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L ´OGICA ECUACIONAL
J. CLIMENT VIDAL
Resumen. En este cap´ıtulo definimos las nociones de signatura algebraica ho- mog´enea y de morfismo entre ellas, el concepto de estructura algebraica ho- mog´enea sobre un conjunto, las ´algebras homog´eneas y los homomorfismos entre ellas; adem´as, introducimos las teor´ıas algebraicas de Lawvere y los mor- fismos entre ellas, as´ı como las ´algebras y los morfismos entre ellas, estable- ciendo la equivalencia entre esta versi´on del ´algebra universal, sin dependencia de las signaturas, y la versi´on cl´asica de la misma. Tambi´en definimos las nociones de sub´algebra y congruencia de un ´algebra y estudiamos las propie- dades de los conjuntos de todas las sub´algebras y congruencias de un ´algebra, caracterizamos los monomorfismos y los epimorfismos y demostramos los teo- remas de Noether. Por otra parte, demostramos la existencia y establecemos las propiedades de los productos, igualadores, coigualadores, l´ımites proyecti- vos, l´ımites inductivos, productos reducidos y ultraproductos. Por ´ultimo, una vez definidas las operaciones polin´omicas y algebraicas y estudiadas las pro- piedades de tales nociones, demostramos la existencia de ´algebras homog´eneas (absolutamente) libres, la propiedad universal de las mismas y establecemos las relaciones entre las ´algebras libres y las ´algebras de operaciones polin´omicas sobre un ´algebra. Por otra parte, consideramos la noci´on de ´algebra funcional- mente completa y, una vez definida la noci´on de identidad o ley y la relaci´on de satisfacci´on, establecemos la nocion de variedad homog´enea y demostra- mos el teorema de Birkhoff de caracterizaci´on de las variedades homog´eneas mediante ciertos operadores clausura; a continuaci´on, exponemos la conexi´on de Galois contravariante (inducida por la relaci´on de satisfacci´on) entre los ret´ıculos completos de las ´algebras homog´eneas (de una signatura dada) y de las leyes y demostramos el teorema de completud de Birkhoff, previa presen- taci´on de un sistema deductivo, que afirma la identidad entre la relaci´on de consecuencia sint´actica y la relaci´on de consecuencia sem´antica.
´Indice
- Algebras homog´eneas 2 1.1. Signaturas y ´algebras 2 1.2. Ejemplos de ´algebras 3 1.3. Homomorfismos 7 1.4. Sub´algebras 9 1.5. Congruencias 21 1.6. Endomorfismos y productos semidirectos 30 1.7. Sub´algebras esenciales y el pedestal 31 1.8. Congruencias sup´erfluas y el radical de Jacobson 32
- Algebras libres 32 2.1. Extensi´on de una signatura por un conjunto 32 2.2. Existencia del ´algebra libre sobre un conjunto 34 2.3. Algebras de Dedekind-Peano 44 2.4. Operaciones polin´omicas y algebraicas 46 2.5. Presentaciones de Σ-´algebras 54
Date: 8 de mayo de 2005. 1991 Mathematics Subject Classification. Primary: ; Secondary: 1
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- L´ımites proyectivos de las ´algebras 57 3.1. Productos de ´algebras 57 3.2. Congruencias factoriales. 63 3.3. Algebras directamente indescomponibles. 64 3.4. Algebras subdirectamente irreducibles. 64 3.5. Igualadores de los homomorfismos 66 3.6. Productos fibrados de homomorfismos 68 3.7. Sistemas proyectivos de Σ-´algebras 73 3.8. L´ımites proyectivos de los sistemas proyectivos 74 3.9. Morfismos proyectivos entre sistemas proyectivos 79 3.10. L´ımites proyectivos de los morfismos proyectivos 81 3.11. Algunos l´ımites y col´ımites de familias de sistemas proyectivos 82 3.12. Algebras filtradas´ 84
- L´ımites inductivos de las ´algebras 95 4.1. Coproductos de ´algebras 96 4.2. Coigualadores 101 4.3. Sumas amalgamadas 103 4.4. Sistemas inductivos de Σ-´algebras 108 4.5. L´ımites inductivos de los sistemas inductivos 109 4.6. Morfismos inductivos entre sistemas inductivos 117 4.7. L´ımites inductivos de los morfismos inductivos 119 4.8. Algunos l´ımites y col´ımites de familias de sistemas inductivos 124
- Variedades homog´eneas 125 5.1. Ecuaciones y validez 126 5.2. Clases ecuacionales 128 5.3. Las relaciones de consecuencia sem´antica y sint´actica 139 5.4. Algebras de polinomios 145 5.5. Clases implicacionales 145
- Teor´ıas algebraicas de Lawvere 148 Referencias 154
... la math´ematique est l’art de donner le mˆeme nome a des choses diff´erentes. Il faut s’entendre. Il convient que ces choses diff´erentes par la matiere soient semblables par la forme. Quand le langage a ´et´e bien choisi, on est tout ´etonn´e de voir que toutes les d´emonstrations faites pour un object connu s’appliquent imm´ediatement a beaucoup d’objects nouveaux, on n’a riena changer, pas mˆeme les mots, puisque les noms sont devenus les mˆemes. H. Poincar´e.
- Algebras homog´eneas
1.1. Signaturas y ´algebras.
Definici´on 1.1. Una signatura algebraica Σ es un par ordenado Σ = (Σ, ar) en el que Σ, el conjunto de los s´ımbolos de operaci´on, es un conjunto y ar, la ariedad, una aplicaci´on de Σ en N. Si σ ∈ Σ y ar(σ) = n, entonces decimos de σ que es un s´ımbolo de operaci´on n-ario, y, para cada n ∈ N, denotamos por Σn el conjunto de todos los s´ımbolos de operaci´on n-arios. La ariedad de un s´ımbolo de operaci´on σ, indica el n´umero de los argumentos que tendr´a cualquier realizaci´on de σ como una operaci´on sobre un conjunto.
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1.2.4. Monoides abelianos. Un monoide abeliano es un triplo (A, +, 0) en el que A es un conjunto, + una operaci´on binaria sobre A y 0 un elemento de A tal que:
- ∀x, y, z ∈ A, x + (y + z) = (x + y) + z.
- ∀x ∈ A, x + 0 = x y 0 + x = x.
