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Composición de funciones
Dadas las funciones f : A → B y g : C → D bajo ciertas condiciones es posible obtener una función h que se denomina función compuesta de de g con f que se define por: h: A → D/ h(x) = (g f)(x) = g(f(x) (g f se lee “g compuesta con f”)
Definición
La fórmula que define a la función compuesta h significa que debemos aplicar la función g a las imágenes de f o sea a f(x). Observamos que para que h sea función debe verificarse que la imagen de f esté incluida o sea igual al dominio de g (Im(f) Dom(g)).
Ejemplo 1. Consideremos las funciones f: /f(x) = 2x y g: /g(x) = x^2 y calculemos (gf)(1) Como es (gf)(1) = g(f(1) debemos primero calcular f(1). f(1) = 2.1 = 2 Entonces (gf)(1) = g(f(1)) = g(2) = 2^2 = 4 Para cualquier otro x, será: (gf)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)^2 = 4x^2
También puede definirse h: C → B/ h(x) = (f g)(x) = f(g(x)) En este caso debe estar la imagen de g incluida en el dominio de f.
Ejemplo 2. Para las funciones del ejemplo 1, calculemos (fg)(3). Al ser (fg)(x) = f(g(x)), debemos aplicar f a las imágenes de g. Como las imágenes de g son de la forma g(x) = x^2 , podemos escribir: (fg)(3) = f(3^2 )) = 2.3^2 = 18 Para cualquier otro x, será: (fg)(x) = f(g(x)) = f(x^2 ) = 2x^2
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Los ejemplos anteriores muestran que la composición de funciones no es conmutativa. Esto es: (g f)(x) (f g)(x)
Ejemplo 3. Consideremos ahora las funciones f: [0; +) /f(x) = x y g: /g(x) = -2x y calculemos (fg)(1). Como es (fg)(1) = f(g(1)), buscamos primero g(1). g(1) = -2. 1 = - Entonces, (fg)(1) = f(g(1)) = f(-2) = 2 Pero nos encontramos con un cálculo que no podemos efectuar ya que x = -2 no pertenece al dominio de f. Nos olvidamos que para que la composición f g sea posible debe estar la imagen de g incluida en el dominio de f. ¿Entonces? Si primero escribimos la fórmula de la función compuesta, aplicando primero g y luego f tenemos una manera de ver cuál es la restricción para que esté definida f g. (fg)(x) = f(g(x)) = f(-2x) = 2 x Vemos que es necesario que el radicando -2x sea mayor o igual que cero para poder calcular la raíz, es decir: -2x 0 Dividiendo por -2 ambos miembros de la desigualdad: x 0 Con lo que el dominio de f g es Dom(f g) = (- ; 0] Por ello no fue posible hallar (fg)(1) ya que 1 no pertenece al dominio de la función compuesta.
Ejemplo 4.
Sean f(x) =x + 3 y g(x) = (^) x^1 a) Hallar el dominio y la fórmula de las funciones compuestas gf y fg. b) Calcular (fg)(1) y (gf)(-3)
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Buscamos la expresión de g f (gf)(x) = g(f(x)) = g(3x-7) = 2(3x-7) + k = 6x – 14 + k
Buscamos la expresión de f g (fg)(x) = f(g(x)) = f(2x+k) = 3(2x + k) – 7 = 6x + 3k – 7 Como debe ser (g f)(x) = (f g)(x) igualamos las fórmulas que encontramos: 6x – 14 + k = 6x + 3k – 7 De donde es: 6x – 6x -14 + 7 = 3k – k Y operando: -14 + 7 = 2k -7 = 2k Dividiendo por 2 ambos miembros, 27 k
Hallamos el valor de k. Para asegurarnos que se verifica que para este valor hallado es (g f)(x) = (f g)(x) sustituimos en las fórmulas respectivas. (gf)(x) = 6x – 14 + k Reemplazando por 27 k (gf)(x) = 6x – 14 +
2
7
= 6x – 14 27 = 6x ^352 Del mismo modo, reemplazando en (fg)(x) = 6x + 3k – 7 Es (fg)(x) = 6x + 3. (^)
2
= 6x ^21 2 – 7 = 6x ^352
Como para k = 27 se verifica (gf)(x) = (fg)(x), afirmamos que k = 27 es el número real buscado.
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Ejemplo 6 Una piedra se arroja a un liquido y se forman círculos cuyo radio se incrementa en función del tiempo t (en segundos) según la fórmula r(t) = 4t. Sabiendo que el área de cada círculo es A(r) = r^2 : a) Hallar una función que exprese el área de cada círculo conocido el tiempo. b) Calcular el área de un círculo transcurridos 5 segundos de ser arrojada la piedra. Solución Comencemos resolviendo el punto b). Para calcular el área del círculo debemos usar la fórmula: A(r ) = r^2. Y para usarla, es necesario conocer el radio del círculo transcurridos 5 segundos, lo que podemos hacer sabiendo que el radio es una función del tiempo t, ya que es r(t) = 4t De este modo a los 5 segundos de ser arrojada la piedra, el círculo que forma tendrá un radio dada por: r(5) = 4. 5 = 20 Ahora podemos remplazar en A(r ) = r^2. A(20) = (20)^2 = 400 Entonces a los 5 segundos de ser arrojada al agua, el área del círculo que describe es 400 .
Vamos ahora al ítem a) Según lo que acabamos de hacer, para calcular el área del círculo conocido el tiempo transcurrido después de ser arrojada la piedra, debimos: primero calcular el radio del círculo usando la función r(t) = 4t luego el área, reemplazando el valor hallado en A(r ) = r^2 En términos de composición de funciones, esto se puede expresar en la forma: (Ar)(t) = A(r(t)) lo que nos indica que primero debemos calcular el radio del círculo y luego el área. De este modo es: (Ar)(t) = A(r(t)) = A(4t) = (4t)^2 = 16t^2 = 16t^2 Por lo que la función que expresa el área de cada círculo conocido el tiempo es A(r(t)) = 16t^2 cuyo dominio es Dom(A) = [0; +) Podemos preguntarnos ahora si usando esta expresión podemos responder al item b)
