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ESTIMACIÓN PUNTUAL + 15 CAPITULO 2 ESTIMACIÓN PUNTUAL ! ALERTAS PRL CDMA IA Introducción al Proceso de Estimación i Propiedades de los 1 Estimadores Puntuales ALIAS - Métodos de Estimación Puntual: 3 : MM Momentos y M. Verosimilitud E 16 + ESTIMACIÓN PUNTUAL EJERCICIOS 2.1. La propiedad de insesgadez de un estimador puntual del parámetro “0” se interpreta como: a) El valor del estimador coincide con el parámetro. b) Los posibles valores del estimador estarán próximos al valor del parámetro poblacional, pues en promedio coinciden con éste. c) La distribución del estimador tiene una dispersión mínima alrededor del parámetro poblacional. d) El valor de su Error Cuadrático Medio es siempre cero. 2.2. Sean “9, ”y “9,” estimadores insesgados del parámetro “2”. Se define un nuevo estimador: 9*=23, +(1-4)9, con 0<2.<1; el cual verifica que es: a) Sesgado. b) Insesgado. c) No se puede analizar la insesgadez. d) Sesgo(9*) =Var(9). 2.3. Para estimar la media poblacional de una distribución “N(u,D ”, a partir de una muestra aleatoria de tamaño 10, se definen los tres estimadores siguientes: Ya, : Ñ Nx, -2 A=x 5 fa a) El estimador 1 es insesgado, el segundo presenta un sesgo de “2/1/8” y el tercero tiene un sesgo de “- 241/12”. b) Los tres son insesgados por ser estimadores lineales de las observaciones muestrales. c) El estimador 1 es insesgado, el segundo presenta un sesgo de “-24/12” y el tercero tiene un sesgo de “241/8”. d) Los estadísticos segundo y tercero, no pueden ser utilizados como estimadores. 18 + ESTIMACIÓN PUNTUAL Pope 2 si1oí 2 2 s.10; 2 ta) b) 5/3, c) Lo 5,10, (ml) o Isi 2/02 Am d) 2.8, El scsgo que resulta de estimar el 2 » YA 1) estadístico: =————— es: n a) Nulo. 2 b) Sesgo=-— e rn c) Desconocido. d) Sesgo= nl o? do n parámetro «do los mediante el 2.9. Si un estimador 4 de un parámetro cumple la propiedad de insesgadez, esto significa que: a) El valor del estimador coincide con el valor del parámetro. b) El sesgo se anula sólo si se aumenta el tamaño muestral. c) La esperanza del estimador coincide con el valor del parámetro. d) El valor esperado del estimador siempre coincide con ¿, la media poblacional. 2.10, De una variable aleatoria X cuyos parámetros poblacionales son desconocidos, se dispone de una muestra aleatoria de tamaño n=3. Se define el siguiente estimador: pta, +3x, o b Para que Ósea un estimador insesgado de la media poblacional, a y b deben ser iguales a los siguientos valores: aja=2 ;b=6 b)a=5 ;b=1 ESTIMACIÓN PUNTUAL + 19 c)ja=1 ;b=7 2.11. Sabiendo que E(09) = “4 que E(0) ST (1+139 n m0 (n-1' nó (+1? a) b) c) d) Será inconsistente. d) Para cualquier valor de a y b, es insesgado. un estimador insesgado de 6 será igual a: 2.12. De una población normal de “a%=1”, para estimar la media poblacional se definen a partir de una muestra aleatoria de tamaño n ( Xj ,x2 ,X3 ,...,Xn ) los tres siguientes estimadores: =1 . - ñ o M3 4x4) 5 1a 4 4 ; El valor de las varianzas de dichos estimadores son: =1 1 IR EE a) Var()=0,333 ; Var (u2)=4 ; Var (113)=0,333.. b) Var (11) = 0,333 ; Var (u2)=0,333 ; Var (113 )=0,333. c) Como: Var (11) < Var (12 ) < Var ( y ) ; entonces el yu, es el estimador eficiente, en términos absolutos. d) Ninguna de las anteriores. 