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EL TEOREMA DE CANTOR-BERNSTEIN
Y LA COMPARABILIDAD PARA LOS CONJUNTOS BIEN
ORDENADOS
J. CLIMENT VIDAL
Resumen. Una vez definidas las nociones y establecidas las proposiciones ne- cesarias de la teor´ıa de conjuntos bien ordenados, demostramos el teorema de Cantor-Bernstein para los conjuntos bien ordenados. Adem´as, usando el lema de Zorn-Kuratowski, demostramos el teorema de comparabilidad para los conjuntos bien ordenados. Por ´ultimo, demostramos que del lema de Zorn- Kuratowski se deduce el teorema de buena ordenaci´on de Zermelo, que de este ´ultimo se deduce la existencia de funciones de elecci´on para cualquier conjunto, y, por fin que de este se deduce, a su vez, el lema de Zorn-Kuratowski.
´Indice
- Conjuntos bien ordenados. 1
- El teorema de Cantor-Bernstein para los conjuntos bien ordenados. 3
- El teorema de comparabilidad para los conjuntos bien ordenados. 3
- El lema de Zorn-Kuratowski, la buena ordenaci´on y el axioma de elecci´on. 5 Referencias 10
- Conjuntos bien ordenados. En esta secci´on presentamos aquellas nociones y proposiciones de la teor´ıa de conjuntos bien ordenados que son imprescindibles para demostrar el teorema de Cantor-Bernstein.
Definition 1. Una buena ordenaci´on, o un buen orden, sobre un conjunto A es una relaci´on binaria ≤ sobre A que cumple las siguientes condiciones:
- ∀x ∈ A (x ≤ x) (Reflexividad);
- ∀x, y ∈ A ((x ≤ y ∧ y ≤ x) → x = y) (Antisimetr´ıa);
- ∀x, y, z ∈ A ((x ≤ y ∧ y ≤ z) → x ≤ z) (Transitividad).
- ∀X ⊆ A (X 6 = ∅ → ∃ min(X)). Un conjunto bien ordenado es un par (A, ≤) en el que A es un conjunto y ≤ una buena ordenaci´on sobre A.
Proposition 1. Si A = (A, ≤) es un conjunto bien ordenado no vac´ıo, entonces A tiene un primer elemento. Adem´as, si a ∈ A no es el m´aximo de A, entonces a tiene un sucesor inmediato, i.e., existe un b ∈ A tal que a < b, pero no hay ning´un c ∈ A tal que a < c < b.
Proposition 2. Si A = (A, ≤) es un conjunto bien ordenado no vac´ıo, entonces A est´a linealmente ordenado.
Date: 24 de febrero de 2008. 1991 Mathematics Subject Classification. Primary: ; Secondary:. 1
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Proposition 3. Si A = (A, ≤) es un conjunto bien ordenado, entonces en A se cumple el principio de la demostraci´on por inducci´on transfinita, i.e., se tiene que
∀X ⊆ A ((∀a ∈ A (↓< a ⊆ X → a ∈ X)) → X = A).
De modo que una condici´on suficiente para que una parte X de A coincida con A, es que un elemento arbitrario a de A pertenezca a X cuando todos los predecesores estrictos de a pertenezcan a X.
Demostraci´on. Sea X una parte de A tal que, para cada a ∈ A, se cumpla que si ↓< a ⊆ X, entonces a ∈ X. Si X 6 = A, entonces la parte A − X de A no ser´ıa vac´ıa, luego, por ser A un conjunto bien ordenado, tal parte de A tendr´ıa un m´ınimo a. Pero entonces se cumplir´ıa que ↓< a ⊆ X, ya que si no fuera ese el caso, i.e., si existiera un b ∈↓< a tal que b 6 ∈ X, a no ser´ıa el m´ınimo de A − X. Por lo tanto, a ∈ X, que contradice el que a ∈ A − X. As´ı que X = A. §
Proposition 4. Si A = (A, ≤) es un conjunto bien ordenado no vac´ıo, entonces las secciones iniciales de A son A y las de la forma ↓< a, para cada a ∈ A.
