. En otra circunstancia volver´e con m´as detalle sobre todas estas relaciones. No es ´este el lugar para explicar de qu´e manera las convenciones y las opera- ciones de las que he hablado en este § pueden servir al an´alisis infinitesimal. En lo que sigue, al exponer la relaci´on de las magnitudes num´ericas con la geometr´ıa de la l´ınea recta, me limitar´e casi exclusivamente a los teoremas necesarios, a partir de los cuales se puede, si no me equivoco, deducir el resto por medio de una demostraci´on puramente l´ogica. Indico, para compararlo
con los §1 y §2, el 10o^ libro de los Elementos de Euclides; que puede servir de punto de comparaci´on en este asunto.
Los puntos de una l´ınea recta est´an determinados cuando, tomando como base una unidad de medida, se indican sus distancias a un punto fijo 0 de la l´ınea recta, las abscisas, con el signo + o −, seg´un que el punto en cuesti´on se encuentre en la parte (fijada por adelantado) positiva o negativa de la l´ınea a partir de 0. Si esta distancia tiene con la unidad de medida una raz´on racional, en- tonces est´a expresada mediante una magnitud num´erica del sistema A; en el otro caso, si el punto es conocido mediante una construcci´on, se puede siempre imaginar una sucesi´on:
(1) a 1 , a 2 , a 3 ,... , an,... ,
que cumple las condiciones enunciadas en el §1, y que tiene con la distancia en cuesti´on una relaci´on tal que los puntos de la recta, a los cuales correspon- den las distancias a 1 , a 2 ,... , an,... , se aproximan infinitamente al punto a determinar, a medida que n aumenta. Lo que expresamos, diciendo: La distancia del punto a determinar al punto 0 es igual a b, donde b es la magnitud num´erica correspondiente a la sucesi´on (1). Se demuestra a continuaci´on que las condiciones de equivalencia y de su- perioridad e inferioridad entre distancias conocidas concuerda con las con- diciones de equivalencia y de superioridad e inferioridad (definidas en el §1), de las magnitudes num´ericas correspondientes, que representan a estas distancias. Se sigue ahora sin dificultad que las magnitudes num´ericas de los sistemas C, D,... son tambi´en capaces de determinar distancias conocidas. Pero para acabar de completar la conexi´on que observamos entre los sistemas de las magnitudes num´ericas definidas en el §1 y la geometr´ıa de la l´ınea recta, es necesario agregar adem´as un axioma, del que he aqu´ı su simple enunciado: A cada magnitud num´erica le corresponde tambi´en, rec´ıprocamente, un punto determinado de la recta, cuya coordenada es igual a esta magnitud num´erica en el sentido expuesto en este §.(^2 ) Llamo a este teorema un axioma, porque est´a en su naturaleza no poder ser demostrado de una manera general. Este teorema sirve tambi´en para dar suplementariamente a las magni- tudes num´ericas una cierta objetividad, de las que ellas son, no obstante, completamente independientes.
(^2) A cada magnitud num´erica le corresponde un punto determinado, pero a cada punto le corresponden, como coordenadas, en el sentido anterior, una cantidad innumerable de magnitudes num´ericas iguales; pues, como ya pusimos de manifiesto m´as arriba, se sigue, de fundamentos puramente l´ogicos, que a magnitudes num´ericas iguales no pueden corres- ponder puntos distintos, y que a magnitudes num´ericas desiguales, como coordenadas, no puede corresponder un solo y mismo punto.
Puede ocurrir, y ´este es el caso que s´olo nos interesa aqu´ı, que despu´es de ν operaciones el sistema P (ν)^ est´e compuesto por un n´umero finito de puntos y por consiguiente no de origen ´el mismo, por deducci´on [?], a ning´un otro sistema; en este caso llamaremos al sistema primitivo P de ν-´esima especie; se sigue de ah´ı que P ′, P ′′,... son entonces de (ν −1)-´esima, de (ν −2)-´esima,
... especie. En esta teor´ıa, el conjunto de todos los sistemas de alguna especie de- terminada es por consiguiente considerado como un g´enero particular en el conjunto de todos los sistemas de puntos imaginables, y los sistemas de pun- tos que hemos llamado de ν-´esima especie constituyen una especie particular en este g´enero. Un ´unico punto proporciona ya un ejemplo de un sistema de puntos de ν-´esima especie si su abscisa se da como una magnitud num´erica de ν- ´esima especie que satisfaga a ciertas condiciones f´aciles de establecer. Si, en efecto, se descompone entonces esta magnitud num´erica para obtener los t´erminos (de (ν − 1)-´esima especie) de la sucesi´on que le corresponde, si se descomponen estos miembros ellos mismos, para llegar a los t´erminos (de (ν − 2)-´esima especie) que los constituyen, y as´ı sucesivamente, se acaba por obtener un n´umero infinito de n´umeros racionales; y, si se imagina el sistema de puntos correspondiente a estos n´umeros, entonces ser´a de ν-´esima especie.(^3 )
Teorema. Si una ecuaci´on que tenga la forma:
(1) 0 = C 0 + C 1 +... + Cn +...