- ∀x, y ∈ A, x + y = y + x. Para un conjunto A, si N(A)^ es el conjunto de todas las funciones (na)a∈A de soporte finito de A en N, i.e., el conjunto definido como:
N(A)^ = { (na)a∈A ∈ NA^ | card({ a ∈ A | na 6 = 0 }) < ℵ 0 },
entonces el par ordenado (+, κ 0 ), en el que + es la aplicaci´on de N(A)^ × N(A)^ en N(A)^ definida como:
N(A)^ × N(A)^ //N(A)
((ma)a∈A, (na)a∈A) 7 −→ (ma + na)a∈A
y κ 0 , la aplicaci´on de A en N cuya imagen es { 0 }, es una estructura de monoide abeliano sobre N(A).
1.2.5. Cuasigrupos. Un cuasigrupo es un cu´adruplo (A, ·, /, ) en el que A es un conjunto y ·, / y \ operaciones binarias sobre A tales que:
- ∀x, y ∈ A, (x/y) · y = x.
- ∀x, y ∈ A, (x · y)/y = x.
- ∀x, y ∈ A, y · (y\x) = x.
- ∀x, y ∈ A, y(y · x) = x.
1.2.6. Bucles. Un bucle es un qu´ıntuplo (A, ·, /, , 1) en el que (A, ·, /, ) es un cuasigrupo y 1 ∈ A tal que
∀x, y ∈ A, x · 1 = x y 1 · x = x.
1.2.7. Grupos. Un grupo es un cu´adruplo (A, ·, −^1 , 1) en el que A es un conjunto, · una operaci´on binaria sobre A, −^1 una operaci´on unaria sobre A y 1 un elemento de A tal que:
- ∀x, y, z ∈ A, x · (y · z) = (x · y) · z.
- ∀x ∈ A, x · 1 = x y 1 · x = x.
- ∀x ∈ A, x · x−^1 = 1 y x−^1 · x = 1.
Para cada conjunto A, el cu´adruplo (Aut(A), ◦, −^1 , idA) es un grupo.
1.2.8. Grupos abelianos. Un grupo abeliano es un cu´adruplo (A, +, −, 0) en el que A es un conjunto, + una operaci´on binaria sobre A, − una operaci´on unaria sobre A y 0 un elemento de A tal que:
- ∀x, y, z ∈ A, x + (y + z) = (x + y) + z.
- ∀x ∈ A, x + 0 = x y 0 + x = x.
- ∀x ∈ A, x + (−x) = 0 y (−x) + x = 0.
- ∀x, y ∈ A, x + y = y + x.
1.2.9. Anillos. Un anillo es un s´extuplo (A, +, −, 0 , ·, 1) tal que:
- (A, +, −, 0) es un grupo abeliano.
- (A, ·, 1) es un monoide.
- ∀x, y, z ∈ A, x · (y + z) = (x · y) + (x · z) y (y + z) · x = (y · x) + (z · x).
Para cada grupo abeliano A = (A, +, −, 0), el s´extuplo (End(A), +, −, κ 0 , ◦, idA), en el que + es la operaci´on binaria sobre End(A) que a un par de endomorfismos f , g del grupo abeliano A = (A, +, −, 0) le asigna el endomorfismo f + g que, a cada x ∈ A, le asocia f (x) + g(x), − la operaci´on unaria sobre End(A) que a un endomorfismo f del grupo abeliano A = (A, +, −, 0) le asigna el endomorfismo −f
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que, a cada x ∈ A, le asocia −f (x) = −(f (x)), ◦ la composici´on de endomorfismos y κ 0 el endomorfismo de A cuya imagen es { 0 }, es un anillo.
1.2.10. Anillos conmutativos. Un anillo conmutativo es un s´extuplo (A, +, −, 0 , ·, 1) tal que:
- (A, +, −, 0) es un grupo abeliano.
- (A, ·, 1) es un monoide abeliano.
- ∀x, y, z ∈ A, x · (y + z) = (x · y) + (x · z) y (y + z) · x = (y · x) + (z · x).
1.2.11. M´odulos. Si Λ = (Λ, +, −, 0 , ·, 1) es un anillo, un Λ-m´odulo a la izquierda es un qu´ıntuplo (M, +, −, 0 , (Fλ | λ ∈ Λ)) tal que:
- (M, +, −, 0) es un grupo abeliano.
- ∀λ ∈ Λ, ∀x, y ∈ M , Fλ(x + y) = Fλ(x) + Fλ(y).
- ∀λ, μ ∈ Λ, ∀x ∈ M , Fλ+μ(x) = Fλ(x) + Fμ(x).
- ∀λ, μ ∈ Λ, ∀x ∈ M , Fλ·μ(x) = Fλ(Fμ(x)).
- ∀x ∈ M , F 1 (x) = x.
1.2.12. Espacios vectoriales.
1.2.13. Grupos con multioperadores. Si Ω es un dominio de operadores tal que Ω 0 = ∅, entonces un Ω-grupo es un qu´ıntuplo (G, +, −, 0 , (Fω | ω ∈ Ω)) tal que:
- (G, +, −, 0) es un grupo (no necesariamente abeliano).
- ∀ω ∈ Ω, si ar(ω) = n, entonces Fω : Gn^ //G y Fω (0,... , 0) = 0.
1.2.14. Algebras lineales.
1.2.15. Semirret´ıculos. Un semirret´ıculo es un par (A, ·) en el que A es un con- junto y · una operaci´on binaria sobre A tal que:
- ∀x ∈ A, x · x = x.
- ∀x, y ∈ A, x · y = y · x.
- ∀x, y, z ∈ A, x · (y · z) = (x · y) · z.
Para cada conjunto A, (Sub(A), ∪) y (Sub(A), ∩) son semirret´ıculos.
1.2.16. Ret´ıculos. Un ret´ıculo es un triplo (A, ∨, ∧) en el que A es un conjunto y ∨ y ∧ operaciones binarias sobre A tales que:
- ∀x ∈ A, x ∨ x = x y x ∧ x = x.
- ∀x, y ∈ A, x ∨ y = y ∨ x y x ∧ y = y ∧ x.
- ∀x, y, z ∈ A, x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z y x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z.
- ∀x, y ∈ A, x ∨ (x ∧ y) = x y x ∧ (x ∨ y) = x.
