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ALGEBRAS BOOLEANAS Y L ´OGICA PROPOSICIONAL.
ALGEBRAS DE HALMOS Y L ´OGICA DE PREDICADOS.
J. CLIMENT VIDAL
Resumen. Estudiamos las ´algebras Booleanas y la dualidad de Stone, que establece una relaci´on (contravariante) entre las primeras y cierto tipo de espacios topol´ogicos. A continuaci´on, nos ocupamos del estudio de la l´ogica proposicional, demostrando el teorema de completud para el mismo, i.e., que las relaciones de consecuencia sint´actica y sem´antica coinciden. Adem´as, de- mostramos el teorema de deducci´on de Herbrand-Tarski, definimos la noci´on de dualidad en la l´ogica proposicional, demostramos los teoremas de la forma normal conjuntiva y disyuntiva, el teorema de interpolaci´on, la completud fun- cional del ´algebra Booleana 2 y la equivalencia entre una categor´ıa cociente de la categor´ıa de preteor´ıas proposicionales y la de las ´algebras Booleanas. Siguiendo a Halmos, mostramos que la teor´ıa de los silogismos Aristot´elicos se puede explicar desde la teor´ıa de las ´algebras mon´adicas de Halmos, que son ´algebras Booleanas junto con un operador. Seguimos con el estudio de las nociones imprescindibles del ´algebra univer- sal, para poder definir correctamente los t´erminos y las f´ormulas de la l´ogica de predicados de primer orden con igualdad. Entonces definimos la relaci´on de satisfacci´on entre sistemas algebraicos, f´ormulas y valoraciones, establecemos las nociones de modelo de un conjunto de f´ormulas y de teor´ıa de un conjun- to de sistemas algebraicos; a continuaci´on, exponemos la conexi´on de Galois contravariante (inducida por la relaci´on de satisfacci´on) entre los ret´ıculos com- pletos de los sistemas algebraicos (de una signatura dada) y de las f´ormulas, definimos y estudiamos los conceptos de encajamiento elemental y equivalen- cia elemental, y, previa presentaci´on de un sistema deductivo, demostramos el teorema de completud de G¨odel-Mal’cev, que afirma la identidad entre la relaci´on de consecuencia sint´actica y la relaci´on de consecuencia sem´antica.
´Indice
- Introducci´on. 2
- Algebras Booleanas. 3 2.1. Algebras Booleanas y homomorfismos. 3 2.2. Anillos Booleanos y homomorfismos. 9 2.3. Sub´algebras Booleanas. 13 2.4. Congruencias, ideales y filtros en las ´algebras Booleanas. 18 2.5. Productos de ´algebras Booleanas. 26 2.6. Igualadores de los homomorfismos de ´algebras Booleanas. 33 2.7. Algebras Booleanas proyectivas e inyectivas.´ 35 2.8. La dualidad de Stone. 40
- L´ogica proposicional cl´asica. 47 3.1. La equivalencia de Lindenbaum-Tarski. 61
- La teor´ıa del silogismo. 65
- Teor´ıa de modelos. 66 5.1. Signaturas y ´algebras. 68 5.2. Sub´algebras. 74
Date: 15 de febrero de 2005. 1991 Mathematics Subject Classification. Primary: ; Secondary: 1
2 JUAN CLIMENT
5.3. Congruencias. 85 5.4. Extensi´on de una signatura por un conjunto. 91 5.5. Existencia del ´algebra libre sobre un conjunto. 92 5.6. Algebras de Dedekind-Peano. 103 5.7. Operaciones polin´omicas. 104 5.8. Signaturas de primer orden y sistemas algebraicos. 113 5.9. Homomorfismos de sistemas algebraicos. 113 5.10. Subsistemas algebraicos. 117 5.11. Congruencias sobre los sistemas algebraicos. 120 5.12. Lenguajes de primer orden. 124 5.13. El concepto de verdad de Tarski. 127 5.14. Extensiones y equivalencias elementales 133
- Completud. 145 Referencias 147
- Introducci´on. En la primera secci´on estudiamos las ´algebras Booleanas y los homomorfismos entre ellas, as´ı como la equivalencia de esos conceptos con los de anillo Booleano y homomorfismo entre anillos Booleanos. Adem´as, definimos las nociones de sub´alge- bra Booleana, congruencia sobre un ´algebra Booleana, etc., t´ıpicas de otras es- tructuras algebraicas. Tambi´en demostramos los teoremas de Krull-Tarski, sobre la existencia de ideales o filtros maximales en las ´algebras Booleanas no finales, el teorema de representaci´on de Stone, la existencia de ´algebras Booleanas libres, el teorema de dualidad de Stone, que establece una antiequivalencia entre la cate- gor´ıa algebraica de las ´algebras Booleanas y la categor´ıa topol´ogica de los espacios Booleanos, y la existencia de compleciones de ´algebras Booleanas. En la segunda secci´on nos ocupamos del estudio de la l´ogica proposicional. Para ello definimos el conjunto de las f´ormulas