Composición de Funciones, Diapositivas de Matemática Elemental

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Composición de Funciones

Módulo 5

Matemática Básica

Sesión complementaria 06

Motivación

Un centro de terapias de rehabilitación estima que los pacientes locales que ingresarán a las terapias se puede

modelar a través de la función T 𝑝 = 2 𝑝

2

• 500 terapias de rehabilitación al mes, cuando el precio sea “p”

soles por terapia de rehabilitación. Además, se estima que dentro de “t” meses, el precio seguirá un

comportamiento 𝑝 𝑡 = 0. 04 𝑡

2

• 1. 2 𝑡 + 12 soles por terapia, donde t está en meses.

a) Exprese el número de terapias de rehabilitación por mes “T” como una función del tiempo “t”.

b) Dentro de 10 meses cuántas terapias de rehabilitación se estima que podrá realizar el centro de terapias.

Terapia física

Saberes previos

Fuente: Freepik

1. Si se tiene la función g ( t ) = t

2

• 2 , hallar g(x+ 1 ).

a) 𝑔 𝑥 = 𝑥

2

• 2 𝑥 + 1

b) 𝑔 𝑥 = 𝑥

2

• 2 𝑥 + 3

c) 𝑔 𝑥 = 2 𝑥

2

• 2 𝑥 + 3

2. Si se tiene la función f ( x ) = x + 1 , hallar f( t

2

• 2 )

a) 𝑓 𝑡 = 𝑡

2

• 3

b) 𝑓 𝑡 = 𝑡

2 − 3

c) 𝑓 𝑡 = 𝑡

2

• 2

Definición

La composición de funciones es la aplicación sucesiva de dos o más funciones sobre un elemento de partida ”x”.

Siendo ”f” y ”g” dos funciones, se define la composición de dos funciones como:

𝒇𝒐𝒈 𝒙 = 𝒇[𝒈 𝒙 ]

Y se lee ”composición de f con g de x”.

Definición

El dominio de “f o g” es el conjunto de todas las “x” en el dominio de “g”, tales que “g(x)” está en el dominio de

“f”, es decir:

( f  g )( x ) = f ( g ( x )) Dom ( f  g ) = x / x  Dom ( g ) g ( x ) Dom ( f )

Composición de Funciones

x

g f

Dom(g) Dom(f)

Ran(g) (^) Ran(f)

g(x)

f[g(x)]

La composición de funciones se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda, de manera

que en (f o g)(x) primero actúa la función g y luego la función f sobre g(x).

( f  g )( x ) = f ( g ( x )) Dom ( f  g ) = x / x  Dom ( g ) g ( x ) Dom ( f )

Composición de Funciones

Solución:

Tercero: Calculamos el dominio

Por definición:

1

5

Composición de Funciones

Solución:

Ejemplo 2 :

Hallar (𝑓𝑜𝑔)(𝑥), así como su dominio, si: 𝑓 𝑥 = 3 𝑥

2

• 2𝑥 + 10 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = f 𝑔 𝑥 =

2

• 4 𝑥 + 4 + 2 𝑥 + 4 + 10

2

• 14 𝑥 + 26

2

• 2 𝑥 + 2 + 10

Primero: Analizando la existencia de f o g , es decir: 𝑅𝑎𝑛(𝑔) ∩ Dom 𝑓 ≠ ∅

𝑅𝑎𝑛 𝑔 ∩ Dom 𝑓 = 𝑅 ≠ ∅

Segundo: Hallando la composición f o g

∴ Existe𝑓 ∘ 𝑔

Como 𝑅𝑎𝑛 𝑔 = 𝑅 𝑦 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜

Notar que f y g son funciones polinómicas entonces Dom g = R , Dom f = R.

Composición de Funciones

Solución:

Ejemplo 3 :

Hallar (𝑔𝑜𝑓)(𝑥), así como su dominio, si:

Primero: Analizando la existencia de g o f , es decir:

𝑅𝑎𝑛(𝑓) ∩ Dom 𝑔 ≠ ∅

∴ Existe 𝑔 ∘ 𝑓

Como: 𝑥 ∈ − 7 ; 2 → − 7 ≤ 𝑥 ≤ 2

Segundo: Hallando la composición g o f

Composición de Funciones

Solución:

Tercero: Calculamos el dominio

Por definición:

Composición de Funciones

Solución:

Según el enunciado del problema, tenemos:

Número de años de educación : E

Ingreso anual : (^) 𝐼(𝐸) =

2

• 2

Valor numérico de la posición social:

−

𝐼

2

Nos piden calcular la posición social “S” en términos de

los años de educación “E”:

𝑆[𝐼 𝐸 ]

Halle la función que relacione la posición social “S”

en términos de los años de educación “E”.

𝑆 ∘ I 𝐸 = 𝑆[𝐼 𝐸 ]

2

• 2

−

5 𝐸 2

• 2

𝐸+ 1500 2

𝑆 E = 2400 − 650 𝑒

−

5 𝐸 2

• 2

𝐸+ 1500 2

Función que relaciona la posición social “S” en

términos de los años de educación “E”.

Aplicaciones

Ejemplo 5

En una compañía de celulares el costo total de fabricación de “q” unidades de celulares durante un día de

trabajo es:

2

• 500 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

En un día típico de trabajo en el transcurso del tiempo “t” en horas, se fabrica:

a) Exprese el costo de fabricación “C” como una función del tiempo “t”

b) ¿Cuánto será el dinero invertido en la producción al final de la 5 ta. hora?

c) ¿Cuándo llegará el costo total de fabricación a los 15 000 dólares?

Aplicaciones

Solución:

c) ¿Cuándo llegará el costo total de fabricación

a los 15 000 dólares?

b) ¿Cuánto será el dinero invertido en la producción

al final de la 5 ta. hora?

2

• 500

2

• 500

Del ítem (a) se tiene:

Reemplazando con 𝑡 = 5 :

El costo total de fabricación terminada la 5ta hora es

de 45 500 dólares.

2

2

• 500

2

• 500

2

2

2

El costo total de fabricación llegará a los 15 000

dólares a las 2. 84 horas.

Aplicaciones

Solución de la Motivación

Un centro de terapias de rehabilitación estima que los pacientes locales que ingresarán a las terapias se puede

modelar a través de la función T 𝑝 = 2 𝑝

2

• 500 terapias de rehabilitación al mes, cuando el precio sea “p”

soles por terapia de rehabilitación. Además, se estima que dentro de “t” meses, el precio seguirá un

comportamiento 𝑝 𝑡 = 0. 04 𝑡

2

• 1. 2 𝑡 + 12 soles por terapia, donde t está en meses.

a) Exprese el número de terapias de rehabilitación por mes “T” como una función del tiempo “t”.

b) Dentro de 10 meses cuántas terapias de rehabilitación se estima que podrá realizar el centro de terapias.

Terapia física