Para cada conjunto A, (Sub(A), ∪, ∩) es un ret´ıculo.
1.2.17. Algebras Booleanas. Un ´algebra Booleana es un s´extuplo (A, ∨, ∧, −, 0 , 1) en el que A es un conjunto, ∨ y ∧ operaciones binarias sobre A, − una operaci´on unaria sobre A y 0, 1 ∈ A tales que:
- ∀x ∈ A, x ∨ x = x y x ∧ x = x.
- ∀x, y ∈ A, x ∨ y = y ∨ x y x ∧ y = y ∧ x.
- ∀x, y, z ∈ A, x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z y x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z.
- ∀x, y ∈ A, x ∨ (x ∧ y) = x y x ∧ (x ∨ y) = x.
- ∀x, y, z ∈ A, x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) y x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).
- ∀x ∈ A, x ∧ −x = 0 y x ∨ −x = 1.
- ∀x ∈ A, x ∧ 0 = 0 y x ∨ 1 = 1.
Para cada conjunto A, (Sub(A), ∪, ∩, {A, ∅, A) es un ´algebra Booleana.
1.2.18. Algebras de Heyting.
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- Para cada (xn | n ∈ N) ∈ XN, si Λ(xn | n ∈ N) 6 = ∅, entonces para cada subsucesi´on (yn | n ∈ N) de (xn | n ∈ N), se cumple que
Λ(xn | n ∈ N) ⊆ Λ(yn | n ∈ N).
Recordamos que una sucesi´on (yn | n ∈ N) en X es una subsucesi´on de otra sucesi´on (xn | n ∈ N) en el mismo conjunto, si existe una aplicaci´on estrictamente creciente ϕ : N //N tal que, para cada n ∈ N, yn = xϕn.
- Para cada x ∈ X y cada (xn | n ∈ N) ∈ XN, si x 6 ∈ Λ(xn | n ∈ N), entonces existe una subsucesi´on (yn | n ∈ N) de (xn | n ∈ N) tal que, para cada subsucesi´on (zn | n ∈ N) de (yn | n ∈ N) se cumple que x 6 ∈ Λ(zn | n ∈ N),
que es una operaci´on infinitaria no determinista.
1.3. Homomorfismos. Una vez definido el concepto de Σ-´algebra, un medio para estudiarlas es el de compararlas entre s´ı, para ello definimos los homomor- fismos entre las mismas, la composici´on de los homomorfismos y establecemos las propiedades b´asicas de la composici´on.
Definici´on 1.3. Un Σ-homomorfismo o, para abreviar, un homomorfismo de A = (A, F A) en B = (B, F B) es un triplo ordenado (A, f, B), abreviado como f y denotado por f : A //B, en el que f es una aplicaci´on de A en B, tal que, para cada σ ∈ Σ, con ar(σ) = n, el diagrama:
An^
f n^ //
F (^) σA ≤ ≤
Bn
F (^) σB ≤ ≤ A f
B
conmuta, i.e., para cada x ∈ An, f (F (^) σA (x)) = F (^) σB (f n(x)). A los homomorfismos de una Σ-´algebra en s´ı misma los denominamos endomorfismos.
Proposici´on 1.4. Sean f : A //B, g : B //C y h : C //D tres homomorfis- mos de Σ-´algebras. Entonces:
- Siendo idA = (A, idA, A), se cumple que idA : A //A, el homomorfismo identidad de A, es un endomorfismo de A.
- Siendo g◦f = (A, g◦f, C), se cumple que g◦f : A //C, el homomorfismo composici´on de f y g, es un homomorfismo de A en C.
- (Asociatividad). El diagrama:
A
f (^) //
g ◦ f % %
KKK
KKK
KKK
KKK
KKK
h ◦ (g ◦ f )
(h ◦ g) ◦ f
B
g ≤ ≤
h ◦ g
K K % %
KKK
KKK
KKK
KKK
K
C
h
D
conmuta.
8 JUAN CLIMENT
- (Neutros). Los diagramas:
A
idA (^) //
f " "
EEEE
EE
EE
EE
EE A
f ≤ ≤ B
y (^) A
f (^) //
f " "
EEEE
EE
EE
EE
EE B
idB ≤ ≤ B
conmutan.
Demostraci´on.
- Puesto que, para cada n ∈ N, idnA = idAn , tenemos que idA : A //A es un homomorfismo, ya que entonces, para cada σ ∈ Σ, con ar(σ) = n, el diagrama:
An^
idnA (^) //
F (^) σA ≤ ≤
An
F (^) σA ≤ ≤ A idA
A
conmuta.
- Puesto que, para cada n ∈ N, gn^ ◦ f n^ = (g ◦ f )n, y, por hip´otesis, para cada σ ∈ Σ, con ar(σ) = n, los diagramas:
An^
f n^ //
F (^) σA ≤ ≤
Bn
F (^) σB ≤ ≤ A f
B
y (^) Bn^
gn^ //
F (^) σB ≤ ≤
Cn
F (^) σC ≤ ≤ B (^) g //C
conmutan, entonces tambi´en conmuta el diagrama:
An^
(g ◦ f )n^ //
F (^) σA ≤ ≤
Cn
F (^) σC ≤ ≤ A g ◦ f
C
luego g ◦ f : A //C es un homomorfismo. §
En lo que sigue, salvo indicaci´on expresa de lo contrario, supondremos elegido un universo de Grothendieck U, arbitrario pero fijo, y que todos los conjuntos que consideremos son elementos del mismo.
Corolario 1.5. Las Σ-´algebras A tales que A ∈ U, junto con los homomorfismos entre ellas constituyen una categor´ıa, a la que denotamos por Alg(Σ).
Definici´on 1.6.
10 JUAN CLIMENT
las sub´algebras de las mismas, y que son las partes que tienen la propiedad de estar cerradas bajo las operaciones estructurales de las que est´an dotadas las ´algebras.
Definici´on 1.7. Sean A = (A, F A) y B = (B, F B) dos Σ-´algebras y X un sub- conjunto de A.
- Si σ ∈ Σ, con ar(σ) = n, decimos que X est´a cerrado bajo la operaci´on Fσ : An^ //A si, para cada a ∈ Xn, F (^) σA (a) ∈ X, i.e., si F (^) σA [Xn] ⊆ X.