proposicionales relativas a un lenguaje proposicional, como el conjunto subyacente de un ´algebra libre sobre un conjunto de variables proposicionales. Ello nos permitir´a obtener un principio de demostra- ci´on por inducci´on algebraica sobre las f´ormulas proposicionales y un principio de definici´on por recursi´on algebraica sobre las mismas. A continuaci´on definimos la noci´on de c´alculo proposicional cl´asico, a partir de la cual obtenemos el operador de consecuencia sint´actica del que demostraremos que es un operador de clausura algebraico substitucional y una vez definida la noci´on de valoraci´on y de modelo de un conjunto de f´ormulas proposicionales, definimos la noci´on de consecuencia sem´antica entre conjuntos de f´ormulas y f´ormulas y demostramos que las relaciones de consecuencia sint´actica y sem´antica coinciden. Adem´as, demostramos el teorema de deducci´on de Herbrand-Tarski, definimos la noci´on de dualidad en la l´ogica pro- posicional, demostramos los teoremas de la forma normal conjuntiva y disyuntiva, el teorema de interpolaci´on, la completud funcional del ´algebra Booleana 2 y la equi- valencia entre una categor´ıa cociente de la categor´ıa de preteor´ıas proposicionales y la de las ´algebras Booleanas. En la tercera secci´on, siguiendo a Halmos, mostramos que la teor´ıa de los silo- gismos Aristot´elicos se puede explicar desde la teor´ıa de las ´algebras mon´adicas de Halmos. En la cuarta secci´on definimos el concepto de ´algebra, que ser´a un conjunto acompa˜nado de operaciones internas, y de homomorfismo, que ser´a una aplicaci´on entre los conjuntos subyacentes de las ´algebras que respete las operaciones de las mismas. Tambi´en definimos las nociones de sub´algebra de un ´algebra, las ´algebras
4 JUAN CLIMENT
Ejemplo. Para cada conjunto A, Sub(A) = (Sub(A), ∪, ∩, {A, ∅, A) es un ´algebra Booleana. En particular, para A = 1, Sub(1), denotado por 2 , es un ´algebra Boo- leana y para A = ∅, Sub(∅), denotado por 1 , tambi´en es un ´algebra Booleana, a la que denominamos el ´algebra Booleana final.
Mas adelante demostraremos que el ´algebra Booleana 2 es un ´algebra Booleana inicial, un coseparador y que, sobre todo, es un objeto esquizofr´enico, i.e., que est´a dotado de una doble personalidad, topol´ogica y algebraica, que conmutan entre s´ı, en el sentido de que las operaciones Booleanas son continuas.
Ejemplo. Sea A un conjunto. Entonces el conjunto de las partes de A finitas o cofinitas, i.e., el conjunto
{ X ⊆ A | card(X) < ℵ 0 ∨ card(A − X) < ℵ 0 },
junto con ∪, ∩, {A, ∅ y A es un ´algebra Booleana, a la que denotamos por FC(A).
Sea m un cardinal transfinito. Demu´estrese que existe un ´algebra Booleana A tal que card(A) = m.
Ejemplo. Sea R un anillo y Z(R) el centro del mismo, i.e., el conjunto { x ∈ R | ∀y ∈ R (xy = yx) }. Entonces el conjunto B(R) = { e ∈ Z(R) | e^2 = e }, formado por los centrales idempotentes de R, junto con las operaciones ∨, ∧ y ¬, definidas, para cada e, f ∈ B(R), como:
- e ∨ f = e + f − ef.
- e ∧ f = ef.
- ¬e = 1 − e.
el neutro aditivo, 0, y el neutro multiplicativo, 1, del anillo R, constituyen un ´algebra Booleana.
Definici´on 2.2. Sea A un ´algebra Booleana. Entonces ≤A, o simplemente ≤, es la relaci´on binaria en A definida como:
≤A= { (x, y) ∈ A^2 | x ∧ y = x }. Sea A un ´algebra Booleana. Demu´estrese que x ≤ y si y s´olo si x ∨ y = y.
Proposici´on 2.3. Sea A un ´algebra Booleana y x, y, z ∈ A. Entonces:
- x ≤ x, i.e., la relaci´on ≤ es reflexiva.
- Si x ≤ y e y ≤ x, entonces x = y, i.e., la relaci´on ≤ es antisim´etrica.
- Si x ≤ y e y ≤ z, entonces x ≤ z, i.e., la relaci´on ≤ es transitiva.
- x ∨ 0 = x, i.e., 0 es neutro para ∨.
- x ∧ 1 = x, i.e., 1 es neutro para ∧.
- x ≤ y si y s´olo si x ∧ ¬y = 0.
- x = ¬y si y s´olo si x ∧ y = 0 y x ∨ y = 1.
- ¬¬x = x ( Ley de la doble negaci´on).
- ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y ( Ley de De Morgan).
- ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y ( Ley de De Morgan).
- 0 ≤ x y x ≤ 1.
- x ≤ z e y ≤ z si y s´olo si x ∨ y ≤ z.
- z ≤ x y z ≤ y si y s´olo si z ≤ x ∧ y.
Demostraci´on. §
Definici´on 2.4. Sea A es un ´algebra Booleana y x, y ∈ A. Entonces la diferencia de x e y, denotada por x − y, es x ∧ ¬y, la diferencia sim´etrica de x e y, denotada por x ⊕ y, es (x − y) ∨ (y − x) y el exponencial de x e y, denotado por x ⇒ y, es ¬x ∨ y.
