compresion de divisibilidad, Apuntes de Matemáticas

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Análisis de la comprensión de

Divisibilidad en el conjunto de los Números

Naturales.

Samuel David Bodí Pascual

ISBN: 978-84-690-9 721 -2 · Depósito Legal: A-171-

UNIVERSIDAD DE ALICANTE

FACULTAD DE EDUCACIÓN

Departamento de Innovación y Formación Didáctica

Análisis de la comprensión de Divisibilidad en el conjunto de los Números

Naturales.

ISBN: 978-84-690-9721-2 · Depósito Legal: A-171-

Samuel David Bodí Pascual

Alicante, 2006

2. MARCO TEÓRICO

2.1. LA CONSTRUCCIÓN DE OBJETOS MATEMÁTICOS

2.2. UNA APROXIMACIÓN PIAGETIANA DE LA CONSTRUCCIÓN DEL

CONOCIMIENTO

2.2.1. Teoría APOS.

2.2.1.1. Las construcciones mentales.

2.2.1.2. Los mecanismos.

2.2.1.3. La descomposición genética.

2.2.1.4. Desarrollo de un esquema.

2.2.2. Potencialidad de la Teoría APOS.

2.2.3. La comprensión de la divisibilidad en N desde la Teoría APOS.

2.3. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN.

3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN

3.1. DISEÑO, APLICACIÓN Y ANÁLISIS CUANTITATIVO DEL

CUESTIONARIO PILOTO

3.1.1. Sujetos.

3.1.2. Identificación de los contenidos del cuestionario piloto.

3.1.3. Elaboración del cuestionario piloto.

3.1.4. Aplicación y análisis cuantitativo del cuestionario piloto:

1. Índice de Dificultad

2. Homogeneidad.

3. Índice de Discriminación (correlación biserial puntual).

4. Índice de Fiabilidad.

5. Validez.

6. Generalizabilidad.

3.1.5. Conclusiones del análisis del cuestionario piloto.

3.2. PRUEBA DEFINITIVA

3.2.1. Sujetos.

3.2.2. Instrumentos de recogida de datos.

3.2.2.1. El Cuestionario.

• Los problemas del cuestionario.
• Elementos y representaciones de las nociones de divisibilidad.

4.2.1.1. Forma de conocer Acción.

4.2.1.2. Forma de conocer Proceso.

4.2.1.3. Forma de conocer Objeto.

4.2.2. Caracterización de los niveles de desarrollo del esquema de Divisibilidad.

4.2.2.1. Nivel Intra.

4.2.2.2. Nivel Ínter.

4.2.2.3. Nivel Trans.

4.2.2.4. Características del desarrollo del esquema de Divisibilidad en N.

4.2.3. Tematización del esquema de Divisibilidad.

5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

5.1. SOBRE LAS FORMAS DE CONOCER LOS ELEMENTOS

MATEMÁTICOS DEL ESQUEMA DE DIVISIBILIDAD.

5.2. DESARROLLO DEL ESQUEMA DE DIVISIBILIDAD.

5.3. LOS MODOS DE REPRESENTACIÓN, LA UNICIDAD DE LA

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Y EL DESARROLLO DEL ESQUEMA

DE DIVISIBILIDAD

5.4. LA CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO

5.5. LIMITACIONES. IMPLICACIONES PARA FUTURAS INVESTIGACIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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A ma mare, per tot i per tant

Car no perdura el vent de les paraules, ans el risc de donar-se per comprendre i el que compta és l’esforç de cada dia compartit tenaçment amb els qui creuen que cada gest eixampla l’esperança, que cap dia no es perd per als qui lluiten. Martí i Pol

¿Qué es la vida? Un frenesí. ¿Qué es la vida? Una ilusión, una sombra, una ficción, y el mayor bien es pequeño: que toda la vida es sueño, y los sueños, sueños son. Calderón de la Barca