- Decimos que X es un cerrado de A si, para cada σ ∈ Σ con ar(σ) = n, y cada a ∈ Xn, F (^) σA (a) ∈ X, i.e., si X est´a cerrado bajo cada una de las operaciones estructurales de A. Al conjunto de los cerrados de A lo denotamos por Cl(A).
- Decimos que B es una sub´algebra de A, y lo denotamos por B ≤ A , si B ⊆ A y si la inclusi´on can´onica, inB = (B, inB , A), de B en A es un homo- morfismo de B en A. Si adem´as B 6 = A, decimos que B es una sub´algebra estricta de A. Denotamos por Sub(A) el conjunto de las sub´algebras de A.
Proposici´on 1.8. Sea A una Σ-´algebra. Entonces existe una biyecci´on, natural, entre el conjunto Cl(A), de los cerrados de A y el conjunto Sub(A), de las sub´alge- bras de A. Adem´as, esa biyecci´on se extiende hasta un isomorfismo, cuando los conjuntos Cl(A) y Sub(A) se consideran ordenados por la inclusi´on.
Demostraci´on. En efecto, la aplicaci´on de Cl(A) en Sub(A) que a un cerrado X de A = (A, F A) le asigna la sub´algebra X = (X, (F (^) σA πX | σ ∈ Σ)) de A es una biyecci´on entre ambos conjuntos. §
No s´olo es cierto que existe una biyecci´on entre el conjunto de los cerrados de una Σ-´algebra A y el de las sub´algebras de la misma, sino que adem´as hay una biyecci´on entre tales conjuntos y un cierto conjunto cociente del conjunto de las cotas inferiores monom´orficas de A.
Definici´on 1.9. Sea A una Σ-´algebra. Una cota inferior monom´orfica de A es un par (B, f ) en el que B es una Σ-´algebra y f un homomorfismo inyectivo de B en A. Al conjunto de las cotas inferiores monom´orficas de A lo denotamos por Mono(A).
Observemos que Mono(A), para cada Σ-´algebra A, es un subconjunto del uni- verso U. Vamos a definir sobre el conjunto Mono(A) una relaci´on de equivalencia de modo que el conjunto cociente resultante, que seguir´a siendo una parte del uni- verso, sea isomorfo a un elemento del universo U , por lo tanto tal conjunto cociente ser´a, en definitiva, un elemento de U.
Definici´on 1.10. Sea A una Σ-´algebra y (B, f ), (C, g) dos cotas inferiores mo- nom´orficas de A. Decimos que (B, f ) precede a (C, g), y lo denotamos por (B, f ) ≤ (C, g), si hay un morfismo t : B //C tal que f = g ◦ t. Por ´ultimo, decimos que (B, f ) y (C, g) son equivalentes, y lo denotamos por (B, f ) ≡ (C, g), si (B, f ) precede a (C, g) y (C, g) precede a (B, f ).
Sea A una Σ-´algebra y (B, f ), (C, g) dos cotas inferiores monom´orficas de A. Demu´estrese que (B, f ) ≤ (C, g) si y s´olo si hay un ´unico homomorfismo inyectivo t : B //C tal que f = g◦t. Adem´as, demu´estrese que (B, f ) ≡ (C, g) precisamente si hay un ´unico isomorfismo t : B //C tal que f = g ◦ t.
Proposici´on 1.11. Sea A una Σ-´algebra. Entonces la relaci´on de precedencia sobre el conjunto de las cotas inferiores de A es un preorden y, por lo tanto, la de equivalencia sobre el mismo conjunto es una relaci´on de equivalencia.
Demostraci´on. §
Proposici´on 1.12. Sea A una Σ-´algebra. Entonces el conjunto Cl(A) es isomorfo al conjunto cociente Mono(A)/ ≡.
11
Demostraci´on. §
Proposici´on 1.13. Sea f : A //B un homomorfismo inyectivo y g : C //B. Si Im(g) ⊆ Im(f ), entonces existe un ´unico homomorfismo h : C //A tal que el diagrama:
C
g ≤ ≤
h
| | yy yyy
yy yy yy y
A
f
B
conmuta.
Demostraci´on. Por ser f un homomorfismo inyectivo, es evidente que hay a lo sumo un homomorfismo h : C //A tal que g = f ◦ h. Por lo que respecta a la existencia, dado un c ∈ C, se cumple que g(c) ∈ Im(f ), luego hay un a ∈ A tal que f (a) = g(c). Adem´as tal elemento de A es ´unico, porque f es un homomorfismo inyectivo. Por consiguiente hay un ´unico a ∈ A tal que f (a) = g(c). Sea entonces h : C //A la aplicaci´on que a un c ∈ C le asigna el unico´ a ∈ A tal que f (a) = g(c). Es evidente que al componer h con f obtenemos g. Veamos que h es un homo- morfismo de C en A. Sea σ ∈ Σ tal que su ariedad sea n y (c 0 ,... , cn− 1 ) ∈ Cn. Entonces, siendo Hσ la operaci´on estructural de C correspondiente a σ, tenemos que h(Hσ (c 0 ,... , cn− 1 )) es el ´unico elemento a de A tal que f (a) = g(Hσ (c 0 ,... , cn− 1 )). Ahora bien, por una parte, por ser g homomorfismo, tenemos que
g(Hσ (c 0 ,... , cn− 1 )) = Gσ (g(c 0 ),... , g(cn− 1 ))
y, por otra, por ser Fσ (h(c 0 ),... , h(cn− 1 )) un elemento de A tal que
f (Fσ (h(c 0 ),... , h(cn− 1 ))) = Gσ (f (h(c 0 )),... , f (h(cn− 1 ))),
podemos afirmar que f (Fσ (h(c 0 ),... , h(cn− 1 ))) = Gσ (g(c 0 ),... , g(cn− 1 )), de donde
h(Hσ (c 0 ,... , cn− 1 )) = Fσ (h(c 0 ),... , h(cn− 1 )). §
Proposici´on 1.14. Sea A una Σ-´algebra y X un cerrado de A. Entonces hay una Σ-´algebra X, la sub´algebra de A asociada a X, y un homomorfismo inyectivo inX : X //A, la inclusi´on can´onica de X en A, tal que:
- Im(inX) = X.