donde C 0 = 12 d 0 ; Cn = cn sin nx + dn cos nx, es satisfecha por todos los valores de x, con la excepci´on de aqu´ellos que corresponden a los puntos de un sistema de puntos P de ν-´esima especie dado en el intervalo [0... (2π)], donde ν designa un n´umero entero tan grande como se quiera, entonces digo que se tendr´a:
d 0 = 0, cn = dn = 0. Demostraci´on. En esta demostraci´on, como lo que sigue har´a ver, al hablar de P se considera no solo el sistema dado de ν-´esima especie de puntos excepcionales en el intervalo [0... (2π)], sino tambi´en el sistema producido sobre la l´ınea completa infinita mediante su repetici´on peri´odica. Consideremos ahora la funci´on:
F (x) = C 0
xx 2
− C 1 −
C 2
Cn nn
Entonces resulta de la naturaleza de un sistema P de ν-´esima especie que debe haber un intervalo (α... β), en el cual no se haya ning´un punto de este
(^3) Pongo de relieve expresamente, que ´este no es siempre el caso. En general el sistema de puntos as´ı engendrado por una magnitud num´erica de ν-´esima especie puede ser de una especie inferior o superior a la ν-´esima especie o incluso no ser de ninguna especie determinada.
sistema; para todos los valores de x incluidos en este intervalo se tendr´a, debido a la convergencia de nuestra serie (1) que hemos supuesto, pues que:
l´ım(cn sin nx + dn cos nx) = 0,
por consiguiente, seg´un un conocido teorema (v. Math. Ann. vol. 4, p. 139 [ Uber trigonometrische Reihen]):¨
l´ım cn = 0, l´ım dn = 0. La funci´on F goza pues de las siguientes propiedades (v. Riemann, Uber¨ die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, §8): 1 a^ Es continua para todos estos valores de x. 2 a^ Si l´ım α = 0, entonces l´ım F^ (x+α)+F^ αα(x− α)−^2 F^ (x) = 0, para todos los valores de x, con la excepci´on de aqu´ellos que corresponden a los puntos del sistema P. 3 a^ Si l´ım α = 0, entonces l´ım F^ (x+α)+F^ ( αx −α)−^2 F^ (x) = 0, para todos los valores de x sin excepci´on. Voy a mostrar ahora que F (x) = cx + c′. Para ello considero en primer lugar un intervalo cualquiera (p... q) en el que no hay m´as que un n´umero finito de puntos del sistema P ; sean x 0 , x 1 ,... , xn estos puntos escritos seg´un su orden de sucesi´on. Digo que F (x) es lineal en el intervalo (p... q); porque F (x), debido a las propiedades 1a^ y 2a, es una funci´on lineal en cada uno de los intervalos obtenidos al dividir (p... q) por los puntos x 0 , x 1 ,... , xn; en efecto, puesto que no hay puntos excepcionales en ninguno de estos intervalos, las con- clusiones aplicadas en la memoria (v. Journal de Borchardt, t. 72, p. 159) tienen aqu´ı toda su fuerza; no queda m´as que demostrar que estas funciones lineales son id´enticas. Voy ha hacerlo para dos funciones contiguas y las elijo en los intervalos (x 0... x 1 ) y (x 1... x 2 ). Sea en (x 0... x 1 ), F (x) = kx + y en (x 1... x 2 ), F (x) = k′x +′. Debido a la 1a^ se tiene que F (x 1 ) = kx 1 + `; luego, para valores bastante peque˜nos de α:
F (x 1 + α) = k′(x 1 + α) + ′^ y F (x 1 − α) = k(x 1 − α) +. Se tiene as´ı, por la 3a, que:
l´ım
(k′^ − k)x 1 + ′^ − + α(k′^ − k) α
si l´ım α = 0, lo cual solo es posible si:
k = k′, =′. En resumen, podemos enunciar el resultado siguiente: A) “Sea (p... q) un intervalo cualquiera, en el que no hay m´as que un n´umero finito de puntos del sistema P , entonces F (x) ser´a lineal en este intervalo.” Considero a continuaci´on un intervalo cualquiera (p′^... q′) que no contiene m´as que un n´umero finito de puntos x′ 0 , x′ 1 ,... , x′ n del primer sistema derivado P ′; — y digo en primer lugar que en cada uno de los intervalos parciales obtenidos al dividir (p... q) por los puntos x′ 0 , x′ 1 ,... , e.g., en (x′ 0... x′ 1 ), la funci´on F (x) es lineal [FALTA UNA FIGURA]
la necesidad que tuvo de mostrar que hay conjuntos derivados de ν-´esima especie que no son vac´ıos, para ν un n´umero entero positivo arbitrario. Hay que hablar acerca del concepto de “ley” en Cantor. Tal concepto, evidentemente, no se puede interpretar en un sentido constructivo en este autor y en esta fase de su desarrollo intelectual, porque en tal caso no podr´ıa obtener en absoluto el conjunto infinito no numerable de las sucesiones de Cauchy de n´umeros racionales. Tambi´en hay que comentar sobre el uso del concepto de “regla” en Cantor. Cantor considera el conjunto formado por, lo que hoy llamamos, las su- cesiones de Cauchy de n´umeros racionales y asocia, un´ıvocamente, a cada sucesi´on de Cauchy (aν ) un signo b, pero de manera que sucesiones de Cau- chy diferentes tienen asociados signos diferentes. Ahora bien, no parece que, en esta fase, Cantor considere que como resultado de tal asignaci´on se ob- tenga simplemente un conjunto. Lo que parece que obtiene Cantor es un conjunto, el formado por los signos b asociados a las sucesiones de Cauchy (aν ) de n´umeros racionales, llamado por ´el B, junto con una relaci´on de equi- valencia sobre tal conjunto B. Tal relaci´on de equivalencia es la que subsiste entre dos signos b y b′^ precisamente cuando las sucesiones de Cauchy (aν ) y (a′ ν ), respectivamente asociadas a ellos, son equivalentes, i.e., tales, como ´el dice, que:
“an − a′ n se hace infinitamente peque˜no a medida que n aumenta”. Previamente a esto Cantor ha puesto de manifiesto que entre dos sucesio- nes de Cauchy de n´umeros racionales (aν ) y (a′ ν ) puede subsistir una y s´olo una de las siguientes relaciones:
- Las dos sucesiones son equivalentes.
- Las dos sucesiones no son equivalentes y la diferencia aν −a′ ν , desde un cierto n en adelante, es mayor que un determinado n´umero racional estrictamente positivo.
- Las dos sucesiones no son equivalentes y la diferencia aν −a′ ν , desde un cierto n en adelante, es menor que un determinado n´umero racional estrictamente negativo.
La misma relaci´on que tiene lugar entre las dos sucesiones de Cauchy de n´umeros racionales (aν ) y (a′ ν ) tambi´en tiene lugar entre cualquier par de sucesiones equivalentes a ellas. A esto hay que a˜nadir que Cantor dice lo siguiente: “la equivalencia [igualdad] de dos magnitudes num´ericas b, b′^ to- madas del sistema B no implica su identidad, sino que expresa solamente una relaci´on determinada entre las sucesiones a las cua- les se refieren”. Dicho de otro modo, Cantor parece que necesita disponer, para poder especificar completamente a ciertos conjuntos, de un criterio adicional que le permita dilucidar cu´ando dos elementos de uno de tales conjuntos son o no esencialmente el mismo. De modo que un tal conjunto, usando la termi- nolog´ıa actual, vendr´ıa dado por un par (A, Φ) en el que A es un conjunto y Φ una relaci´on de equivalencia sobre A. Si ello fuera as´ı, entonces para que, por ejemplo, una operaci´on estuviera bien definida sobre A se deber´ıa verificar su independencia de los represen- tantes de clase elegidos para su definici´on.