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LISTA DE TABLAS Y ESQUEMAS

Tabla 1.1. Contenidos de Divisibilidad en los Cuestionarios Nacionales de 1953 y 1965. Tabla 1.2. Contenidos, desarrollo curricular y actividades sobre divisibilidad. Editorial SM. Tabla 1.3. Contenidos, desarrollo curricular y actividades sobre divisibilidad. Editorial Marfil. Esquema 2.1. Esquema del marco teórico APOS. Tabla 3.1. Desarrollo Curricular de la Divisibilidad en N. Tabla 3.2. Índice de Dificultad en cada uno de los cursos estudiados. Tabla 3.3. Categorización de los Índices de Dificultad. Tabla 3.4. Matriz de componentes rotados. Cuestionario piloto. Cuestionario 3.5. Cuestionario Definitivo: Problemas, ítems, procedencia y objetivos. Tabla 3.6. Elementos Matemáticos Divisibilidad. Esquema 3.1. Proceso de elaboración definitiva de los instrumentos de recogida de datos del Cuestionario. Tabla 3.7. Distribución del número de alumnos, por niveles y deciles, que se han seleccionado para la entrevista clínica. Tabla 3.8. Caracterización de las Formas de Conocer la Divisibilidad en N. Tabla 3.9. Caracterización de los niveles del desarrollo del esquema de Divisibilidad. Esquema 3.2. Fase 1 del procedimiento de análisis. Esquema 3.3. Fase 2 del procedimiento de análisis. Tabla 4.1. Índices de Dificultad por cursos. Tabla 4.2. Categorización de los Índices de Dificultad por cursos. Tabla 4.3. Categorización de los niveles de Dificultad por ítems. Tabla 4.4. Categorías de dificultad de los ítems en los distintos cursos Tabla 4.5. Coeficientes de Generalizabilidad. Tabla 4.6. Factores obtenidos de la matriz de componentes rotados. Tabla 4.7. Formas de conocer los elementos matemáticos de Divisibilidad de los estudiantes de 1º de ESO.

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CAPÍTULO 1. IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA

El presente trabajo trata de la comprensión de los alumnos de Educación Secundaria sobre la divisibilidad en el conjunto de los números naturales. El estudio se centra en las formas de conocer y de construir el conocimiento de los conceptos de divisibilidad en el conjunto de los números naturales, en un rango de edad de 12 a 17 años- 1º de Enseñanza Secundaria Obligatoria (ESO), 4º de ESO, tanto en la modalidad de la opción A como B, y de 1º de Bachillerato, opciones Científico-Técnica y de Humanidades y Ciencias Sociales- (D.O.G.V de 8 de marzo de 2002 y D.O.G.V de 5 de abril de 2002). El campo en que se ubica el trabajo realizado es el de Pensamiento Numérico, dentro de la investigación en Didáctica de la Matemática.

En este primer capítulo realizaremos una breve reflexión sobre la divisibilidad en el conjunto de los números naturales tanto en el currículo de la educación primaria como en el de educación secundaria, y su tratamiento en los libros de texto de la educación secundaria ubicados en este momento en el primer ciclo. Finalizamos este capítulo exponiendo distintas aportaciones de diferentes investigadores sobre la comprensión de la divisibilidad en N.

La reflexión sobre la importancia del pensamiento, del razonamiento, de la resolución de problemas y de la comunicación centran los actuales esfuerzos de las matemáticas escolares (Silver et al., 1997). Señalan estos autores que no es suficiente que los alumnos conozcan los procedimientos aritméticos básicos, si no que además es necesario que sepan aplicarlos cuando corresponda y dar sentido a las situaciones que aparezcan desarrollando estrategias que les permitan formular y resolver problemas. Por ello, se espera que los alumnos sean capaces de dar una estructura a las nuevas situaciones, que generen hipótesis y analicen críticamente las estrategias más adecuadas en cada situación, de modo que estos estudiantes lleguen a ser ciudadanos más capacitados y estén preparados para afrontar los desafíos del nuevo siglo.

Los Decretos Curriculares de Educación Secundaria (Decretos 1007/1991, 831/2003, 47/1992 y 39/2002) y Bachillerato (1178/1992, 832/2003, 174/1994 y 50/2002) destacan la importancia de la

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aplicación de las matemáticas, más allá de la especialización científica, de su relación con las demás ciencias, y de su carácter instrumental, que ayude al alumno a comprender la realidad que le rodea. En Educación Secundaria cabe considerar la etapa obligatoria donde se han de cubrir las necesidades matemáticas básicas y proporcionar los instrumentos necesarios para posteriores estudios. Todos los alumnos deben adquirir los conocimientos necesarios para desenvolverse como ciudadanos capaces de ejercer sus derechos y sus deberes en una sociedad que incorpora cada vez más a su funcionamiento, a sus actividades y a su lenguaje ciertos aspectos matemáticos.