- (Propiedad universal) Para cada homomorfismo f : B //A, si Im(f ) ⊆ X, entonces existe un ´unico homomorfismo g de B en X tal que el diagra- ma: B
f ≤ ≤
g
| | yyy
yy yy yy yy y
X
inX
A
conmuta.
Demostraci´on. §
Proposici´on 1.15. Si f : A //B, entonces Im(f ) es un cerrado de B.
Demostraci´on. §
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- Si A ≤ B y C ≤ D, entonces una condici´on necesaria y suficiente para que exista un homomorfismo t de C en A tal que el diagrama
C _¬
inC ≤ ≤
t (^) // A _¬
inA ≤ ≤ D (^) g //B
conmute, es que g[C] ⊆ A. Adem´as, tanto en el primero como en el segundo caso t est´a un´ıvocamente de- terminado y recibe el nombre de birrestricci´on de g a C y A.
Demostraci´on. §
Proposici´on 1.18. Sea A una Σ-´algebra. Entonces el conjunto de los cerrados de A, Cl(A), es un sistema de clausura algebraico sobre A, i.e., tiene las siguientes propiedades:
- A ∈ Cl(A).
- Si C ⊆ Cl(A) y C 6 = ∅, entonces
C∈C C^ ∈^ Cl(A).
- Si C ⊆ Cl(A), C 6 = ∅ y si dados X, Y ∈ C, hay un Z ∈ C tal que X ∪Y ⊆ Z, entonces
C∈C C^ ∈^ Cl(A).
Demostraci´on. Debido a que es evidente que A es un cerrado de A, nos limitamos a demostrar las dos ´ultimas propiedades.
- Sea C un conjunto no vac´ıo de cerrados de A, σ ∈ Σ, con ar(σ) = n y a ∈ (
C∈C C)
n. Entonces, para cada C ∈ C, se cumple que F A σ (a)^ ∈^ C, luego F (^) σA (a) ∈
C∈C C.
- Sea C un conjunto no vac´ıo de cerrados de A tal que dados X, Y ∈ C, exista un Z ∈ C tal que X ∪ Y ⊆ Z, σ ∈ Σ, con ar(σ) = n y a ∈ (
C∈C C)
n. Entonces,
para cada i ∈ n, hay un Ci ∈ C tal que ai ∈ Ci. Ahora bien, por estar la familia de cerrados C dirigida superiormente, hay un C ∈ C tal que, para cada i ∈ n, Ci ⊆ C, luego, para cada i ∈ n, ai ∈ C, pero, por ser C un cerrado de A, se cumple que F (^) σA (a) ∈ C, por lo tanto que F (^) σA (a) ∈
C∈C C.^ §
Corolario 1.19. Sea A una Σ-´algebra. Entonces la endoaplicaci´on SgA del con- junto Sub(A), definida como:
SgA
Sub(A) //Sub(A) X 7 −→
{ C ∈ Cl(A) | X ⊆ C }
tiene las siguientes propiedades:
- Im(SgA) ⊆ Cl(A).
- { X ∈ Sub(A) | X = SgA(X) } = Cl(A).
- SgA es extensiva o inflacionaria, i.e., para cada X ∈ Sub(A), X ⊆ SgA(X).
- SgA es is´otona, i.e., para cada X, Y ∈ Sub(A), si X ⊆ Y , entonces se cumple que SgA(X) ⊆ SgA(Y ).
- SgA es idempotente, i.e., para cada X ∈ Sub(A), SgA(X) = SgA(SgA(X)).
- SgA es algebraica, i.e., para cada X ⊆ Sub(A), si X 6 = ∅ y para cada X, Y ∈ X , existe un Z ∈ X tal que X ∪ Y ⊆ Z, entonces SgA(
⋃ X^ ) =
X∈X SgA(X). Por consiguiente, para cada X ⊆ A, SgA(X) es el m´ınimo cerrado de A que contie- ne a X, y lo denominamos el cerrado de A generado por X. Adem´as, a la sub´algebra de A can´onicamente asociada a SgA(X), la denotamos por SgA(X) y la denomi- namos, tambi´en, la sub´algebra de A generada por X.
14 JUAN CLIMENT
Demostraci´on. Nos limitamos a demostrar las cuatro ´ultimas propiedades, dejando las dos primeras como ejercicios.
- Sea X ∈ Sub(A). Puesto que SgA(X), por definici´on, es
{ C ∈ Cl(A) | X ⊆ C }, es evidente que X ⊆ SgA(X).
- Sean X, Y ∈ Sub(A) tales que X ⊆ Y. Entonces { C ∈ Cl(A) | Y ⊆ C } est´a incluido en { C ∈ Cl(A) | X ⊆ C }, luego SgA(X) lo est´a en SgA(Y ).
- Sea X ∈ Sub(A). En virtud de la extensividad y de la isoton´ıa, se cumple que SgA(X) ⊆ SgA(SgA(X)). Rec´ıprocamente, debido a que SgA(SgA(X)) es el m´ınimo cerrado de A que contiene a SgA(X) y SgA(X) es un cerrado de A que se contiene a s´ı mismo, se cumple que SgA(SgA(X)) ⊆ SgA(X).
- Sea X ⊆ Sub(A), tal que X 6 = ∅ y para cada X, Y ∈ X , existe un Z ∈ X tal que X ∪ Y ⊆ Z. Puesto que, para cada X ∈ X , X ⊆
X∈X X, podemos afirmar, en virtud de la isoton´ıa, que, para cada X ∈ X , SgA(X) ⊆ SgA(
X∈X X),
por lo tanto
X∈X SgA(X)^ ⊆^ SgA(
X∈X X). Rec´ıprocamente, por ser la familia de conjuntos X ⊆ Sub(A) no vac´ıa y estar dirigida superiormente, la familia de sub´algebras de A, (SgA(X) | X ∈ X ) no es vac´ıa y est´a dirigida superiormente, por lo tanto
X∈X SgA(X) es una sub´algebra de^ A^ que, adem´as, contiene a^
X∈X X,
luego tambi´en contiene a SgA(
X∈X X).
⋃^ Sea^ A^ una^ Σ-´algebra. Demu´estrese que, para cada subconjunto^ X^ de^ A, SgA(X) = K⊆finX SgA(K). En general no se cumple que SgA(X) =^
x∈X SgA({x}).