Demostraci´on. Si X es una secci´on inicial de A distinta de A, entonces se cumple que X =↓< a, siendo a el m´ınimo de A − X. §
Proposition 5. Sea A un conjunto bien ordenado y f una endoaplicaci´on is´otona e inyectiva de A. Entonces f es extensiva, i.e., para cada x ∈ A, se cumple que x ≤ f (x).
Demostraci´on. Supongamos que f no sea extensiva, i.e., que el subconjunto
T = { x ∈ A | x > f (x) }
de A no sea vac´ıo. Entonces T tiene un m´ınimo a, i.e., hay un a ∈ A tal que
- a > f (a).
- Para cada x ∈ A, si x > f (x), entonces a ≤ x.
Por cumplirse que a > f (a) y ser f is´otona e inyectiva, tenemos que f (a) > f (f (a)), luego f (a) ∈ T , por lo tanto, ya que a es el m´ınimo de T , a ≤ f (a), que entra en contradicci´on con que a > f (a). As´ı que f es extensiva. §
Corollary 1. Sea A un conjunto bien ordenado. Entonces el grupo de los auto- morfismos de A es trivial, i.e., se reduce al automorfismo identidad de A.
Corollary 2. Si f, g : A //B son dos isomorfismos entre dos conjuntos bien ordenados, entonces f = g.
Corollary 3. Un conjunto bien ordenado A no es isomorfo a ninguna de sus secciones iniciales propias, i.e., para cada a ∈ A, no hay ning´un isomorfismo entre A y (↓< a, <)
Definition 2. Sean A y A′^ dos conjuntos bien ordenados. Decimos que A precede ordinalmente a A′, y lo denotamos por A 4 A′, si hay una aplicaci´on estrictamente is´otona de A en A′^ cuya imagen es una secci´on inicial de A′, i.e., si A es isomorfo a una secci´on inicial de A′. Adem´as, decimos que A es ordinalmente equivalente a A′, y lo denotamos por A ≡ A′^ si hay una aplicaci´on estrictamente is´otona de A en A′^ cuya imagen es A′. En este ´ultimo caso tambi´en decimos que A y A′^ son ordinalmente similares o, simplemente, que son similares.
Proposition 6. Sean A, A′^ y A′′^ tres conjuntos bien ordenados. Entonces tenemos que:
- A 4 A.
- Si A 4 A′^ y A′^4 A′′, entonces A 4 A′′.
- A ≡ A.
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- El diagrama
X
f (^) //
inX,X′ ≤ ≤
Y
inY,Y′ ≤ ≤ X′ f ′^
Y
′
conmuta. Entonces (
X∈Sec<(A), Y ∈Sec<(B)
Iso(X, Y), ≤) es un conjunto ordenado. Se cumple que no
es vac´ıo porque Iso(∅, ∅) 6 = ∅, siendo ∅ el conjunto bien ordenado (∅, ∅). Adem´as, toda cadena no vac´ıa del conjunto ordenado (
X∈Sec<(A), Y ∈Sec<(B)
Iso(X, Y), ≤) tiene un supremo. Sea Λ un conjunto no vac´ıo y (fλ)λ∈Λ una familia en
X∈Sec<(A), Y ∈Sec<(B)
Iso(X, Y) tal que
- Para cada λ ∈ Λ, fλ : Xλ //Yλ.