Aunque sea un anacronismo, debemos se˜nalar al respecto que, en 1883, Cantor dice que la gran ventaja del m´etodo de Dedekind, respecto del suyo y el de Weierstrass, reside en que a cada n´umero b le corresponde s´olo una unica cortadura. De manera que en Dedekind la igualdad entre dos n´´ umeros coincide con la identidad, mientras que en Cantor no sucede tal cosa, y, de hecho, hay n´umeros b a los que no les corresponde una ´unica sucesi´on de Cauchy. Adem´as hay que tener tambi´en en cuenta que, en 1882, dice, hablando del concepto de conjunto, lo siguiente:
“Digo que un conjunto de elementos pertenecientes a una esfera abstracta cualquiera, est´a bien definido cuando, como consecuen- cia del principio l´ogico del tercero excluido, se le puede considerar determinado de tal manera que 1o^ siendo elegido un objeto cual- quiera perteneciente a esta esfera abstracta, se pueda considerar como intr´ınsecamente determinado si pertenece o no al sistema en cuesti´on y que 2o^ estando dados dos objetos pertenecientes al conjunto se pueda considerar como intr´ınsecamente determinado si son iguales o no, a pesar de las diferencias que puedan presentarse en la manera como est´en dados”.
Hay que hablar de la teor´ıa de los n´umeros reales que expone Heine, en un trabajo de 1872, y que reconoce ha tomado en pr´estamo de Cantor, y, sobre todo, de aqu´ellos teoremas y lemas enunciados, y demostrados, por Heine en dicho trabajo, que son necesarios para demostrar un hecho fundamental de la teor´ıa de Cantor de los n´umeros reales (cuando b es l´ımite de la sucesi´on de Cauchy (aν ) en Q, entonces b−aν se hace infinitamente peque˜no a medida que aumenta ν), que ´este ´ultimo autor no demuestra. Heine define las sucesiones de Cauchy en Q (sin mencionar, como hace Cantor, que est´en dadas mediante una ley) y distingue las que convergen a cero, a las que llama elementales. Enuncia un lema que afirma que toda sucesi´on de Cauchy en Q est´a acotada, pero ni ´el ni Cantor demuestran tal lema. Heine define la igualdad de dos sucesiones de Cauchy en Q estipulando que su diferencia sea una sucesi´on de Cauchy en Q elemental. La definici´on indicada tiene una doble finalidad, por una parte, demostrar que todas las sucesiones de Cauchy en Q elementales son iguales entre s´ı, y, rec´ıproca- mente, que ninguna sucesi´on de Cauchy en Q que no sea elemental es igual a una sucesi´on de Cauchy en Q elemental, y, por otra, definir, de manera derivada, la igualdad entre dos n´umeros reales. Dice Heine que “La justifi- caci´on de considerar como magnitudes las introducidas mediante sucesiones de Cauchy en Q la encontr´o el Sr. Cantor en el hecho de que tambi´en es posible determinar aqu´ı los conceptos de ser mayor que, ser menor que, ser igual que”. En el sistema de Cantor la identificaci´on entre el signo y la magnitud num´erica se fundamenta en la demostraci´on que proporcion´o Heine del teo- rema: Cuando b es l´ımite de la sucesi´on de Cauchy (aν ) en Q, entonces b−aν se hace infinitamente peque˜no a medida que aumenta ν. Que a su vez pre- supone los lemas siguientes: Si b > 0, entonces existe un n´umero racional a tal que 0 < a < b, y, si (aν ) es una sucesi´on de Cauchy en Q, entonces (aν ) es una sucesi´on de Cauchy en R.
la forma m´etrica, y, por otra, se puede demostrar que cualquier sistema de magnitudes que cumpla el axioma de la continuidad de Cantor bajo la for- ma ordinal es necesariamente arquimediano, estando esto ´ultimo relacionado con el hecho de usa sucesiones numerables en la definici´on de las sucesiones fundamentales relativas a los conjuntos simplemente ordenados. Por otra parte, a partir del concepto de punto de acumulaci´on de un subconjunto del conjunto de los n´umeros reales, obtiene la operaci´on de de- rivaci´on que permite asociar a cada subconjunto del conjunto de los n´umeros reales otro subconjunto del mismo: el derivado del dado; y considera leg´ıtimo la iteraci´on (un n´umero arbitrario, pero finito, de veces) de tal operador. Hay que hablar de una carta de H. A. Schwarz en la que le proporcion´o una demostraci´on de la linealidad de F. Merece la pena comentar la frase de Cantor: “En esta teor´ıa, el conjun- to de todos los sistemas de alguna especie determinada es por consiguiente considerado como un g´enero particular en el conjunto de todos los sistemas de puntos imaginables, y los sistemas de puntos que hemos llamado de ν- ´esima especie constituyen una especie particular en este g´enero.” Porque, contrariamente a alguna manifestaci´on, un tanto ambigua, de alg´un autor, Cantor s´ı considera, en este caso, el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Adem´as, en otros art´ıculos, tambi´en considera, contrarian- do, una vez m´as, alguna manifestaci´on al respecto, conjuntos formados por entidades que no son de la misma naturaleza, como: puntos, rectas, planos, etc.