Proposici´on 1.20. Si B ≤ A y X ⊆ B, entonces SgB(X) = SgA(X)
Demostraci´on. §
La proposici´on anterior nos autoriza, para una Σ-´algebra A y un subconjunto X de A, a escribir simplemente Sg(X) en lugar de SgA(X). A continuaci´on, introducimos unas nociones que nos permitir´an obtener una descripci´on m´as constructiva de la sub´algebra generada por un conjunto.
Definici´on 1.21. Sea A = (A, F ) una Σ-´algebra. Entonces:
- Denotamos por EA el operador sobre Sub(A), definido como:
EA
Sub(A) //Sub(A) X 7 −→ X ∪
σ∈Σ Fσ^ [X
ar(σ)]
- Si X ⊆ A, entonces denotamos por (En A(X) | n ∈ N) la familia en Sub(A) definida por recursi´on como: E^0 A(X) = X, En A+1 (X) = EA(En A(X)), n ≥ 0.
Adem´as, convenimos que:
Eω A(X) =
(En A(X) | n ∈ N)
Proposici´on 1.22. Si A es una Σ-´algebra y X ⊆ A, entonces SgA(X) = Eω A(X).
Demostraci´on. Demostramos en primer lugar que SgA(X) ⊆ Eω A(X). Para ello, debido a que SgA(X) es el m´ınimo cerrado de A que contiene a X, es suficiente que demostremos que Eω A(X) es un cerrado de A y que contiene a X. Ahora bien, E^0 A(X) = X, luego X ⊆ Eω A(X). Por otra parte, si σ ∈ Σ, con ar(σ) = m y a ∈ (Eω A(X))m, entonces, para cada α ∈ m, hay un nα ∈ N tal que aα ∈ En Aα (X), pero la familia (En A(X) | n ∈ N) es una cadena ascendente, luego hay un β ∈ m tal que, para cada α ∈ m, En Aα (X) ⊆ En Aβ (X), por lo tanto, para cada α ∈ m,
aα ∈ E nβ A (X), de donde^ F^
A σ (a)^ ∈^ E
nβ + A (X), por consiguiente^ F^
A σ (a)^ ∈^ E ω A(X).
16 JUAN CLIMENT
Proposici´on 1.26. Sea A una Σ-´algebra finitamente generada y X un cerrado de A tal que X 6 = A. Entonces hay un cerrado distinto de A que contiene a X y es maximal con dichas propiedades.
Demostraci´on. Sea XX = { C ∈ Cl(A) | X ⊆ C y C 6 = A }. El conjunto XX no es vac´ıo, porque X ∈ XX. Por otra parte, si (Ci | i ∈ I) es una cadena no vac´ıa en (XX , ⊆), entonces
i∈I Ci^ es el supremo de (Ci^ |^ i^ ∈^ I) en (XX,Y^ ,^ ⊆). En efecto, es evidente que el cerrado
i∈I Ci^ de^ A^ es tal que^ X^ ⊆^
i∈I Ci^ y que^
i∈I Ci^6 =^ A, esto ´ultimo debido a que si ocurriera que
i∈I Ci^ =^ A, entonces, ya que^ A^ es una^ Σ- ´algebra finitamente generada, SgA(F ) = A, para una parte finita F = { aα | α ∈ n } de A, luego, para cada α ∈ n, existir´ıa un iα ∈ I tal que aα ∈ Ciα , pero, por ser (Ci | i ∈ I) una cadena, existir´ıa un β tal que, para cada α ∈ n, aα ∈ Ciβ , as´ı que F ⊆ Ciβ , de donde Ciβ = A, que es una contradicci´on, luego
i∈I Ci^ ∈ XX^ y, evidentemente es el supremo de (Ci | i ∈ I) en (XX,Y , ⊆). Por consiguiente, en virtud del lema de Zorn, en el conjunto ordenado (XX , ⊆) hay un maximal. §
Proposici´on 1.27. Si A es una Σ-´algebra finitamente generada, entonces cual- quier conjunto de generadores de A contiene un subconjunto finito que tambi´en genera A. Adem´as, A tiene un conjunto de generadores minimal.
Demostraci´on. Sea X un conjunto de generadores de A e Y = { yα | α ∈ n } un conjunto de generadores finito de A. Entonces, ya que SgA(X) =
K⊆finX SgA(K) y SgA(X) = A, se cumple que, para cada α ∈ n, hay un Kα ⊆fin X tal que yα ∈ Kα, luego
α∈n Kα^ ⊆fin^ X^ y SgA(
α∈n Kα) =^ A. Para demostrar que A tiene un conjunto de generadores minimal, es suficiente tomar en consideraci´on que siendo el propio A un conjunto de generadores de A, A contiene un subconjunto finito que tambi´en genera A, luego el conjunto GA = { K ⊆fin A | SgA(K) = A } 6 = ∅, por lo tanto el conjunto { card(K) | K ∈ GA }, no siendo vac´ıo, tiene un m´ınimo n, es suficiente entonces tomar un K ∈ GA tal que card(K) = n para obtener un conjunto de generadores minimal. §
Proposici´on 1.28. Sea A una Σ-´algebra y X un conjunto de generadores minimal de A. Si X es infinito, entonces cualquier conjunto de generadores de A es tal que su cardinal es al menos el cardinal de X. En particular, A no puede ser una Σ- ´algebra finitamente generada y dos conjuntos de generadores minimales infinitos cualesquiera de A tienen el mismo cardinal.
Demostraci´on. Por ser X un conjunto de generadores de A, SgA(X) = A y, por ser SgA algebraico, SgA(X) =
F ⊆finX SgA(F^ ), luego, para cada^ y^ ∈^ Y^ , hay una parte finita Fy de X tal que y ∈ SgA(Fy ). Por consiguiente Y ⊆ SgA(
y∈Y Fy^ ), pero SgA(Y ) = A, luego SgA(X) = SgA(
y∈Y Fy^ ), i.e.,^
y∈Y Fy^ es un conjunto de generadores de A y
y∈Y Fy^ ⊆^ X. Se cumple que^
y∈Y Fy^ =^ X, porque, en caso contrario, X no ser´ıa minimal. Adem´as, Y es infinito, ya que, en caso contrario, X ser´ıa finito. Por otra parte, se cumple que
card(X) ≤ card(
y∈Y Fy^ )^ ≤^
y∈Y Fy^ ≤ ℵ^0 ·^ card(Y^ ) = card(Y^ ). §
Demu´estrese que si A es una Σ-´algebra que est´a generada por un conjunto infinito numerable, entonces cualquier conjunto de generadores de A contiene un subconjunto numerable que tambi´en genera A.