L OGICA MATEM ´ ´ATICA 5
En la proposici´on que sigue establecemos la generalizaci´on, a familias finitas, de las leyes de De Morgan.
Proposici´on 2.5. Sea A un ´algebra Booleana. Entonces dado un x ∈ A, un n´umero natural n y una familia (xk | k ∈ n + 1) ∈ An+1, se cumple que:
- x −
k∈n+1 xk^ = ´ınfk∈n+1^ x^ −^ xk^ y^ ¬(
k∈n+1 xk) = ´ınfk∈n+1^ ¬xk.
- x − ´ınfk∈n+1 xk =
k∈n+1 x^ −^ xk^ y^ ¬(´ınfk∈n+1^ xk) =^
k∈n+1 ¬xk.
Demostraci´on. §
Ahora establecemos la generalizaci´on, a familias finitas, de las leyes distributivas.
Proposici´on 2.6. Sea A un ´algebra Booleana. Entonces dado un n´umero natural n, una familia (rk | k ∈ n + 1) ∈ Nn+1^ y una familia (xk,i | (k, i) ∈
k∈n+1{k} × (rk + 1)) en A y siendo K =
k∈n+1(rk^ + 1), se cumple que:
- ´ınfk∈n+
i∈rk +1 xk,i^ =^
f ∈K ´ınfk∈n+1^ xk,f^ (k).
k∈n+1 ´ınfi∈rk^ +1^ xk,i^ = ´ınff^ ∈K
k∈n+1 xk,f^ (k).
Demostraci´on. §
Una vez definido el concepto de ´algebra Booleana, definimos los homomorfis- mos entre las mismas, la composici´on de los homomorfismos y establecemos las propiedades b´asicas de la composici´on.
Definici´on 2.7. Sean A y B dos ´algebras Booleanas. Un homomorfismo de ´algebras Booleanas de A en B es un triplo ordenado (A, f, B), abreviado como f y denotado por f : A //B, en el que f es una aplicaci´on de A en B, tal que, para cada x, y ∈ A:
f (x ∨ y) = f (x) ∨ f (y). f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y). f (¬x) = ¬f (x). f (0) = 0. f (1) = 1.
A los homomorfismos de un ´algebra Booleana en s´ı misma los denominamos endo- morfismos.
Sean A y B dos ´algebras Booleanas. Demu´estrese que una aplicaci´on f : A //B es un homomorfismo de A en B precisamente si, para cada x, y ∈ A:
f (x ∨ y) = f (x) ∨ f (y). f (¬x) = ¬f (x).
Proposici´on 2.8. Si A = (A, ∨, ∧, ¬, 0 , 1) es un ´algebra Booleana, entonces Aop^ = (A, ∧, ∨, ¬, 1 , 0) es un ´algebra Booleana, el ´algebra Booleana dual de A.
Demostraci´on. §
Definici´on 2.9. Sean A y B dos ´algebras Booleanas. Un antihomomorfismo de ´algebras Booleanas de A en B es un triplo ordenado (A, f, B), abreviado como f y denotado por f : A //B, en el que f es una aplicaci´on de A en B, tal que, para
L OGICA MATEM ´ ´ATICA 7
conmuta, siendo n = 2, si F = ∨ o F = ∧, n = 1, si F = ¬ y n = 0, si F = 0 o F = 1.
- Puesto que, para cada n ∈ N, gn^ ◦ f n^ = (g ◦ f )n, y, por hip´otesis, para F ∈ { ∨, ∧, ¬, 0 , 1 }, los diagramas:
An^
f n^ //
F
Bn
F ≤ ≤ A f
B
y (^) Bn^
gn^ //
F
Cn
F ≤ ≤ B (^) g //C
conmutan, entonces tambi´en conmuta el diagrama:
An^
(g ◦ f )n^ //
F
Cn
F ≤ ≤ A g ◦ f
C
luego g ◦ f : A //C es un homomorfismo. §
Por cumplir las ´algebras Booleanas junto con los homomorfismos entre ellas las propiedades establecidas en la proposici´on anterior, podemos afirmar que constitu- yen una categor´ıa, concepto que definimos a continuaci´on.
Definici´on 2.12. Una categor´ıa C consta de los siguientes datos:
- Un conjunto Ob(C) de objetos, A, B,....
- Un conjunto Mor(C) de morfismos f , g,....
- Una aplicaci´on d 0 : Mor(C) //Ob(C) que a cada morfismo f ∈ Mor(C) le asigna el objeto d 0 (f ), al que denominamos el dominio de f.
- Una aplicaci´on d 1 : Mor(C) //Ob(C) que a cada morfismo f ∈ Mor(C) le asigna el objeto d 1 (f ), al que denominamos el codominio de f.
- Una aplicaci´on id : Ob(C) //Mor(C) que a cada objeto A ∈ Ob(C) le asigna el morfismo idA, al que denominamos el morfismo identidad de x.
- Siendo Mor(C)
Ob(C) Mor(C) el conjunto definido como:
Mor(C)
Ob(C)Mor(C) =^ {^ (f, g)^ ∈^ Mor(C)
(^2) | d 0 (f ) = d 1 (g) },
una aplicaci´on ◦ : Mor(C)
Ob(C) Mor(C)^ //Mor(C), que a cada par (f, g)^ ∈ Mor(C)
Ob(C) Mor(C) le asigna el morfismo^ f^ ◦^ g, al que denominamos la composici´on de f y g.
