TEOR´
IA DE LA COMPUTABILIDAD
J. Climent Vidal.
1. Descripci´
on.
La teor´ıa de la computabilidad, tambi´en denominada teor´ıa de la recur-
si´on, es una de las cuatro partes que constituyen la l´ogica matem´atica, sien-
do las otras tres, la teor´ıa de conjuntos, la teor´ıa de modelos y la teor´ıa
de la demostraci´on, y se ocupa del estudio y clasificaci´on de las relaciones
y aplicaciones computables. Adem´as, la teor´ıa de la computabilidad, junto
con la teor´ıa de aut´omatas, lenguajes y m´aquinas, es el fundamento de la
inform´atica te´orica y esta, a su vez, de la industria de los ordenadores.
Desde tiempo inmemorial se sabe que cierta clase de problemas, e.g., la
determinaci´on del m´aximo com´un divisor de dos n´umeros enteros, mediante
el algoritmo de Euclides, o la determinaci´on de los n´umeros primos, mediante
la criba de Erat´ostenes, son algor´ıtmicamente solubles, i.e., hay algoritmos
o procedimientos mec´anicos que permiten obtener la soluci´on del problema
en cuesti´on. De manera que hasta principios del siglo XX se daba por hecho
que exist´ıan algoritmos y que el ´unico problema resid´ıa en determinarlos.
As´ı pues, si lo que se desea es determinar un algoritmo, no hay ninguna
necesidad de definir la clase de todos los algoritmos; eso s´olo es necesario si
se pretende demostrar que alg´un problema no es algor´ıtmicamente soluble,
i.e., que para dicho problema no hay ning´un algoritmo que lo resuelva.
Es posible que el primero en afirmar la no existencia de un algoritmo fuera
Tietze en 1908, qui´en dijo de los grupos de presentaci´on finita:
“. . . la cuesti´on acerca de cu´ando dos grupos son isomorfos no es soluble
en general.”
Pero parece ser que fue, por una parte, el problema de la decidibilidad
de la l´ogica de predicados planteado por Hilbert y Ackermann en su libro
sobre l´ogica, publicado en 1928, y, por otra, el asunto de la solubilidad de
todo problema matem´atico, lo que indujo, en aras a resolverlos, a diversos
investigadores a partir de 1930, y entre los que cabe mencionar a G¨odel,
Church y Turing, a proponer diversas formalizaciones del concepto informal
de funci´on mec´anicamente computable. Debido a que de todas esas formali-
zaciones, y de otras propuestas por Kleene, Post y Markoff, se demostr´o que
eran dos a dos equivalentes, se propuso la hip´otesis, conocida como Hip´otesis
de Church-Turing-Post-Kleene, que afirma la coincidencia entre el concep-
to informal de funci´on parcial mec´anica o algor´ıtmicamente computable, y
el concepto formal, matem´atico, de aplicaci´on parcial recursiva. Natural-
mente, esa hip´otesis, de car´acter similar a otras hip´otesis propuestas en las
ciencias emp´ıricas, no es demostrable, y su fundamento ´ultimo reside en las
equivalencias antes mencionadas.
Este curso estar´a dedicado, en primer lugar, al estudio de diferentes clases
de aplicaciones recursivas, desde las recursivas primitivas, hasta las parciales
recursivas, pasando por las recursivas generales, as´ı como al de diversas
clases de relaciones, entre las que cabe citar a las recursivas primitivas, las
recursivamente enumerables y a las recursivas, demostrando adem´as, ciertos
teoremas fundamentales de la teor´ıa de la recursi´on, debidos en gran medida
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