Proposici´on 1.29. Si A es una Σ-´algebra, entonces una condici´on necesaria y suficiente para que toda ω-cadena ascendente de sub´algebras de A sea estacionaria es que toda sub´algebra de A est´e finitamente generada.
17
Demostraci´on. La condici´on es suficiente. Supongamos que toda sub´algebra de A est´e finitamente generada y sea (Xn | n ∈ N) una ω-cadena ascendente de sub´alge- bras de A. Entonces la sub´algebra
n∈N Xn^ tiene una parte finita^ K^ =^ {^ aα^ |^ α^ ∈ n } tal que
n∈N Xn^ = SgA(K), luego, para cada^ α^ ∈^ n, hay un^ nα^ ∈^ N^ tal que aα ∈ Xnα , pero, por ser (Xn | n ∈ N) una cadena ascendente, hay un β ∈ n tal que, para cada α ∈ n, Xnα ⊆ Xnβ , as´ı que K ⊆ Xnβ , de donde
n∈N Xn^ =^ Xnβ y, por lo tanto la cadena ascendente (Xn | n ∈ N) es estacionaria. La condici´on es necesaria. Supongamos que A tenga una sub´algebra X que no est´e finitamente generada, i.e., que sea tal que, para cada subconjunto finito K de X, SgA(K) 6 = X. Entonces, para ∅ se cumple que SgA(∅) 6 = X, luego podemos elegir un x 0 ∈ X − SgA(∅). Puesto que {x 0 } es un subconjunto finito de X, SgA({x 0 }) 6 = X y adem´as SgA(∅) ⊂ SgA({x 0 }). Por ser SgA({x 0 }) 6 = X, podemos elegir un x 1 ∈ X −SgA({x 0 }). Puesto que {x 0 , x 1 } es un subconjunto finito de X, SgA({x 0 , x 1 }) 6 = X y adem´as SgA({x 0 }) ⊂ SgA({x 0 , x 1 }). Procediendo de este modo obtenemos una familia (xn | n ∈ N) en X que da lugar a una ω-cadena estrictamente creciente
SgA(∅) ⊂ SgA({x 0 }) ⊂... ⊂ SgA({ x 0 ,... , xn− 1 }) ⊂... ,
de sub´algebras de A. La ´ultima parte de esta demostraci´on se puede presentar de una manera m´as rigurosa tomando en consideraci´on el axioma de las elecciones dependientes, que es estrictamente m´as d´ebil que el axioma de elecci´on. Recordemos que el axioma de las elecciones dependientes afirma que para cada conjunto C que no sea vac´ıo y cada relaci´on binaria Φ sobre C, si para cada x ∈ C existe un y ∈ C tal que (x, y) ∈ Φ, entonces hay una ω-sucesi´on (cn)n∈N en C tal que, para cada n ∈ N, (cn, cn+1) ∈ Φ. Para el conjunto Subfin(X) y la relaci´on binaria Φ sobre este ´ultimo conjunto definida, para dos subconjuntos finitos F , G de X, como:
(F, G) ∈ Φ si y s´olo si F ⊆ G y ∃x ∈ G tal que x 6 ∈ SgA(F ),
se cumple que Subfin(X) 6 = ∅ y que, dado un subconjunto finito F de X, hay un subconjunto finito G de X tal que (F, G) ∈ Φ, es suficiente tomar como G el conjunto F ∪ {x}, siendo x cualquier elemento de X − SgA(F ). Por lo tanto, en virtud del axioma de las elecciones dependientes, hay una ω-sucesi´on (Fn)n∈N en Subfin(X) tal que para cada n ∈ N, (Fn, Fn+1) ∈ Φ, de donde obtenemos la ω-cadena estrictamente creciente
SgA(F 0 ) ⊂ SgA(F 1 ) ⊂... ⊂ SgA(Fn) ⊂... ,
de sub´algebras de A. §
Sabemos que, para cada signatura algebraica Σ y cada Σ-´algebra A, el operador SgA sobre el conjunto A es un operador clausura algebraico. Demostramos a conti- nuaci´on un teorema de Birkhoff-Frink, que establece el rec´ıproco, i.e., que cualquier operador clausura algebraico sobre un conjunto se puede obtener, de al menos una forma, a partir de una signatura algebraica y una estructura algebraica para tal signatura, sobre el conjunto en cuesti´on.
Teorema 1.30 (Birkhoff-Frink). Si J es un operador clausura algebraico sobre un conjunto A, entonces hay una signatura algebraica Σ y una estructura de Σ-´algebra F sobre A tal que J coincide con Sg(A,F ).
19
Sean A y B dos Σ-´algebras. Demu´estrese que hay a lo sumo un homomorfismo de SgA(∅) en B. Adem´as, si tal homomorfismo existe, demu´estrese que tiene como imagen la sub´algebra de B generada por ∅.
Proposici´on 1.34. Sea f una biyecci´on de un conjunto de generadores X de una Σ-´algebra A en un conjunto de generadores Y de otra Σ-´algebra B. Si g y h son extensiones homomorfas de f y de la inversa f −^1 hasta A y B, resp., entonces g es un isomorfismo de A en B, cuyo inverso es h.
Demostraci´on. §
Corolario 1.35. Sea f : A //B un homomorfismo y X un subconjunto de A tal que SgA(X) = A. Entonces f es inyectivo precisamente si se cumplen las siguientes condiciones:
- f es inyectiva sobre X, i.e., f πX es inyectiva.
- inX ◦ (f πX)−^1 tiene una extensi´on homomorfa hasta SgB(Im(f πX)), i.e., hay un homomorfismo g : SgB(Im(f πX)) //A tal que el diagrama:
Im(f πX)
inIm(f π X) /^ /
inX ◦ (f πX)−^1 P P ' '
PPP
PPP
PPP
PPP
PPP
P
SgB(Im(f πX))
g ≤ ≤ A conmuta.