Si A, B ∈ Ob(C), entonces HomC(A, B) es el conjunto de los morfismos de C cuyo dominio es A y cuyo codominio es B, i.e., el conjunto definido como:
HomC(A, B) = { f ∈ Mor(C | d 0 (f ) = A & d 1 (f ) = B }.
Convenimos que f : A //B es sin´onimo de f ∈ HomC(A, B). Estando estos datos sujetos a cumplir las siguientes condiciones:
- Para cada A ∈ Ob(C), d 0 (idA) = A y d 1 (idA) = A.
- Para cada par (f, g) ∈ Mor(C)
Ob(C) Mor(C), d^0 (f^ ◦^ g) = d^0 (g) y d^1 (f^ ◦ g) = d 1 (f ).
8 JUAN CLIMENT
- Si f : A //B, g : B //C y h : C //D son tres morfismos, entonces h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f , i.e., el diagrama:
A
f (^) //
g ◦ f % %
KK
KKK
KKK
KKK
KK
KK
h ◦ (g ◦ f )
(h ◦ g) ◦ f
B
g ≤ ≤
h ◦ g
K K % %
KKK
KKK
KKK
KKK
K
C
h
D
conmuta.
- Si f : A //B, entonces f ◦ idA = f y idB ◦ f = f , i.e., los diagramas:
A
idA (^) //
f " "
DDDD
DD
DD
DD
DD A
f ≤ ≤ B
y (^) A
f (^) //
f " "
DDDD
DD
DD
DD
DD B
idB ≤ ≤ B conmutan. En algunas ocasiones, para abreviar, denotaremos el conjunto de los objetos de una categor´ıa C, simplemente por C, y si A, B ∈ C, i.e., si A, B ∈ Ob(C), entonces denotaremos por Hom(A, B) o por C(A, B) el conjunto HomC(A, B) de los morfismos de A en B.
En lo que sigue, salvo indicaci´on expresa de lo contrario, suponemos elegido un universo de Grothendieck U.
Corolario 2.13. Las ´algebras Booleanas A tales que A ∈ U, junto con los homo- morfismos entre ellas constituyen una categor´ıa, a la que denotamos por Bool.
Definici´on 2.14. Sea C una categor´ıa y f : A //B un morfismo de C. Decimos que
- El morfismo f : A //B es un monomorfismo si, para cada objeto X de C y cualesquiera morfismos g, h : X //A, si el diagrama
X
g (^) //
h
f ◦ g
f ◦ h
A ; ;
f (^) // B
conmuta, entonces g = h, i.e., si cuando f ◦ g = f ◦ h, entonces g = h; es por ello que a este tipo de morfismos tambi´en se los denomina simplifica- bles a la izquierda. Denotamos al conjunto de los monomorfismos de A en B por Mono(A, B). Convenimos entonces que f : A _¬^ //B significa que el morfismo f : A _¬^ //B es un monomorfismo.
10 JUAN CLIMENT
x, y ∈ A:
f (x + y) = f (x) + f (y). f (x · y) = f (x) · f (y). f (−x) = −f (x). f (0) = 0. f (1) = 1.
A los homomorfismos de un anillo Booleano en s´ı mismo los denominamos endo- morfismos.
Proposici´on 2.19. Sean f : A //B, g : B //C y h : C //D tres homomor- fismos de anillos Booleanos. Entonces:
- Siendo idA = (A, idA, A), se cumple que idA : A //A, el homomorfismo identidad de A, es un endomorfismo de A.
- Siendo g◦f = (A, g◦f, C), se cumple que g◦f : A //C, el homomorfismo composici´on de f y g, es un homomorfismo de A en C.
- (Asociatividad). El diagrama:
A
f (^) //
g ◦ f % %
KKK
KKK
KKK
KKK
KKK
h ◦ (g ◦ f )
(h ◦ g) ◦ f
B
g ≤ ≤
h ◦ g
K K % %
KKK
KKK
KKK
KKK
K
C
h
D
conmuta.
- (Neutros). Los diagramas:
A
idA (^) //
f " "
EEEE
EE
EE
EE
EE A
f ≤ ≤ B
y (^) A
f (^) //
f " "
EEEE
EE
EE
EE
EE B
idB ≤ ≤ B conmutan.
Corolario 2.20. Los anillos Booleanos A tales que A ∈ U, junto con los homo- morfismos entre ellos constituyen una categor´ıa, a la que denotamos por BRng
Para establecer el teorema de Stone relativo a la coincidencia de los conceptos de ´algebra Booleana y anillo Booleano, definimos las nociones de functor (covariante) de una categor´ıa en otra, categor´ıa concreta e isomorfismo concreto entre categor´ıas concretas.
Definici´on 2.21. Dadas dos categor´ıas C, D, un functor de C en D es un triplo F = (C, (F 0 , F 1 ), D), denotado por F : C //D, en el que F 0 es una aplicaci´on de Ob(C) en Ob(D), F 1 una aplicaci´on de Mor(C) to Mor(D), y que cumple las siguientes condiciones:
L OGICA MATEM ´ ´ATICA 11
- Los diagramas:
Mor(C)
d 0 ≤ ≤
F 1 //
Mor(D)
d 0 ≤ ≤ Ob(C) F 0
Ob(D)
y Mor(C)
d 1 ≤ ≤
F 1 //
Mor(D)
d 1 ≤ ≤ Ob(C) F 0
Ob(D)
conmutan.
