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Documento de apuntes universitarios sobre los conceptos básicos de funciones de una variable, específicamente sobre intervalos y funciones. Contiene objetivos, ejemplos, definiciones y ejercicios.
Tipo: Apuntes
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Matem´aticas Tema 1: Conceptos b´asicos sobre funciones de una variable
Joaqu´ın F. S´anchez Lara
Departamento de Matem´atica Aplicada Universidad de Granada
Grado en Administraci´on y Direcci´on de Empresas Curso 2015-
Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 1.1: Intervalos y funciones 1 / 75
(^1) Objetivos
(^2) La recta real R y sus subconjuntos
(^3) Funciones de una variable
(^4) Funciones elementales
5 Operaciones con funciones
6 Tipos de funciones
(^7) Funciones en econom´ıa
(^8) Anexo: El dominio maximal
(^9) ¿Qu´e hemos aprendido?
Objetivos
(^1) Comprender qu´e es un intervalo de la recta real, adem´as de los diferentes tipos que existen. (^2) Realizar operaciones con intervalos. (^3) Comprender qu´e es una funci´on real de una variable real, y determinar su dominio maximal. (^4) Conocer los distintos tipos de funciones que existen de acuerdo con sus propiedades. (^5) Conocer las funciones m´as relevantes aplicadas a la econom´ıa.
(^1) Objetivos
(^2) La recta real R y sus subconjuntos
(^3) Funciones de una variable
(^4) Funciones elementales
5 Operaciones con funciones
6 Tipos de funciones
(^7) Funciones en econom´ıa
(^8) Anexo: El dominio maximal
(^9) ¿Qu´e hemos aprendido?
Estos intervalos est´an comprendidos entre dos n´umeros reales a, b ∈ R: Intervalo cerrado de extremos a y b:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} x a
x b Intervalo abierto de extremos a y b:
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} xt a
xt b Intervalos ni abiertos ni cerrados de extremos a y b:
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} x a
xt b (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} xt a
x b Tambi´en se llaman intervalos semiabiertos, o semicerrados.
Ejemplo 1
(1, 4) = {x ∈ R : 1 < x < 4 }
xt 1
xt 4
2 ∈ (1, 4)
Intervalo compacto Un intervalo compacto es un intervalo cerrado y acotado:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
Ejemplos de intervalos compactos
[1, 2], [− 3 , 5 .5], [− 1 , e], [π, 2 π]
Son intervalos que se extienden hasta infinito en alguna direcci´on o en ambas de la recta real.
[a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a} (^) a +∞
(a, +∞) = {x ∈ R : x > a} (^) a +∞
(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} b
(−∞, b) = {x ∈ R : x < b} b
Ejemplo 2
(−∞, −1) = {x ∈ R : x < − 1 }
Conjunto vac´ıo: ∅.
Conjunto formado por un solo punto a: {a}.
a Conjunto formado por dos puntos a y b: {a, b}.
a (^) b
Tambi´en hay conjuntos formados por varios puntos. Ejemplo: { 2 , 5 , 8 , 9 } conjunto formado exclusivamente por dichos n´umeros. Cuidado con la notaci´on: (·, ·) o [·, ·] vs {·, ·}
1 ∈ [0, 2] pero 1 ∈ {/ 0 , 2 }
Uni´on de conjuntos Sean A 1 ⊂ R y A 2 ⊂ R dos conjuntos que pertenecen a R. Entonces la uni´on de estos dos conjuntos se define como
A 1 ∪ A 2 = {x ∈ R : x ∈ A 1 ´o x ∈ A 2 }
Otra forma de decirlo: x pertenece a la uni´on de conjuntos si pertenece a alguno de ellos.
Ejemplo 1 A 1 = { 2 } A 2 = (2, 3]
« =⇒ A 1 ∪ A 2 = { 2 } ∪ (2, 3] = [2, 3]
Ejemplo 2 A 1 = (−∞, −4) A 2 = [− 6 , 0] A 3 = {− 5 , − 2 , 1 }
=⇒^ A^1 ∪^ A^2 ∪^ A^3 = (−∞,^ 0]^ ∪ {^1 }
Intersecci´on de conjuntos Sean A 1 ⊂ R y A 2 ⊂ R dos conjuntos que pertenecen a R. Entonces la intersecci´on de estos dos conjuntos se define como
A 1 ∩ A 2 = {x ∈ R : x ∈ A 1 y x ∈ A 2 }
Otra forma de decirlo: x pertenece a la intersecci´on de conjuntos si pertenece a todos ellos
Ejemplo 1 A 1 = [− 1 , 3] A 2 = [0, 4]
« =⇒ A 1 ∩ A 2 = [− 1 , 3] ∩ [0, 4] = [0, 3]
Ejemplo 2 A 1 = { 2 } A 2 = (2, 3]
« =⇒ A 1 ∩ A 2 = ∅