Para encuadrar nuestra investigación sobre la comprensión de la Divisibilidad hemos realizado un análisis histórico de contenidos de la divisibilidad a partir del desarrollo del currículo y del que realizan los proyectos editoriales. El análisis histórico y el estudio de significados institucionales (Godino, 1996) permiten concebir el funcionamiento mental y los contextos sociales y culturales como entidades que actúan conjuntamente, constituyendo aspectos de la acción humana. Además, es necesario destacar que los individuos se desarrollan en diferentes contextos culturales e institucionales, encontrándose los objetos matemáticos mediatizados por los significados institucionales.

1.1. LA DIVISIBILIDAD EN N.

En este apartado vamos a ofrecer un breve desarrollo histórico de la Divisibilidad. Presentaremos el por qué de su nacimiento y su formalización a lo largo de los siglos.

1.1.1. Desarrollo histórico de la Divisibilidad. La organización de las relaciones existentes entre los números constituye el origen de la teoría de la divisibilidad (Sierra et al., 1989). Entre los hechos en los que intervenían los conceptos de divisibilidad en la Antigüedad se pueden situar las necesidades de la agricultura y de la ganadería, y su dependencia y relación con las estaciones climáticas y ciclos lunares que hizo que se desarrollaran distintos tipos de calendarios.

Desde la Antigüedad hasta principios del siglo XIX los objetos principales de las matemáticas estaban constituidos por los números, las magnitudes y las figuras. Existía la creencia generalizada de

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Las definiciones de número, divisor, múltiplo y de las distintas clases de números fueron realizadas en términos de magnitudes. Los griegos no concibieron los números tal como hoy los concebimos. Consideraron razones (P : Q) entre magnitudes o proporciones, pero conceptualmente no pudieron formar el producto P x L entre magnitudes genéricas, noción que nunca definieron. Generalmente, entendieron el “producto” de dos longitudes como un área o un volumen, si uno de los factores era una longitud y el otro un área, si bien estos “productos” nunca constituyeron actos reflexivos y conscientes (Bochner, 1991).

El libro VII se completa con 22 proposiciones que junto con las 27 del libro VIII y las 36 del libro IX constituyeron investigaciones teóricas con, entre otros, los siguientes objetivos:

• Establecer un procedimiento, llamado “ antenaresis ” y conocido actualmente como “Algoritmo de Euclides” , para calcular el máximo común divisor de dos o más números desarrollado a través de las proposiciones VII-1 a VII-3: “ Dados dos números desiguales y restando sucesivamente el menor del mayor, si el que queda no mide nunca al anterior hasta que quede una unidad, los números iniciales serán primos entre sí ” (Proposición 1) “ Dados dos números no primos entre sí, hallar su medida común máxima ” (Proposición 2) Corolario: “ Si un número mide a dos números, entonces también mide a su medida común máxima ” “ Dados tres números no primos entre sí, hallar su medida común máxima ” (Proposición 3).
• Proponer distintas propiedades de la divisibilidad desde la proposición VII-4 a la proposición VII-
  11. Por ejemplo: “ Todo número es parte de todo número, el menor del mayor ” (Proposición 4) “ Si un número es parte de un número, y otro es la misma parte de otro, la suma será también la misma parte de la suma que el uno del otro ” (Proposición 5).
• Desarrollar la teoría de las proporciones para números mediante las proposiciones VII-12 a VII-20.
• Definir y establecer propiedades de los números primos entre sí a partir de las proposiciones VII-21 a VII-29.
• Clasificar los números en compuestos y primos (Proposición VII-31 y VII-32 respectivamente).

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• Establecer un procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números desarrollado a través de las proposiciones VII-33 a VII-39. Por ejemplo: “ Dados tantos números como se quiera, hallar los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos ” (Proposición 33). “ Dados dos números, hallar el menor número al que miden ” (Proposición 34). “ Si dos números miden a algún número, el número menor medido por ellos también medirá al mismo número ” (Proposición 35). “ Dados tres números, hallar el número menor al que miden ” (Proposición 36).

Por último, en el libro IX de Euclides encontramos, entre las 36 proposiciones que lo conforman, las proposiciones IX-1 a IX-11, donde se establecen propiedades de los “productos” entre números sólidos, cubos, cuadrados; a partir de las proposiciones IX-21 a IX-34, propiedades de los números pares e impares, de los parmente pares e impares y de los imparmente pares e impares. Además se incluye la proposición IX- 20- “ Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos ”- que establece que el conjunto de números primos es infinito, junto con proposiciones próximas al Teorema Fundamental de la Aritmética.