- El diagrama:
Ob(C)
id ≤ ≤
F 0 //
Ob(D)
id ≤ ≤ Mor(C) F 1
Mor(D)
conmuta.
- El diagrama:
Mor(C)
Ob(C) Mor(C)
◦ ≤ ≤
F 12 //
Mor(D)
Ob(D) Mor(D)
◦ ≤ ≤ Mor(C) F 1
Mor(D)
conmuta. De ahora en adelante, para un functor F : C //D, convenimos en denotar mediante el mismo s´ımbolo F a las dos aplicaciones F 0 y F 1.
Proposici´on 2.22. Sean F : A //B, G : B //C y H : C //D tres functores. Entonces:
- Siendo IdA = (A, (idOb(A), idMor(A)), A), se cumple que IdA : A //A, el functor identidad de A, es un endofunctor de A.
- Siendo G ◦ F = (A, (G 0 ◦ F 0 , G 1 ◦ F 1 ), C), se cumple que G ◦ F : A //C, el functor composici´on de F y G, es un functor de A en C.
- (Asociatividad). El diagrama:
A
F //
G ◦ F
MMM
MMM
MMM
MMM
MMM
MM
H ◦ (G ◦ F )
(H ◦ G) ◦ F
B
G
H ◦ G
M M & &
MMM
MMM
MMM
MMM
MMM
C
H
D
conmuta.
L OGICA MATEM ´ ´ATICA 13
2.3. Sub´algebras Booleanas.
Definici´on 2.27. Sean A y B dos ´algebras Booleanas y X un subconjunto de A.
- Decimos que X es un cerrado de A si, para cada x, y ∈ X, x ∨ y, x ∧ y y ¬x ∈ X, y, adem´as, 0, 1 ∈ X. Al conjunto de los cerrados de A lo denotamos por Cl(A).
- Decimos que B es una sub´algebra Booleana de A, y lo denotamos por B ≤ A, si B ⊆ A y si la inclusi´on can´onica, inB = (B, inB , A), de B en A es un homomorfismo de B en A. Si adem´as B 6 = A, decimos que B es una sub´algebra Booleana estricta de A. Denotamos por Sub(A) el conjunto de las sub´algebras Booleanas de A. Demu´estrese que una condici´on necesaria y suficiente para que una parte no vac´ıa X de un ´algebra Booleana A sea un cerrado de A es que para cada x, y ∈ X, x ∨ y y ¬x ∈ X o que x ∧ y y ¬x ∈ X.
Proposici´on 2.28. Sea A un ´algebra Booleana. Entonces existe una biyecci´on, natural, entre el conjunto Cl(A), de los cerrados de A y el conjunto Sub(A), de las sub´algebras Booleanas de A. Adem´as, esa biyecci´on se extiende hasta un iso- morfismo, cuando los conjuntos Cl(A) y Sub(A) se consideran ordenados por la inclusi´on.
Demostraci´on. En efecto, la aplicaci´on de Cl(A) en Sub(A) que a un cerrado X de A le asigna la sub´algebra Booleana X = (X, ∨πX, ∧πX, ¬πX, 0 , 1) de A es una biyecci´on entre ambos conjuntos. §
Proposici´on 2.29. Sea A un ´algebra Booleana y X un cerrado de A. Entonces hay un ´algebra Booleana X, la sub´algebra Booleana de A asociada a X, y un homomorfismo inyectivo inX : X //A, la inclusi´on can´onica de X en A, tal que:
- Im(inX) = X.
- (Propiedad universal) Para cada homomorfismo f : B //A, si Im(f ) ⊆ X, entonces existe un ´unico homomorfismo g de B en X tal que el diagra- ma: B
f ≤ ≤
g
| | yy yy yyy
yy yy y
X
inX
A
conmuta.
Demostraci´on. §
Proposici´on 2.30. Si f : A //B, entonces Im(f ) es un cerrado de B.
Demostraci´on. §
Haciendo uso de las dos proposiciones anteriores obtenemos la factorizaci´on de un homomorfismo a trav´es de su imagen.
Proposici´on 2.31 (Noether). Sea f : A //B un homomorfismo. Entonces hay un ´unico homomorfismo sobreyectivo f s, el sobreyectivizado de f , de A en Im(f ) tal que el diagrama
A
f s ©H #^ #
HH
HHH
HH
HH
HH
f (^) // B
Im(f )
_¬
inIm(f )
O O
14 JUAN CLIMENT
conmuta. Esta es la factorizaci´on a trav´es de la imagen de un homomorfismo de ´algebras Booleanas. Adem´as, si f es inyectivo, entonces f s^ es inyectivo, luego bi- yectivo. Por otra parte, se cumple que para cada ´algebra Booleana C, cualquier homomor- fismo g : A //C y cualquier homomorfismo inyectivo h : C _¬^ //B, si el diagrama
A
g " "
EE
EE
EE
EE
EE
EE
f (^) // B
C
_¬
h
O O
conmuta, entonces existe un ´unico monomorfismo t : Im(f ) _¬^ //C tal que el dia- grama
A
f s
u^5 Ω^ Ω
f (^) //
g
I $ $
II
III
II
II
II I
B
C
v^6
h
v^ v^ :^ : vvv vv vvv vvv
Im(f )
I™
inIm(f )
™^ D^ D
_¬ ™
t
O O
conmuta. De modo que Im(f ) es, esencialmente, la m´ınima sub´algebra de B a trav´es del cual factoriza f.