J. W. Dauben: Georg Cantor ..., Chapter 2. (page 38, lines 6–7 (from top)) Instead of : “... if there exists an integer N such that for any positive, rational value of ε, ...” is: “... if for any positive rational value of ε there exists an integer N such that ...” Como es bien sabido la f´ormula: ∃x∀yϕ(x, y) → ∀y∃xϕ(x, y),
es v´alida, pero no lo es la f´ormula:
∀y∃xϕ(x, y) → ∃x∀yϕ(x, y). La condici´on definitoria del concepto de “sucesi´on fundamental” o de “Cauchy” hace uso de un fragmento inicial de la forma
∀y∃xϕ(x, y)...,
y no de la forma ∃x∀yϕ(x, y)... Es extra˜no que siendo el libro de Dauben una reimpresi´on, publicada en el a˜no 1990, del libro publicado, por primera vez, en el a˜no 1979, no se haya to- mado el Prof. Dauben la molestia de haber corregido semejante barbaridad. En cualquier Universidad a un alumno de primero de carrera que hubiera dicho tal cosa en un examen se le habr´ıa fulminado autom´aticamente, sin embargo....
J. W. Dauben: Georg Cantor ..., Chapter 2. (page 39, lines 21–22 (from top)) Instead of : “he likewise built the domain C in terms of fundamental sequences of elements from B.” is: “he likewise built the domain C in terms of fundamental sequences of elements from A or B ....”
J. W. Dauben: Georg Cantor ..., (page 319, note 22, lines 16–18 (from top)) Dice J. W. Dauben: “It should be noted that the first published mention of Cantor’s work on the irrationals referred to the fundamental sequences as elementarreihen. See Heine (1872), 173–174.” Tal cosa no es cierta, porque Heine, despu´es de definir las sucesiones fundamentales, con otra terminolog´ıa, define las sucesiones elementales que son un tipo particular de sucesiones fundamentales. Lo que dice J. W. Dauben en la nota 25 es todav´ıa peor ...
Grattan-Guinness: The search for mathematical roots ..., (page 77, lines 26–29 (from top)) Dice el Sr. Grattan-Guinness: “After his death in 1918 Cantor studies were favoured ... and a moderate edition Cantor Papers (1932) of his wri- tings on Mengenlehre prepared by Ernst Zermelo ...”. En una nota a pie de p´agina el autor citado explica su “falta de entusiasmo” respecto de la edici´on preparada por Zermelo, (esencialmente) en los siguientes t´erminos: “... Zermelo’s omission of some important footnotes from his papers...”. Adem´as, para rematar la faena, el Sr. Grattan-Guinness, en la p´agina 548 del libro antes citado, dice: “... rather sloppily [chapuceramente] prepared by Zermelo”. La cr´ıtica que el Sr. Grattan-Guinness dirige a la edici´on preparada por Zermelo es, sin duda, hasta cierto punto procedente, pero tiene guasa que el Sr. Grattan-Guinness, en sus comentarios a los trabajos de Cantor, diga cosas como las siguientes (y sin indicar las erratas).
Grattan-Guinness: The search for mathematical roots ..., (page 84): “Dra- wing on his previous concern with irrational numbers, Cantor showed a fine grasp of the requirements that such a theorem would make upon him; for he gave a definition of them [los irracionales], basically following and deve- loping that of Heine ... Taking the rational numbers (but excluding zero) ... In addition, he did not properly treat the fact that the same irrational number could be produced by different sequences of rationals ... he again followed Heine by allowing that ‘now it generates in a similar way together with the domain A a new domain C’...” Si el Sr. Grattan-Guinness hubiera le´ıdo, o, si lo hizo, hubiera entendido, lo que escribi´o Heine en 1872, no podr´ıa haber dicho en absoluto que Cantor sigui´o a Heine. Por otra parte, Cantor dice expl´ıcitamente que incluye al cero entre los racionales y distingue entre igualdad e identidad.
SOBRE UNA PROPIEDAD DEL SISTEMA DE TODOS
LOS N ´UMEROS REALES ALGEBRAICOS
POR
G. CANTOR
Halle
Traducci´on y comentarios por J. Bares y J. Climent.