- Para cada λ, μ ∈ Λ, fλ ≤ fμ o fμ ≤ fλ. Entonces el triplo
f = (
λ∈ΛXλ, F,^
λ∈ΛYλ) en el que F es
F = { (x, y) ∈ (
λ∈ΛXλ)^ ×^ (
λ∈ΛYλ)^ | ∃λ^ ∈^ Λ ((x, y)^ ∈^ Fλ)^ }
o, lo que es equivalente, para cada x ∈
λ∈Λ Xλ,^ f^ (x) =^ fλ(x), siendo^ λ^ cualquier ´ındice en Λ para el que x ∈ Xλ, es un isomorfismo y es el supremo de (fλ)λ∈Λ. Porque, por una parte, la uni´on de una familia de secciones iniciales es una secci´on inicial, y, por otra parte, se cumple que F es una funci´on porque si (x, y) y (x, z) ∈ F , entonces, por la definici´on de F , existir´ıan λ, μ ∈ Λ tales que (x, y) ∈ Fλ y (x, z) ∈ Fμ, pero al ser (fλ)λ∈Λ una cadena, tendr´ıamos que fλ ≤ fμ o fμ ≤ fλ, luego (x, y), (x, z) ∈ Fμ o (x, y), (x, z) ∈ Fλ, por lo tanto y = z. Luego podemos afirmar que f es una aplicaci´on. Dejamos como ejercicio la demostraci´on de que f es biyectiva as´ı como que, para cada x, x′^ ∈
λ∈Λ Xλ, se cumple que^ x^ ≤^ x
′ (^) si y s´olo si f (x) ≤ f (x′). Es evidente que f es el supremo de la familia (fλ)λ∈Λ. Puesto que se cumplen las hip´otesis del lema de Zorn-Kuratowski, podemos afirmar que existe un maximal en el conjunto ordenado (
X∈Sec<(A), Y ∈Sec<(B)
Iso(X, Y), ≤).
Sea h : X //Y un maximal. Para h tenemos que X = A o Y = B, ya que si X 6 = A e Y 6 = B, entonces, tomando el m´ınimo a 0 de A − X y el m´ınimo b 0 de B − Y , tendr´ıamos que para la aplicaci´on ha 0 ,b 0 definida desde X ∪ {a 0 } hasta Y ∪ {b 0 } y con funci´on subyacente Ha 0 ,b 0 la definida como
Ha 0 ,b 0 = H ∪ { (a 0 , b 0 ) }
se cumplir´ıa que ha 0 ,b 0 es biyectiva que, para cada x, x′^ ∈ X ∪ {a 0 }, se cumple que x ≤ x′^ si y s´olo si ha 0 ,b 0 (x) ≤ ha 0 ,b 0 (x′), y que h < ha 0 ,b 0 , luego h no ser´ıa maximal, contradicci´on. Por lo tanto X = A o Y = B. Si ocurre lo primero, entonces inY,B ◦ h es un isomorfismo de A en una secci´on inicial de B, mientras que si ocurre lo segundo, inX,A ◦ h−^1 es un isomorfismo de B en una secci´on inicial de A. §
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- El lema de Zorn-Kuratowski, la buena ordenaci´on y el axioma de elecci´on. En esta secci´on demostramos que del lema de Zorn-Kuratowski se deduce que sobre todo conjunto hay una buena ordenaci´on, que de suponer esto ´ultimo dedu- cimos que sobre todo conjunto existe una funci´on de elecci´on, y, en ´ultimo lugar, que de suponer que sobre todo conjunto existe una funci´on de elecci´on, se deduce el lema de Zorn-Kuratowski.
Proposition 8 (Principio de la buena ordenaci´on de Cantor). Cualquier conjunto tiene, al menos, una buena ordenaci´on.
Demostraci´on. Si A = ∅, entonces ∅ ∈ WO(A). Supongamos que A 6 = ∅ y sea W (A) el conjunto formado por todos los conjuntos bien ordenados X = (X, <) tales que X ⊆ A. El conjunto W (A) no es vac´ıo porque ∅ = (∅, ∅) ∈ W (A). Sobre el conjunto W (A) consideramos la relaci´on binaria ≤ definida como:
(X, <) ≤ (X′, <′) si y s´olo si
X ⊆ X′, <= <′^ ∩ (X × X) y X es una secci´on inicial de (X′, <′).