Demostraci´on. Puesto que X un conjunto de generadores de A, el conjunto f [X] es un conjunto de generadores de Im(f ). Luego f πX, por ser inyectiva, establece una biyecci´on entre el conjunto de generadores X de A y el conjunto de generadores f [X] de Im(f ), por lo tanto podemos aplicar la proposici´on anterior a esta situaci´on. §
Proposici´on 1.36. Sea f : A //B un homomorfismo de Σ-´algebras, X un cerra- do de A e Y uno de B. Entonces f [X] ∈ Cl(B) y f −^1 [Y ] ∈ Cl(A). En particular, Im(f ) ∈ Cl(B).
Demostraci´on. §
La proposici´on que establecemos a continuaci´on afirma, por comparaci´on con la situaci´on en topolog´ıa, que los homomorfismos entre ´algebras son adem´as cerrados, i.e., conmutan con el operador de formaci´on de sub´algebras.
Proposici´on 1.37. Sea f : A //B un homomorfismo de Σ-´algebras y X ⊆ A. Entonces f [SgA(X)] = SgB(f [X]), i.e., el diagrama:
Sub(A)
f [·] (^) //
SgA ≤ ≤
Sub(B)
SgB ≤ ≤ Sub(A) f [·]
Sub(B)
conmuta.
Demostraci´on. Puesto que X ⊆ SgA(X), f [X] ⊆ f [SgA(X)]. Ahora bien, SgB(f [X]) es la m´ınima sub´algebra de B que contiene a f [X] y f [SgA(X)] es una sub´algebra de B que contiene a f [X], por lo tanto SgB(f [X]) ⊆ f [SgA(X)].
20 JUAN CLIMENT
Para demostrar la inversa, ya que SgA(X) =
n∈N E
n A(X) y^ f^ [
n∈N E
n ⋃^ A(X)] = n∈N f^ [E
n A(X)], es suficiente que demostremos, por inducci´on finita, que, para cada n ∈ N, f [En A(X)] ⊆ SgB(f [X]). Para n = 0, se cumple que f [E^0 A(X)] ⊆ SgB(f [X]), porque f [E^0 A(X)] = f [X]. Supongamos que, para n ≥ 0, se cumpla que f [En A(X)] ⊆ SgB(f [X]). Entonces, ya que En A+1 (X) = En A(X) ∪
σ∈Σ F^
A σ [E
n A(X) ar(σ)] y
f [En A(X) ∪
σ∈Σ F^ A σ [E
n A(X) ar(σ)]] = f [En A(X)]^ ∪^
σ∈Σ f^ [F^ A σ [E
n A(X) ar(σ)]]
para demostrar que f [En A+1 (X)] ⊆ SgB(f [X]), es suficiente que demostremos que f [En A(X)] ⊆ SgB(f [X]) y que
σ∈Σ f^ [F^
A σ [E
n A(X) ar(σ)]] ⊆ Sg A(X). Ahora bien, lo primero se cumple por la hip´otesis de inducci´on. Sea pues σ ∈ Σ, con ar(σ) = m y a ∈ (En A(X))m, entonces, ya que f (F (^) σA (a)) = F (^) σB (f m(a)), y f m(a) ∈ SgB(f [X]), se cumple que f (F (^) σA (a)) ∈ SgB(f [X]), por lo tanto En A+1 (X) ⊆ SgB(f [X]). §
Proposici´on 1.38. Sea f : A //B un homomorfismo de Σ-´algebras y X un sub- conjunto de A tal que SgA(X) = A. Entonces f es un homomorfismo sobreyectivo precisamente si f [X] es un conjunto de generadores de B.
Demostraci´on. §
Definici´on 1.39. Sea A una Σ-´algebra y a ∈ A. Decimos que a es un no-generador de A precisamente si, para cada X ⊆ A, si Sg(X ∪ {a}) = A, entonces Sg(X) = A. Denotamos por Frat(A) el conjunto de los no-generadores de A.
Proposici´on 1.40. Sea A una Σ-´algebra. Entonces Frat(A) es un cerrado de A, al que llamamos el cerrado de Frattini de A.
Demostraci´on. §
Proposici´on 1.41. Sea A una Σ-´algebra. Entonces Frat(A) es la intersecci´on de todos los cerrados maximales de A, si tal conjunto de cerrados no es vac´ıo, y es A en caso contrario.
Demostraci´on. Si a es un no-generador de A, entonces para cada cerrado maximal X de A, Sg(X ∪ {a}) est´a entre X y A, pero no puede ser igual a A porque X = Sg(X) ⊂ A. Por lo tanto Sg(X ∪ {a}) = X, luego a ∈ X. As´ı que el conjunto de los no-generadores de A est´a contenido en cualquier cerrado maximal de A. Por otra parte, si a ∈ A no es un no-generador, entonces hay un subconjunto X de A tal que Sg(X ∪ {a}) = A pero Sg(X) = A. Sea Y el conjunto de todos los cerrados Y de A tales que X ⊆ Y y a 6 ∈ Y. Se cumple que Y 6 = ∅, porque Sg(X) ∈ Y. Adem´as, la uni´on de una cadena no vac´ıa en (Y, ⊆) est´a en Y. Por lo tanto (Y, ⊆) tiene un maximal Y. Para cada cerrado Z de A, si Y ⊂ Z, entonces a ∈ Z, y puesto que X ⊆ Z, Z = A. Luego Y es un cerrado maximal de A. Esto demuestra que a no pertenece a la intersecci´on de todos los maximales de A. §
Demostraci´on. Sea A una Σ-´algebra y supongamos que tenga cerrados maximales. Vamos a demostrar que
∀a ∈ A (a ∈ Frat(A) → a ∈
C∈Cl(A) C maximal
C).
Sea a ∈ A y supongamos que a 6 ∈
C∈Cl(A) C maximal
C, i.e., que hay un cerrado maximal
C de A tal que a 6 ∈ C. Queremos demostrar que entonces a 6 ∈ Frat(A), i.e., que hay un subconjunto X de A tal que Sg(X ∪ {a}) = A pero Sg(X) 6 = A. Sea X = C, siendo C un cerrado maximal de A tal que a 6 ∈ C. Entonces Sg(C ∪ {a}) = A, porque, en caso contrario, C no ser´ıa un cerrado maximal.