(Traducci´on de una memoria publicada en el Journal de Borchardt, t. 77, p´ag. 258)
Se llama, en general, n´umero real algebraico a un n´umero real ω que es ra´ız de una ecuaci´on no id´entica de la forma (1) a 0 ωn^ + a 1 ωn−^1 +... + an = 0, donde n, a 0 , a 1 ,... , an son n´umeros enteros; podemos suponer que los n´umeros n y a 0 son positivos, que los coeficientes a 0 , a 1 ,... , an no tienen divisores comunes y que la ecuaci´on (1) es irreducible; estando hechas estas suposiciones, resulta, de los teoremas fundamentales de la aritm´etica y del ´algebra, que la ecuaci´on (1), que admite como ra´ız un n´umero real algebraico determinado, es una ecuaci´on completamente determinada; inversamente, a una ecuaci´on de la forma (1) corresponden a lo sumo tantos n´umeros reales algebraicos ra´ıces de esta ecuaci´on, como unidades hay en el grado n. Los n´umeros reales algebraicos constituyen en su conjunto un sistema de n´umeros que designaremos por (ω); seg´un resulta de consideraciones ele- mentales, este sistema (ω) es de tal naturaleza que existe una infinidad de n´umeros de (ω) cuya diferencia con un n´umero cualquiera α es menor que una cantidad dada por peque˜na que sea. Esta observaci´on hace tanto m´as sorprendente, a primera vista, la siguiente propiedad: se pueden hacer corresponder uno a uno los n´umeros del sistema (ω), a los n´umeros ν perte- necientes a la sucesi´on de los enteros positivos, sucesi´on que ser´a designada por (ν), de tal manera que a cada n´umero real algebraico ω corresponde un n´umero entero positivo determinado ν, y que, inversamente, a cada n´umero entero positivo ν corresponde un n´umero real algebraico ω completamente determinado; en otros t´erminos, se pueden imaginar los n´umeros del sistema (ω) dispuestos seg´un una cierta ley en una sucesi´on infinita (2) ω 1 , ω 2 ,... , ων ,... en la cual figuran todos los n´umeros de la categor´ıa (ω), cada uno de ellos encontr´andose en la sucesi´on (2) en un lugar determinado indicado por el ´ındice correspondiente. Una vez que se ha encontrado una ley que permi- ta disponer de este modo a los n´umeros de (ω), se deducir´an a partir de aqu´ella otras mediante modificaciones que se podr´an elegir arbitrariamente; as´ı pues, ser´a suficiente que indiquemos, tal como lo hacemos en el §1, el modo de ordenaci´on que nos parece que reposa sobre el m´ınimo n´umero de consideraciones. Para dar una aplicaci´on de esta propiedad del sistema de todos los n´ume- ros reales algebraicos a˜nado al §1 el §2, en el cual muestro que, cuando se considera como dada bajo la forma (2) una sucesi´on cualquiera de n´umeros
reales, entonces se puede determinar, en cada intervalo (α... β) dado de antemano, n´umeros η que no est´an contenidos en esta sucesi´on (2). Combi- nando las proposiciones contenidas en los §§1 y 2, se obtiene de este modo una nueva demostraci´on del siguiente teorema demostrado por primera vez por Liouville (Jour. de Math. r´ed. p. Liouville Ia^ s´erie, t. XVI, 1851): en cada intervalo (α... β) dado de antemano hay una infinidad de n´umeros trascendentes, i.e., de n´umeros que no son reales algebraicos. Adem´as el teo- rema del §2 proporciona la raz´on por la cual no se puede hacer corresponder uno a uno a los n´umeros enteros de la sucesi´on (ν) los n´umeros reales que constituyen un sistema continuo de n´umeros, i.e., por ejemplo, todos los n´umeros reales que son ≥ 0 y ≤ 1. As´ı llegu´e a encontrar de una manera neta la diferencia esencial que hay entre un sistema continuo de n´umeros y un sistema de n´umeros de la especie del que est´a formado por el conjunto de todos los n´umeros reales algebraicos.
Volvamos a la ecuaci´on (1) satisfecha por un n´umero real algebraico ω y que, seg´un las suposiciones hechas m´as arriba, es una ecuaci´on completa- mente determinada; llamemos altura del n´umero ω a la suma de los valores absolutos de los coeficientes aumentada por el n´umero n − 1, siendo n el gra- do de la ecuaci´on; designando esta altura por N y aplicando una notaci´on conocida para designar los valores absolutos de los n´umeros, se tiene, como consecuencia, que
(3) N = n − 1 + |a 0 | + |a 1 | +... + |an|.