Proposici´on 2.32. Sea f un homomorfismo inyectivo de A en B, g un homomor- fismo de D en B y h un homomorfismo inyectivo de C en D. Entonces:
- Una condici´on necesaria y suficiente para que exista un homomorfismo t de C en A tal que el diagrama
C _¬
h ≤ ≤
t (^) // A _¬
f ≤ ≤ D (^) g //B
conmute, es que Im(g ◦ h) ⊆ Im(f ).
- Si A ≤ B y C ≤ D, entonces una condici´on necesaria y suficiente para que exista un homomorfismo t de C en A tal que el diagrama
C _¬
inC ≤ ≤
t (^) // A _¬
inA ≤ ≤ D (^) g //B
conmute, es que g[C] ⊆ A. Adem´as, tanto en el primero como en el segundo caso t est´a un´ıvocamente de- terminado y recibe el nombre de birrestricci´on de g a C y A.
Demostraci´on. §
16 JUAN CLIMENT
- Si X ⊆ A, entonces denotamos por (En A(X) | n ∈ N) la familia en Sub(A) definida por recursi´on como:
E^0 A(X) = X, En A+1 (X) = EA(En A(X)), n ≥ 0.
Adem´as, convenimos que:
Eω A(X) =
n∈N E
n A(X). Proposici´on 2.37. Si A es un ´algebra Booleana y X ⊆ A, entonces SgA(X) = Eω A(X).
Demostraci´on. §
Proposici´on 2.38. Sea A es un ´algebra Booleana y X ⊆ A. Entonces:
- Si X = ∅, SgA(X) = { 0 , 1 }.
- Si X 6 = ∅, entonces, conviniendo que, para x ∈ A, x^1 = x y x−^1 = ¬x, tenemos que
SgA(X) =
k∈n+ ´ınf i∈rk + x≤ k,ik,i
n ∈ N, ∀k ∈ n + 1 (rk ∈ N) ∀k ∈ n + 1 ∀i ∈ rk + 1 (xk,i ∈ X & ≤k,i ∈ { − 1 , 1 })
Demostraci´on. §
Sea A es un ´algebra Booleana y X ⊆ A. Demu´estrese que si X 6 = ∅, entonces
SgA(X) =
´ınf k∈n+
i∈rk + x ≤k,i k,i
n ∈ N, ∀k ∈ n + 1 (rk ∈ N) ∀k ∈ n + 1 ∀i ∈ rk + 1 (xk,i ∈ X & ≤k,i ∈ { − 1 , 1 })
Demu´estrese que en el ´algebra Booleana Sub(A), la sub´algebra generada por { {a} | a ∈ A } tiene como conjunto subyacente el conjunto
{ X ⊆ A | card(X) < ℵ 0 ∨ card(A − X) < ℵ 0 },
i.e., el conjunto de las partes de A finitas o cofinitas.
Proposici´on 2.39. Sea A un ´algebra Booleana, X un cerrado de A e Y ⊆ A. Entonces hay un cerrado Z de A tal que X ⊆ Z y Z ∩ Y = X ∩ Y y Z es maximal con dichas propiedades.
Demostraci´on. §
Definici´on 2.40. Sea A es un ´algebra Booleana y X ⊆ A. Decimos que X es un conjunto de generadores de A, o que X genera A, si SgA(X) = A y que es un conjunto de generadores minimal de A si es un conjunto de generadores y si ning´un subconjunto estricto de X genera A. Adem´as, decimos que A est´a finitamente generada, o que es de generaci´on finita, si hay un subconjunto X de A tal que card X < ℵ 0 y X genera A.
Teorema 2.41 (Sikorski). Sea A es un ´algebra Booleana que est´e generada por un conjunto no vac´ıo X, B un ´algebra Booleana y f : X //B tal que, para cada n ∈ N, cada (xk | k ∈ n + 1) ∈ Xn+1^ y cada (≤k | k ∈ n + 1) ∈ { − 1 , 1 }n+1, si ´ınfk∈n+1 x≤ kk = 0, entonces ´ınfk∈n+1 f (xk)≤k^ = 0. Entonces hay a un ´unico homo- morfismo g : A //B tal que gπX = f.