La relaci´on as´ı definida es un orden sobre W (A). A continuaci´on demostramos que cada cadena no vac´ıa en W (A) = (W (A), ≤) est´a acotada superiormente. Sea (Xi)i∈I una cadena no vac´ıa en W (A). Entonces (X, <) = (
i∈I Xi,^
i∈I <i) es un conjunto linealmente ordenado. Sea Y un subconjunto no vac´ıo de X. Entonces, para un i ∈ I, tenemos que Y ∩ Xi 6 = ∅. Ahora bien, puesto que Xi es un conjunto bien ordenado y Y ∩ Xi es una parte no vac´ıa de Xi, sea xY,i el primer elemento de Y ∩ Xi, respecto del buen orden <i sobre Xi. Entonces xY,i es el primer elemento de Y ∩ Xi, respecto de orden < sobre X y por lo tanto es el primer elemento de Y respecto del orden < sobre X, esto ´ultimo se cumple porque no puede existir un y ∈ Y tal que y < xY,i, ya que si tal fuera el caso, entonces y ∈ Xj , para alg´un j ∈ I. Si (Xi, <) ≤ (Xj , <), entonces de y < xY,i ∈ Xi, obtenemos que y ∈ Xi, y si (Xj , <) ≤ (Xi, <), tambi´en y ∈ Xi, luego xY,i no es el primer elemento de Y ∩ Xi, que entra en contradicci´on con lo anterior. Por lo tanto xY,i es el primer elemento de Y respecto del orden < sobre X. Con esto queda demostrado que (X, <) es un conjunto bien ordenado. Es evidente que (X, <) ∈ W (A) y que es una cota superior de (Xi)i∈I en W (A), que adem´as es m´ınima, i.e., (X, <) es el supremo de de (Xi)i∈I en W (A). Por lo tanto, en virtud del lema de Zorn-Kuratowski, en el conjunto ordenado W (A) existe un maximal B = (B, <). Se cumple que B = A, porque si A − B 6 = ∅, entonces, eligiendo un a ∈ A − B, para el conjunto Ba = B ∪ {a} y la relaci´on <a=< ∪{ (b, a) | b ∈ B }, obtendr´ıamos un conjunto bien ordenado Ba = (Ba, <a), tal que B < Ba, lo cual contradice el caracter maximal de B. Por consiguiente A = B y WO(A) 6 = ∅. §
Puesto que sobre todo conjunto existe una buena ordenaci´on, como caso parti- cular, sobre el conjunto de los n´umeros reales hay al menos una, que no coincide precisamente con el orden lineal usual sobre tal conjunto (por ejemplo, el subcon- junto ]0, 1[ no tiene primer elemento). Pero no malgastes tu tiempo intentando definir explic´ıtamente una buena orde- naci´on sobre R, porque nadie ha podido, ni podr´a jam´as, construir un buen orden sobre tal conjunto. La raz´on de ello estriba en que Feferman demostr´o que inclu- so si se asume, adem´as de los axiomas de Zermelo-Frenkel-Skolem y el axioma de elecci´on, la hip´otesis generalizada del cont´ınuo, no se podr´a llegar a establecer nin- guna definici´on expl´ıcita de un buen orden del conjunto de los n´umeros reales, i.e.,
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- a 0 = F (R) y
- ∀n ∈ N (an+1 = F (]an, → [)),
es una F -cadena.
Proposition 10. Sea A un conjunto ordenado y F una funci´on de elecci´on para A. Entonces toda F -cadena de A est´a bien ordenada.
Demostraci´on. Sea X una F -cadena. Entonces considerando sobre X la restricci´on del orden sobre A, se cumple que X = (X, ≤) es un conjunto ordenado. Demostra- mos a continuaci´on que toda parte no vac´ıa de X tiene un primer elemento. Sea Y un subconjunto no vac´ıo de X. Sea C el conjunto de las cotas inferiores de Y en X que no pertenecen a Y , de manera que
C = LbX(Y ) − Y = LbX(Y ) ∩ {X Y.