Las proposiciones IX-12, 13 y 14 - “ Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, por cuantos números primos sea medido el último, por los mismos será medido también el siguiente a la unidad ” (Proposición 12); “ Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales y el siguiente a la unidad es un número primo, el mayor no será medido por ningún otro fuera de los que se encuentran entre los números proporcionales ” (Proposición 13) y “ Si un número es el menor medido por números primos, no será medido por ningún otro número primo fuera de los que le medían desde un principio ” (Proposición 14), constituyen teoremas silogísticamente cercanos al Teorema Fundamental de la Aritmética, pero este teorema, según Bochner (1991), no pudo ser concebido por los griegos, ya que éstos

• no llegaron a concebir el producto de números reales, y
• nunca llegaron a darse cuenta de que en matemáticas se puede concebir una “ existencia ” totalmente independiente de la “constructibilidad”.

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Uno de los corolarios al teorema de Euclides sobre la existencia de infinitos números primos, lo enunció Dirichlet en este mismo siglo. En el siglo XIX, autores como Kummer, Dedekind y Kronecker generalizan la Teoría de Números, en particular la teoría de la divisibilidad, mediante la creación de la estructura de ideal.

El álgebra conmutativa moderna empezó a formalizarse hacia 1910 y en esta década aparece la noción general de anillo debido a Fraenkel. La Teoría de Números (Rey, 1941) ocupa a partir del siglo XX una posición prominente respecto de la Aritmética, del Álgebra y de la Geometría. La Teoría Elemental de Números abarca desde este siglo un amplio espectro en el ámbito de las Matemáticas, y en ella, en particular, podemos destacar el estudio de la estructura multiplicativa y de la divisibilidad en el conjunto de los números naturales. Entre aquellos aspectos que cabe mencionar en el estudio de la divisibilidad en N, se encuentran los conceptos de múltiplo, divisor, factor, ser divisible y criterios de divisibilidad; divisores y múltiplos comunes: el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo; número primo y número compuesto, o el Teorema Fundamental de la Aritmética, tratándose de un tema de gran potencialidad.

Esta breve revisión histórica nos permite conformar la Divisibilidad en N, en particular, y la Teoría de Números, en general, en tres grandes fases:

• 1ª Fase o de conceptualización.
• 2ª Fase o de las propiedades y procedimientos.
• 3ª Fase o de generalización. Las dos primeras debidas a Euclides y la última a matemáticos posteriores.
• 1ª Fase o de conceptualización La noción de número entendida como una magnitud (magnitud de un segmento) forzó a describir los conceptos de múltiplo, divisor, número primos y compuesto... en términos de “medida”, de medida de una magnitud. Esta forma de pensar estos conceptos impidió que los griegos concibieran el “producto” entre magnitudes genéricas. No llegaron a imaginar el producto de números reales.

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• 2ª Fase o de las propiedades y procedimientos Euclides formuló propiedades y procedimientos fundamentales para la Teoría de Números. Entre las propiedades destacamos las relativas a

♦ “la infinitud de los números primos”

♦ los teoremas silogísticamente próximos al Teorema Fundamental de la Aritmética. Este teorema no

pudo ser enunciado por los matemáticos griegos en los términos actuales al (a) no concebir el producto entre números reales; (b) no admitir una “existencia” independientemente de la “construcción”.

En cuanto a los procedimientos, Euclides estableció las bases de los procedimientos de cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números y del máximo común múltiplo de dos números, el hoy conocido como “Algoritmo de Euclides”.

• 3ª Fase o de generalización La estructura del conocimiento sobre divisibilidad en los tres últimos siglos ha permitido integrar dicho conocimiento en una configuración más amplía de estructuras algebraicas y consolidar a la Teoría de Números como un campo de investigación.

1.2. CURRÍCULO DE DIVISIBILIDAD EN EDUCACIÓN PRIMARIA Y SECUNDARIA EN EL

SIGLO XX.

En los siguientes apartados realizamos un resumen de las adaptaciones curriculares de la Divisibilidad en N en la Enseñanza Primaria y Secundaria en nuestro país desde principios del siglo XX hasta la actualidad. Los manuales escolares son un instrumento transmisor de los contenidos aceptados socialmente resultando interesante su contribución en la historia de la educación matemática (Sierra et al., 1999). La descripción de las características más importantes del tratamiento de la divisibilidad, ejemplificadas a través de distintos proyectos editoriales, la hemos dividido en seis periodos marcados por las reformas educativas y acontecimientos políticos:

I. Periodo anterior a 1931

II. Periodo comprendido entre 1931 y 1936