Demostraci´on. §
L OGICA MATEM ´ ´ATICA 17
Teorema 2.42 (Sikorski). Sean A y B dos ´algebras Booleanas que est´en generadas, resp., por los conjuntos no vac´ıos X e Y y sea f : X //Y un isomorfismo tal que, para cada n ∈ N, cada (xk | k ∈ n+1) ∈ Xn+1^ y cada (≤k | k ∈ n+1) ∈ { − 1 , 1 }n+1, ´ınfk∈n+1 x≤ kk = 0, precisamente si ´ınfk∈n+1 f (xk)≤k^ = 0. Entonces hay a un ´unico isomorfismo g : A //B tal que la birrestricci´on de g a X e Y es f. Demostraci´on. § Proposici´on 2.43. Si A es un ´algebra Booleana finitamente generada, entonces cualquier conjunto de generadores de A contiene un subconjunto finito que tambi´en genera A. Adem´as, A tiene un conjunto de generadores minimal. Demostraci´on. § Proposici´on 2.44. Sea A un ´algebra Booleana y X un conjunto de generadores minimal de A. Si X es infinito, entonces cualquier conjunto de generadores de A es tal que su cardinal es al menos el cardinal de X. En particular, A no puede ser un ´algebra Booleana finitamente generada y dos conjuntos de generadores minimales cualesquiera de A tienen el mismo cardinal. Demu´estrese que si A es un ´algebra Booleana que est´a generada por un con- junto infinito numerable, entonces cualquier conjunto infinito de generadores de A contiene un subconjunto infinito numerable que tambi´en genera A. Proposici´on 2.45. Si A es un ´algebra Booleana, entonces una condici´on necesaria y suficiente para que toda ω-cadena ascendente de sub´algebras Booleanas de A sea estacionaria es que toda sub´algebra Booleana de A est´e finitamente generada. Demostraci´on. § Proposici´on 2.46. Si A es un ´algebra Booleana que est´a finitamente generada e Y es una sub´algebra Booleana de A tal que Y 6 = A, entonces hay una sub´algebra de A distinta de A que contiene a Y y es maximal con esas propiedades. Demostraci´on. § Proposici´on 2.47. Sean f, g : A //B dos homomorfismos y X un subconjunto de A. Si f y g coinciden en X, entonces tambi´en coinciden en SgA(X). Demostraci´on. § Proposici´on 2.48. Sea f una aplicaci´on de un subconjunto X de un ´algebra Boo- leana A en el conjunto subyacente de otra ´algebra Booleana B. Entonces hay a lo sumo una extensi´on g de f que sea un homomorfismo de SgA(X) en B. Demostraci´on. § Corolario 2.49. Sean f, g : A //B dos homomorfismos y X un subconjunto de A tal que SgA(X) = A. Si f y g coinciden en X, entonces f = g. Demostraci´on. § Sean A y B dos ´algebras Booleanas. Demu´estrese que hay a lo sumo un homo- morfismo de SgA(∅) en B. Adem´as, si tal homomorfismo existe, demu´estrese que tiene como imagen la sub´algebra de B generada por ∅. Proposici´on 2.50. Sea f una biyecci´on de un conjunto de generadores X de un ´algebra Booleana A en un conjunto de generadores Y de otra ´algebra Booleana B. Si g y h son extensiones homomorfas de f y de la inversa f −^1 hasta A y B, resp., entonces g es un isomorfismo de A en B, cuyo inverso es h. Demostraci´on. §
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Proposici´on 2.59. Sea A un ´algebra Booleana. Entonces el conjunto de las con- gruencias sobre A, Cgr(A), es un sistema de clausura algebraico sobre A × A, i.e., tiene las siguientes propiedades:
- A × A ∈ Cgr(A).
- Si (Φi | i ∈ I) es una familia no vac´ıa en Cgr(A), entonces
i∈I Φi^ es una congruencia sobre A.
- Si (Φi | i ∈ I) es una familia no vac´ıa en Cgr(A) y si dados i, j ∈ I, hay un k ∈ I tal que Φi ∪ Φj ⊆ Φk, entonces
i∈I Φi^ es una congruencia sobre A.
Demostraci´on. §
Corolario 2.60. Sea A un ´algebra Booleana. Entonces la endoaplicaci´on CgA del conjunto Sub(A × A), definida como:
CgA
Sub(A × A) //Sub(A × A) Φ 7 −→
{ Ψ ∈ Cgr(A) | Φ ⊆ Ψ }
tiene las siguientes propiedades:
- Im(CgA) ⊆ Cgr(A).
- { Φ ∈ Sub(A × A) | Φ = CgA(Φ) } = Cgr(A).
- CgA es extensiva o inflacionaria, i.e., para cada Φ ∈ Sub(A × A), Φ ⊆ CgA(Φ).
- CgA es is´otona, i.e., para cada Φ, Ψ ∈ Sub(A × A), si Φ ⊆ Ψ, entonces CgA(Ψ) ⊆ CgA(Ψ).
- CgA es idempotente, i.e., para cada Φ ∈ Sub(A × A), CgA(Φ) = CgA(CgA(Φ)).
- CgA es algebraica, i.e., para cada familia (Φi | i ∈ I) no vac´ıa dirigida superiormente en Cgr(A) se cumple que CgA(
i∈I Φi) =^
i∈I CgA(Φi).
Por consiguiente, para cada Φ ⊆ A × A, CgA(Φ) es la m´ınima congruencia sobre A que contiene a Φ, y la denominamos la congruencia sobre A generada por Φ.
Demostraci´on. §
Proposici´on 2.61. El conjunto Cgr(A) de las congruencias sobre un ´algebra Boo- leana A es un subret´ıculo completo del ret´ıculo Eqv(A) de las equivalencias sobre A.