Es evidente que C es una secci´on inicial de X. Ahora demostramos que C es distinto de X. Pero se cumple que
X − C = Y ∪ (X − LbX(Y )),
por lo tanto Y ⊆ X − C, y como Y 6 = ∅, X − C 6 = ∅, luego C 6 = X. Entonces, por ser X una F -cadena y C una secci´on inicial de X y distinta de X, el conjunto X −C tiene un m´ınimo x 0 , que, adem´as, coincide con F (Ub∗ A(C)). Puesto que Y ⊆ X − C y x 0 = min(X − C), x 0 es una cota inferior de Y en X. Adem´as, se cumple que x 0 ∈ Y , ya que si x 0 6 ∈ Y , entonces x 0 ser´ıa una cota inferior estricta de Y en X, i.e., x 0 ∈ C, pero x 0 ∈ X − C, de donde la contradicci´on, por lo tanto x 0 ∈ Y y x 0 es el m´ınimo de Y en X. §
Proposition 11. Sea A un conjunto ordenado, F una funci´on de elecci´on para A y X, X′^ dos F -cadenas de A. Entonces, o bien X es una secci´on inicial de X′, o bien X′^ es una secci´on inicial de X.
Demostraci´on. Sea C la reuni´on de todas las secciones iniciales comunes a los con- juntos bien ordenados X y X′. Supongamos que C 6 = X y que C 6 = X′. Entonces, por ser X y X′^ F -cadenas de A, se cumple que
min(X − C) = min(X′^ − C) = F (Ub∗ A(C)).
Pero entonces C ∪{ F (Ub∗ A(C)) } es una secci´on inicial com´un a X y X′^ que contiene estrictamente a C, que entra en contradicci´on con que C sea la m´axima secci´on inicial com´un a X y X′. Por lo tanto C = X o C = X′. §
Proposition 12. Sea A un conjunto ordenado y F una funci´on de elecci´on para A. Entonces se cumple que
- La uni´on, XF , de todas las F -cadenas de A es una F -cadena.
- La m´axima F -cadena, XF , de A no tiene ninguna cota superior estricta en A.
Demostraci´on. Sea C una secci´on inicial de XF distinta de XF. Vamos a demostrar que XF − C tiene un m´ınimo y que tal m´ınimo coincide con F (Ub∗ A(C)). Para ello establecemos que si x ∈ XF − C y X es una F -cadena de A tal que x ∈ X, entonces C es una secci´on inicial de X distinta de X, porque en tal caso se cumple que existe el m´ınimo de X − C y coincide con F (Ub∗ A(C)), de donde podemos concluir que tal m´ınimo es tambi´en el m´ınimo de XF − C. Ahora bien, puesto que x ∈ X − C, se cumple que C es distinto de X. S´olo falta demostrar que C es una secci´on inicial de X, pero, por ser C es una secci´on inicial de XF , para ello es suficiente que demostremos que C ⊆ X. Sea y ∈ C, entonces, por ser C parte de XF , existe una F -cadena Y tal que y ∈ Y. Ahora bien, por la proposici´on anterior, Y es una secci´on inicial de X, en cuyo caso y ∈ X, o X es
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una secci´on inicial de Y, y entonces x, y ∈ Y , luego, por ser Y un conjunto bien ordenado, est´a linealmente ordenado, as´ı que x < y, o x = y o y < x. Pero x 6 ∈ C e y ∈ C, luego no puede ocurrir ni que x = y ni que x < y, as´ı que y < x. Por lo tanto y ∈ X. Supongamos que XF tenga una cota superior estricta. Entonces a˜nadiendo F (Ub∗ A(XF )) a XF , obtenemos una F -cadena de A que contiene estrictamente a XF , lo cual entra en contradicci´on con que XF sea la m´axima F -cadena de A §
Proposition 13. Si para cada conjunto A, ChFnc(A) 6 = ∅, entonces se cumple el lema de Zorn-Kuratowski.
Demostraci´on. Sea A un conjunto ordenado no vac´ıo tal que cualquier cadena no vac´ıa de A tenga una cota superior en A. Sea F una funci´on de elecci´on para A. El conjunto XF , i.e., la reuni´on de todas las F -cadenas de A tiene las siguientes propiedades:
- XF no es una parte no vac´ıa de A, porque { F (A) } es una F -cadena y est´a incluida en XF.
- XF es una cadena en A, porque toda F -cadena est´a bien ordenada y por lo tanto est´a linealmente ordenada.