2.13. El cociente de las varianzas de dos estimadores puntuales insesgados de un parámetro permite determinar: a) El coeficiente de variación. b) El sesgo. c) La varianza poblacional. d) La eficiencia relativa. ESTIMACIÓN PUNTUAL + 21 Xx, +2x, +3x Xx +dx,+x A= A A = TS El estimador que tiene una eficiencia relativa mayor es: a) Elsegundo, A. b) Ambos son igualmente eficientes. c) El primero, A. d) No se pueden comparar por no ser ambos insesgados. 2.18, Para estimar la media poblacional de una variable X se definen, a partir de una muestra aleatoria de tamaño n=10, dos estimadores: Aer Es cierto que: a) A es más eficiente que /2, , en términos relativos. b) A, es más eficiente que A,, en términos relativos, Cc) A, tiene la misma varianza que la media muestral. d) La eficiencia relativa entre ambos es, aproximadamente, de un 61,5%. 2.19. Señale la respuesta correcta: a) Un estimador consistente es siempre insesgado. b) La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional sólo cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande. c) Cuando el sesgo de un estimador es positivo, indica que dicho estimador sobrevalora el verdadero valor del parámetro poblacional. d) El estimador más eficiente entre todos los estimadores insesgados, será el que tenga mayor varianza, 2.20. El concepto de cota de Cramer-Rao está relacionado con el concepto de: a) Sesgo de un estimador. €) Eficiencia de un estimador. iRlerieds de ica 22 + ESTIMACIÓN PUNTUAL e) Linealidad de un estimador. d) Ninguna de las anteriores. 2.21. Un estimador es consistente si y sólo si verifica que: a) Su varianza es cero, b) Su sesgo y su varianza son nulos. Su Error Cuadrático Medio tiende a cero cuando el tamaño muestral tiene a infinito. d) Su varianza tiende a cero cuando el tamaño muestral tiende a infinito. a Ex E 2.22. Dado cl siguiente estimador de la media poblacional (4 ): 4= AT - Indique cuál n+ de las siguientes afirmaciones es cierta: a) Es un estimador insesgado de la media poblacional. b) Su varianza es igual a la de la media muestral. c) Es un estimador consistente. . n d) Su varianza es: —o* n+1 *2.23. La función de densidad de una variable aleatoria está definida: 16) si0
Px=D= AS PA=D= > con “8 > 4”, La estimación del parámetro “9” por el método de los momentos a partir de una muestra aleatoria que ha proporcionado una media de 1,2 será: a)5 b)4 03 d) 4,5 2.29. Dada la siguiente función de densidad: 25x si00 0 resto de casos El estimador por el método de la máxima verosimilitud del parámetro “3”, a partir de una muestra aleatoria de tamaño n, es: n Y nx, bp) 9H +1 Ex a) %= ESTIMACIÓN PUNTUAL + 27 b) El valor del estimador de “p” por el método de los momentos es le doble que el e valor del estimador por el método de máxima verosimilitud. Z- Y 3 wa =07 c) P(p>0,7)=0,05. El valor del estimador de “p” por el método de la máxima verosimilitud es 0,3. z 2.39. La función de densidad de una variable es: 9 00 0 Otros casos 100» Si se dispone de una muestra aleatoria de tamaño nm, la ecuación de la función logarítmica de verosimilitud para estimar el parámetro poblacional es: a) n-In9+9-in() x,) b) m9+)Inx? e) Inm9-9-T]inx, ¿ d) n-1n9+9-Y' nx, 2.40. Sea la función de densidad: 1 5) : 10)= g* ? six>19>0 0 otros casos Si tenemos la siguiente muestra; (2,3,7,1); el estimador máximo verosímil del parámetro toma el valor de: a) 0,934 b) 1,07 c) 0,934 d) Ninguno de los anteriores. 