Esta altura N es, por consiguiente, para cada n´umero real algebraico, un n´umero entero positivo determinado; inversamente, a un n´umero entero po- sitivo dado N no corresponde m´as que un n´umero limitado de n´umeros reales algebraicos que tengan como altura N ; sea ϕ(N ) este n´umero, entonces se tendr´a, por ejemplo, que ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 2, ϕ(3) = 4. Los n´umeros del sistema (ω), i.e., todos los n´umeros reales algebraicos, pueden pues ser dis- puestos en el siguiente orden: se tomar´a como primer n´umero ω 1 , el ´unico n´umero de altura N = 1; se escribir´an seguidamente por orden de magni- tudes crecientes los dos n´umeros reales algebraicos de altura N = 2 y se les designar´a por ω 2 , ω 3 ; luego, a continuaci´on y por orden de magnitu- des crecientes, se escribir´an los cuatro n´umeros reales algebraicos de altura N = 3; de una manera general, despu´es de que se hayan contado y ordenado as´ı los n´umeros de la categor´ıa (ω) hasta una altura determinada N = N 1 , se dispondr´an sigui´endolos y por orden de magnitudes crecientes los n´umeros reales algebraicos de altura N = N 1 + 1. Se obtiene as´ı el sistema de todos los n´umeros reales algebraicos bajo la forma:
ω 1 , ω 2 ,... , ων ,... ,
y se puede, refiri´endose a este ordenamiento, hablar del ν-´esimo n´umero real algebraico, sin omitir ning´un n´umero del sistema (ω).
siendo los coeficientes a 1 , a 2 ,... , an enteros que no son al mismo tiempo nulos; concibamos el sistema (Ω) de todos los n´umeros Ω que puedan ser representados mediante funciones racionales con coeficientes enteros de los n´umeros dados v 1 , v 2 ,... , vν ,... , entonces, en todo intervalo (α... β), hay una infinidad de n´umeros que no est´an incluidos en el sistema (Ω).” En efecto, se ve, con la ayuda de consideraciones an´alogas a las que han sido empleadas en el §1, que los n´umeros de la categor´ıa (Ω) pueden ser dispuestos en una sucesi´on de la forma
Ω 1 , Ω 2 ,... , Ων ,... ,
de donde resulta el teorema en cuesti´on seg´un la proposici´on demostrada en el §2. El Sr. Minnigerade ha demostrado, mediante una reducci´on a los princi- pios de Galois, un caso muy particular del teorema que acabamos de indicar, a saber, el caso en el cual los n´umeros v 1 , v 2 ,... , vν ,... est´an en n´umero finito y en la cual el grado de las funciones racionales, que sirven para for- mar los n´umeros de la categor´ıa (Ω), est´a dado de antemano. (Ver Math. Annalen de Clebsch y Neumann, T. III, p. 497.)
Berlin, 23 de Diciembre de 1873.
Comentario. Explicar la intervenci´on de Dedekind respecto de los resul- tados contenidos en este art´ıculo. Las cartas de 1873 son muy importantes, porque en ellas Dedekind, junto a una apreciaci´on incorrecta, referida a la relevancia de la existencia de una biyecci´on entre el conjunto de los n´umeros naturales y el de los reales, parece ser que le proporcion´o la demostraci´on de la existencia de una biyecci´on entre el conjunto de los n´umeros (complejos) algebraicos y el conjunto de los n´umeros naturales, que Cantor restringi´o a una entre el conjunto de los n´umeros reales algebraicos y el de los n´umeros naturales, a causa, posiblemente, de querer mantener buenas relaciones con Kronecker, rival de Dedekind en la teor´ıa algebraica de n´umeros. Concretamente, en carta del 29 de Noviembre de 1873, Cantor le plantea a Dedekind la cuesti´on de si (n), el sistema de todos los enteros positivos n, es isomorfo a (x), el sistema de todas las magnitudes num´ericas reales positivas x. Por otra parte, le dice que (n) es isomorfo al sistema (p/q) de todos los n´umeros racionales positivos p/q y tambi´en al sistema, m´as general, (an 1 ,n 2 ,...,nν ), siendo n 1 , n 2 ,... , nν ´ındices enteros positivos ilimitados, en un n´umero cualquiera ν (el sistema (an 1 ,n 2 ,...,nν ) podr´ıa interpretarse como (n)ν^ , el conjunto de las ν-uplas de n´umeros enteros positivos). Dedekind le responde que no