Por lo tanto XF tiene una cota superior a en A. Si a no fuera maximal, existir´ıa un b ∈ A tal que a < b, luego b ser´ıa una cota superior estricta de la F -cadena XF , que entrar´ıa en contradicci´on con la segunda parte de la proposici´on anterior. Por lo tanto a es un maximal de A. §
Resumimos en un diagrama las diferentes formulaciones del axioma de elecci´on, pero antes recordamos que
- El Axioma de elecci´on de Baer afirma que: ∀R ( Rel(R) → ∃F ( Fnc(F ) ∧ F ⊆ R ∧ Dom(F ) = Dom(R) ))
- El Axioma de elecci´on de Zermelo afirma que: ∀X (( ∅ 6 ∈ X ∧ Disj(X ) ) → ∃F : X //
X ( ∀X ∈ X (F (X) ∈ X ))).
- El Axioma de elecci´on de Russell-Zermelo afirma que: ∀X (( ∅ 6 ∈ X ∧ Disj(X ) ) → ∃T ⊆
X ( ∀X ∈ X ∃!x ( x ∈ T ∩ X ))).
- El Principio general de elecci´on de Zermelo afirma que: ∀X ( ∅ 6 ∈ X → ∃F : X →
X ( ∀X ∈ X ( F (X) ∈ X ))).
- El Axioma de elecci´on multiplicativo afirma que: ∀I ∀(Xi)i∈I ((∀i ∈ I (Xi 6 = ∅)) →
i∈I Xi^6 =^ ∅).
- El Axioma de elecci´on afirma que: ∀A ∃F : Sub(A) − {∅} //A (∀X ∈ Sub(A) − {∅} (F (X) ∈ X)).
- El Lema de Tukey-Teichm¨uller afirma que: Todo conjunto no vac´ıo F de car´acter finito tiene un ⊆-maximal.
- El Principio maximal de Hausdorff afirma que: Todo conjunto ordenado no vac´ıo tiene una cadena ⊆-maximal.
- El Lema de Kuratowski-Zorn afirma que: Si A = (A, ≤) es un conjunto ordenado no vac´ıo y toda cadena no vac´ıa de A tiene un supremo en A, entonces A tiene al menos un maximal.
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Demostramos a continuaci´on que del lema de Kuratowski-Zorn se deduce el prin- cipio de la buena ordenaci´on de Cantor. Sea A un conjunto y
B =
B⊆A({B} ×^ WO(B)),
de modo que el conjunto B est´a formado por todos los pares ordenados (B, G) en los que B ⊆ A y G ∈ WO(B). Ahora definimos la relaci´on binaria π en el conjunto B como:
(B, G) π (B′, G′) si y s´olo si B ⊆ B′, G ⊆ G′^ y , ∀b ∈ B, ∀b′^ ∈ B′^ − B, (b, b′) ∈ G′.