2.41. Si una variable aleatoria tiene la siguiente función de densidad: role six>0 0 Otros casos El estimador máximo verosímil del parámetro “a” es: 28 + ESTIMACIÓN PUNTUAL c) d a=l0gYx, > á= ax) 2.42. En la función de verosimilitud de una mucstra: a) b) c) d) Se conoce el valor de los parámetros, pero son desconocidos los valores muestrales. No se puede utilizar un muestreo aleatorio simple. Se precisa conocer tanto el valor de los parámetros como los valores muestrales. Se desconoce el valor de los parámetros, pero son conocidos los valores muestrales. 2.43. Indique cuál de las siguientes afirmaciones no es cierta: a b) o] d) Ei método de los momentos consiste en igualar los momentos de la distribución de la población con los correspondientes momentos muestrales, para estimar un parámetro desconocido de la distribución. St una variable aleatoria tiene una función de densidad f(x;0,,0,,..,9,) que se caracteriza por los parámetros 9,,0,,..,O, y observamos una muestra aleatoria con valores x,,xX,,..,x,, los estimadores máximo verosímiles de Q,,0,...,Ó, son los valores de estos parámetros que generarían con mayor frecuencia la muestra observada, Si cuando tiende a infinito el tamaño de la muestra, se cumple que la varianza del estimador tiende a cero, se dice que Ú es un estimador consistente de 0. Respecto a un mismo parámetro desconocido, no siempre coinciden las fórmulas de cálculo del estimador por el método de los momentos y el obtenido por el método de la máxima verosimilitud. 2.44. Una variable aleatoria X tiene la siguiente función de densidad: 10% Oj 0 otros casos six>0 30 + ESTIMACIÓN PUNTUAL 2.48. Escoja la respuesta correcta: a) En la función de verosimilitud las observaciones muestrales (X1,.....,X») se suponen constantes y los parámetros son conocidos. b) Los estimadores obtenidos por el método de los momentos son siempre eficientes (en términos absolutos). c) Los estimadores obtenidos por el método de los momentos pueden ser insesgados. d) Ninguna de las anteriores Eo variable X sigue una distribución Uniforme (1,32) con 9 > 0.A partir de una muestra de 15 observaciones con una media muestral igual a 8; el estimador del parámetro 2 por el Método de los Momentos toma un valor de: a)3 b) 16 (63 d)8 2.50. Elija la afirmación FALSA: a) Un estimador puntual es un estadístico muestral que aproxima el valor de un parámetro. b) La estimación puntual de un parámetro siempre toma el mismo valor numérico, aunque se cambie la muestra. c) Si un mismo parámetro se estima por dos métodos, el de los Momentos y el de Máxima Verosimilitud, no siempre se obtienen dos fórmulas del estimador iguales. d) Un estimador puntual es siempre una variable aleatoria. 2.51. Seleccione la afirmación CORRECTA: a) Un estimador insesgado es siempre eficiente (en términos absolutos). b) Si la varianza de un estimador coincide con la cota de Cramer-Rao, el estimador es siempre eficiente en términos absolutos. e) Todo estimador consistente es insesgado. d) Si un estimador es insesgado, siempre se verifica: El E -E (51 = El5 - al 2.52. La variable aleatoria X tiene la siguiente función de densidad: (1+ Dx? 0O6) observaciones se proponen los dos siguientes estimadores: Bb =x/2 D,=X,+x,+xX% Es cierto que: a) El estimador É, es insesgado. b) La Varianza: Var(b,)=b* 16 c) En el límite (n —> 00 ) E.C.MA 5, ) tiende a cero. d) En el límite (n > ) E.C.M£ 5,) no tiende a cero. 2.55. Dada una variable aleatoria con la siguiente función de densidad: (1+9).x% 0