Demostraci´on. La proposici´on significa que si (Φi | i ∈ I) es una familia de con- gruencias sobre A, entonces el ´ınfimo y el supremo de tal familia en Eqv(A), son de hecho congruencias sobre A. Nos limitamos a demostrar el caso del supremo y s´olo para la operaci´on ∨, dejando los dem´as casos como ejercicio. Sean (xα | α ∈ 2) e (yα | α ∈ 2) ∈ A^2 tales que, para cada α ∈ 2, xα ≡ yα (m´od
i∈I Φi). Entonces, ya que en^ Eqv(A) se cumple que
∨ i∈I Φi =
(x, y) ∈ A^2
∃k ∈ N − 1 ∃(aα)α∈k+1 ∈ Ak+1^ ∃(iα)α∈k ∈ Ik tal que x = a 0 , y = ak, y ∀α ∈ k (aα, aα+1) ∈ Φiα
podemos afirmar que hay sucesiones finitas de elementos de A y congruencias de la familia (Φi | i ∈ I) tales que
x 0 = z 0 , 0 Φi 0 , 0 z 0 , 1 · · · z 0 ,k 0 − 1 Φi 0 ,k 0 − 1 z 0 ,k 0 = y 0 x 1 = z 1 , 0 Φi 1 , 0 z 1 , 1 · · · z 1 ,k 1 − 1 Φi 1 ,k 1 − 1 z 1 ,k 1 = y 1
20 JUAN CLIMENT
Luego tenemos que x 0 ∨ x 1 ≡ y 0 ∨ x 1 (m´od
β∈k 0 Φi 0 ,β ) y 0 ∨ x 1 ≡ y 0 ∨ y 1 (m´od
β∈k 1 Φi 1 ,β ).
Por lo tanto x 0 ∨ x 1 ≡ y 0 ∨ y 1 (m´od
α∈ 2
β∈kn− 1 Φiα,β ).
As´ı que podemos afirmar que
x 0 ∨ x 1 ≡ y 0 ∨ y 1 (m´od
i∈I Φi),
lo cual demuestra que
i∈I Φi^ es una congruencia sobre^ A. §
Antes de pasar a demostrar que el ret´ıculo de las congruencias sobre un ´algebra Booleana A es algebraico, convenimos que, para una parte X de A, Cg(X) denota la congruencia sobre A generada por X^2. En particular, para X = { a, b }, usamos Cg(a, b), en lugar de Cg({ a, b }).
Proposici´on 2.62. El ret´ıculo Cgr(A) de las congruencias sobre un ´algebra Boo- leana A, es algebraico.
Demostraci´on. Demostramos en primer lugar que, para cada congruencia Φ sobre A se cumple que:
Φ =
(a,b)∈Φ Cg(a, b).
Es evidente que Φ ⊆
∨^ (a,b)∈Φ^ Cg(a, b). Rec´ıprocamente, si suponemos que (x, y)^ ∈ (a,b)∈Φ Cg(a, b), entonces hay un^ n^ ∈^ N^ −^ 1, una familia (cα)α∈n+1^ ∈^ A n+1 (^) y una
familia ((aα, bα))α∈n ∈ Φn^ tales que x = c 0 , y = cn y, para cada α ∈ n, cα ≡ cα+ (m´od Cg(aα, bα)). Luego, para cada α ∈ n, Cg(aα, bα) ⊆ Φ, porque (aα, bα) ∈ Φ, por lo tanto, para cada α ∈ n, cα ≡ cα+1 (m´od Φ). De donde x ≡ y (m´od Φ) y por lo tanto
(a,b)∈Φ Cg(a, b)^ ⊆^ Φ. Demostramos ahora que, para cada (a, b) ∈ A^2 , Cg(a, b) es compacta en Cgr(A). Sea (Φi | i ∈ I) una familia de congruencias sobre A tal que Cg(a, b) ⊆
i∈I Φi. Entonces (a, b) ∈
i∈I Φi, luego hay un^ n^ ∈^ N^ −^ 1, una familia (cα)α∈n+1^ ∈^ A
n+
y una familia (iα)α∈n ∈ In^ tales que a = c 0 , b = cn y, para cada α ∈ n, cα ≡ cα+ (m´od Φiα ). Por lo tanto a ≡ b (m´od
α∈n Φiα^ ). luego Cg(a, b)^ ⊆^
α∈n Φiα^. Por consiguiente Cg(a, b) es compacta. §
Proposici´on 2.63. Sea A un ´algebra Booleana, Φ una relaci´on binaria en A y Ψ una congruencia sobre A. Entonces hay una congruencia Θ sobre A tal que Ψ ⊆ Θ y Θ ∩ Φ = Ψ ∩ Φ y Θ es maximal con dichas propiedades.
Demostraci´on. §
Procedemos ahora a definir, entre otros, los conceptos de filtro e ideal, y a de- mostrar que est´an ´ıntimamente relacionados con las congruencias sobre las ´algebras Booleanas y los homomorfismos entre ellas. Respecto de los filtros dice P. Samuel: It is therefore necessary to have a tool permitting the passage from the finite to the infinite (or conversal by using dual methods). The necessary tool has to have finite features in its definition, but to be infinite in its essence; and the filters fulfill both requirements.
Definici´on 2.64. Sea A un ´algebra Booleana y F, I ⊆ A.
- Decimos que el subconjunto F de A es