Se cumple que (B, π) es un conjunto ordenado no vac´ıo en el que toda cadena no vac´ıa tiene un supremo. En efecto, es evidente que no es vac´ıo porque el par ordenado (∅, ∅) ∈ B. Tambi´en es evidente que la relaci´on binaria π es reflexiva y antisim´etrica. Demostremos que π es transitiva. Sean (B, G), (B′, G′), y (B′′, G′′) ∈ B tales que (B, G) π (B′, G′) y (B′, G′) π (B′′, G′′), queremos demostrar que (B, G) π (B′′, G′′). Ahora bien, de B ⊆ B′^ y B′^ ⊆ B′′^ obtenemos que B ⊆ B′′, y de G ⊆ G′^ y G′^ ⊆ G′′^ que G ⊆ G′′. Nos falta demostrar que, para cada b ∈ B y cada b′′^ ∈ B′′^ − B, se cumple que (b, b′′) ∈ G′′. Pero B′^ − B ⊆ B′′^ − B, luego para b′′^ ∈ B′′^ − B puede ocurrir que b′′^ ∈ B′^ − B o que b′′^6 ∈ B′^ − B. Si b′′^ ∈ B′^ − B, entonces, ya que b ∈ B y (B, G) π (B′, G′), (b, b′′) ∈ G′, pero G′^ ⊆ G′′, luego (b, b′′) ∈ G′′. Si b′′^6 ∈ B′^ − B, entonces, puesto que b ∈ B y B ⊆ B′, tenemos que b ∈ B′^ y (b′′^6 ∈ B′^ o b′′^ ∈ B), i.e., que (b ∈ B′^ y b′′^6 ∈ B′) o (b ∈ B′^ y b′′^ ∈ B). Si lo primero, entonces (b, b′′) ∈ G′, pero G′^ ⊆ G′′, luego (b, b′′) ∈ G′′. Mientras que lo segundo es imposible, ya que b′′^6 ∈ B. Sea I un conjunto no vac´ıo y (Bi, Gi)i∈I una cadena en (B, π). Entonces (B, G) = (
i∈I Bi,^
i∈I Gi)
es el supremo en (B, π) de la cadena no vac´ıa (Bi, Gi)i∈I. Es evidente que (B, G) es un conjunto ordenado. Falta demostrar que toda parte no vac´ıa de B tiene un m´ınimo en (B, G). Sea D una parte no vac´ıa de B. Entonces hay un i 0 ∈ I tal que D ∩ Bi 0 6 = ∅. Puesto que D ∩ Bi 0 ⊆ Bi 0 y (Bi 0 , Gi 0 ) es un conjunto bien ordenado, hay un m´ınimo b de D ∩ Bi 0 en (Bi 0 , Gi 0 ). Veamos que b es, de hecho, el m´ınimo de D en B, G, i.e., que, para cada x ∈ D, (b, x) ∈ G. Sea x ∈ D. Entonces, o bien x ∈ Bi 0 , o bien x 6 ∈ Bi 0. Si lo primero, entonces (b, x) ∈ Gi 0 , luego (b, x) ∈ G. Si lo segundo, entonces x ∈ Bj , para un j ∈ I − {i 0 }. Se cumple que Bj * Bi 0 , luego no puede ocurrir que (Bj , Gj ) π (Bi 0 , Gi 0 ), as´ı que (Bi 0 , Gi 0 ) π (Bj , Gj ), por lo tanto (b, x) ∈ Gj , ya que b ∈ Bi 0 y x ∈ Bj − Bi 0 , pero Gj ⊆ G, de modo que (b, x) ∈ G. Es evidente que (B, G) es el supremo en (B, π) de la cadena no vac´ıa (Bi, Gi)i∈I. Entonces, en virtud del lema de Kuratowski-Zorn, existe un maximal en (B, π). Sea (B, G) un tal maximal. Se cumple que B = A, ya que si B 6 = A, entonces tomando un a 0 ∈ A − B, tendr´ıamos que (B ∪ {a 0 }, G ∪ {(b, a 0 ) | b ∈ B}) ser´ıa un conjunto bien ordenado perteneciente a B y que contendr´ıa estrictamente a (B, G). Pero eso es imposible, porque (B, G) es maximal. De donde hemos de concluir que B = A y, por lo tanto, que A es tal que WO(A) 6 = ∅. Del principio de la buena ordenaci´on se deduce el axioma de elecci´on. Sea A un conjunto. Entonces la funci´on F de Sub(A) − {∅} en A que a un subconjunto no vac´ıo X de A le asigna
F (X) = m´ın(A,≤)(X),
siendo ≤∈ WO(A), arbitraria, pero fija, es una funci´on de elecci´on para A.
Referencias
[Cohn81] P. Cohn, Universal algebra, D. Reidel, 1981. [Doua77] R. et A. Douady Alg`ebre et th´eories galoisiennes, Fernand Nathan, 1977.
CANTOR-BERNSTEIN Y COMPARABILIDAD PARA LOS WO 11
Universidad de Valencia, Departamento de L´ogica y Filosof´ıa de la Ciencia, Apt. 22.109 E-46071 Valencia, Spain E-mail address: [email protected]