sabe cu´al es la respuesta y que debido a que el asunto carece de inter´es pr´actico particular, no merece grandes esfuerzos. Sin embargo, Cantor, en carta del 2 de Diciembre de 1873, insiste sobre el asunto y le dice que si la respuesta fuera no, con ello se habr´ıa dado una nueva demostraci´on del teorema de Liouville sobre la existencia de n´umeros trascendentes. Ahora bien, Cantor demostr´o el teorema que establece la im- posibilidad de la existencia de un isomorfismo entre el sistema de los enteros positivos y el sistema de los n´umeros reales del intervalo ]0, 1[, teorema que tiene como corolario la existencia de n´umeros trascendentes, y se lo comu- nic´o por carta, el 7 de Diciembre de 1873, a Dedekind, qui´en reconoci´o, en sus notas, que, en virtud del corolario del mencionado teorema, su opini´on
acerca de si el sistema de todos los enteros positivos es isomorfo al sistema de todas las magnitudes num´ericas reales positivas, hab´ıa quedado refutada de manera flagrante. Adem´as, Dedekind, en su respuesta a la carta de Can- tor del 29 de Noviembre de 1873, tambi´en le proporciona una demostraci´on de que (n) es isomorfo al cuerpo de todos los n´umeros algebraicos y, a este respecto, Cantor se˜nala que la demostraci´on de Dedekind es m´as o menos la misma mediante la cual ´el establece su afirmaci´on de que (n) es isomorfo a (n)ν^ , considerando N = n^21 + n^22 +... + n^2 ν y ordenando seg´un ello a los elementos. Por ´ultimo, en la misma carta, Cantor coincide con Dedekind en que el problema (de si (n) es isomorfo a (x)) es equivalente al de si (n) lo es al sistema (an 1 ,n 2 ,...), siendo n 1 , n 2 ,... , ´ındices enteros positivos ilimitados, en n´umero infinito (el sistema (an 1 ,n 2 ,...) podr´ıa interpretarse como (n)(n), el conjunto de las sucesiones, indexadas por los enteros positivos, de n´umeros enteros positivos). Respecto de la demostraci´on del teorema seg´un el cual ning´un intervalo, no degenerado, del conjunto de los n´umeros reales es isomorfo a un conjunto infinito numerable, que es el resultado fundamental del art´ıculo que nos ocupa, Cantor proporcion´o a Dedekind, el 7 de Diciembre de 1873, una demostraci´on rigurosa del mismo, pero referida al intervalo ]0, 1[, usando un m´etodo muy complicado, seg´un declaraci´on del propio Dedekind, y mediante una reducci´on al absurdo. De hecho Dedekind le respondi´o felicit´andolo por el hallazgo y, al mismo tiempo, aportando una simplificaci´on de la parte esencial de la demostraci´on del teorema de Cantor. Simplificaci´on que, seg´un dice Dedekind en sus notas, es la que Cantor da en su art´ıculo de 1874, sin citar a Dedekind, y evitando hablar, como le hab´ıa dicho Dedekind, del “principio de continuidad”. Tal vez la falta de reconocimiento expl´ıcito por parte de Cantor a las aportaciones que Dedekind hizo a su trabajo, fue lo que hizo que empezara a colmarse el vaso de la paciencia y comprensi´on de Dedekind para con Cantor. La demostraci´on que le comunic´o Cantor a Dedekind, el 7 de Diciembre de 1873, fue la siguiente. En primer lugar supone que se pueden disponer todos los n´umeros ω del intervalo abierto ]0, 1[ en una sucesi´on (ωn)n∈(n):
ω 1 , ω 2 , ω 3 ,... , ωn,...
Antes de proseguir conviene tener presente que dado cualquier n ∈ (n) siempre existe un u ∈ (n) tal que n < u y ωn < ωu y un v ∈ (n) tal que n < v y ωn > ωv. A partir de (ωn)n∈(n) Cantor procede a definir una familia numerable de sucesiones
((ωqp)q∈(n))p∈(n),
como sigue. Para p = 1, la sucesi´on (ωq 1 )q∈(n) tiene como primer t´ermino ω^11 precisamente a ω 1 , el primer t´ermino de la sucesi´on (ωn)n∈(n), entonces ω^21 es el primer t´ermino de (ωn)n∈(n) que es mayor que ω 1 , y as´ı sucesivamente. Para p = 2, la sucesi´on (ωq 2 )q∈(n) se obtiene a partir de los t´erminos que quedan de la sucesi´on (ωn)n∈(n) cuando de ella se eliminan los t´erminos de la sucesi´on (ωq 1 )q∈(n), situaci´on que podemos representar por:
(ωn)n∈(n) − (ωq 1 )q∈(n),
