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Tema^12
Funciones
Obse rva
R = Q ∪ I
Conjunto de números reales
La unión del conjunto de los números racionales () y el conjunto de los números irracionales ( ) forman un nuevo conjunto que se denomina «conjunto de los números reales » y se denota así:
Definición previa
Las funciones forman parte de nuestras actividades cotidianas; por ejemplo, llegar a tiempo al colegio depende de la velocidad, o situaciones más complejas como el aumento del nivel del mar debido al deshielo polar en 120 años.
Observa ⊂ ⊂ ⊂
- El conjunto de los racionales está formado por los números que pueden escribirse como una división de enteros.
- El conjunto de los números irracionales está formado por los números que no pueden escribirse como una división de enteros. Entre ellos tenemos a los radicales inexactos, las constantes matemáticas y decimales que no tienen fracción generatriz. Ejemplos: 3 ; 5 ; p; 0,1234567......
a) ; 6; 0,4; b) 6 = c)
Ejemplos:
¿Sa bía s qu e...?
La letra N es la inicial de la palabra número (o natural). La letra Z es la inicial de la palabra zahl, que significa número en alemán. La letra Q es la inicial de la palabra quotient (cociente en inglés). Y la letra R es la inicial de la palabra real.
a b Q = / a ∈ Z ∧ b ∈ Z – {0}
Cambios de nivel del mar (cm)
Aumento reciente del nivel del mar
La recta numérica real o recta real es una recta geométrica que nos permite ordenar a los números reales.
La recta numérica real
2 p
positivos
negativos
MATE M ÁTICA Delta 2 - álgebra 177
Una función de A en B es un conjunto de pares ordenados (x ; y), tal que para cada elemento x ∈ A le corresponde un solo elemento y ∈ B.
Función
Dominio : conjunto de valores que puede tomar x (variable independiente). Dom(f) = {1 ; 2 ; 6 ; 8}
Rango: conjunto de valores que puede tomar y (variable dependiente). Ran(f) = {6 ; 8 ; 9}
A f B
Dominio
De las correspondencias, analiza si cada una es o no función.
f no es función porque un elemento del conjunto de salida, (3), no está relacionado.
g es función porque más de un elemento de salida está relacionado con un único elemento de llegada.
h no es función porque un elemento del conjunto de salida, (2), está relacionado con dos elementos.
Como en una función los elementos de salida están relacionados con un único elemento, estos no se repiten.
I mport a nte
(a ; b) ≠ (b ; a)
El conjunto A = {2; 3; 2; 3; 4; 5} Se escribe: A = {2; 3; 4; 5} Los elementos repetidos se escriben una sola vez.
A B
f
A B
g
A B
h
Rango
Ejemplos:
Sean las correspondencias:
a) f = {(2 ; 4), (4 ; 6), (6 ; 8), (8 ; 1)} f es función, los primeros componentes no se repiten.
b) g = {(2 ; 3), (3 ; –1), (2 ; 8), (5 ; 2)} g no es función, el primer componente (2) se repite.
c) h = {(0 ; 3), (1 ; 2), (3 ; 7), (1 ; 2), (5 ; 3)} h es función, el par repetido se escribe una sola vez, entonces los primeros elementos no se repiten.
MATE M ÁTICA Delta 2 - álgebra 179
Sea una función f: A → B / y = f(x), f es una función real de variable real si A y B con regla de correspondencia y = f(x). La variable x recibe el nombre de variable independiente o preimagen; y la variable y o f(x) es la variable dependiente o imagen.
Ejemplos:
a) f: → / y = 4x + 6 b) g: → / y = x^2 + 2x – 8
Función real de variable real
Funciones especiales
Función constante
f: → / y = f (x) = k
y
x
k k > 0
y
x
k < 0 k
Not a ción f: A → B / y = f(x) Donde: f: nombre de la función A: conjunto de salida B: conjunto de llegada y: regla de correspondencia
Función lineal afín
f: → / y = f(x) = mx + b, m ≠ 0
y
b
x
Gráfica de una función lineal afín. Para graficar una función lineal se debe tabular dos puntos.
Ejemplos:
a) Grafica f(x) = –2x + 8.
Resolución: Tabulamos: y = –2x + 8
x
x
y
y
b
y 8
4 x
Observa: Ubicamos los puntos (4 ; 0) y (0 ; 8) en el plano cartesiano y graficamos la función.
I mport a nte
Plano cartesiano
Eje x (abscisas) Eje y (ordenadas)
y
y
II cuadrante
I cuadrante
III cuadrante
IV cuadrante
Para esta gráfica: b > 0 ∧ m > 0
b) Dada la función f: [–3 ; 5〉 → / y = f(x) = –2x + 7. Determina el rango de f.
Resolución: Tenemos: –3 ≤ x < 5 El conjunto de salida es el dominio de la función. × (–2) : 6 ≥ –2x > –10 Buscamos y a partir del dominio.
Luego: –3 < y ≤ 13
∴ Ran(f) = 〈–3 ; 13]
Función identidad
Es aquella función lineal afín f(x) = mx + b, donde m = 1 y b = 0. f: → / y = f(x) = x
Observa:
- Siempre pasa por el origen de ordenadas.
- Su gráfica es la recta que es bisectriz de los cuadrantes I y III.
y
x
f(x) = x
Ejemplo: Sea f(x) = (x – 2)(x + m) – (x + 2)^2 + n – 1 una función identidad, halla m. n.
Resolución:
Función identidad: f(x) = x Desarrollando: f(x) = x^2 + (m – 2)x – 2m – (x^2 + 4x + 4) + n – 1 f(x) = (m – 6)x – 2m + n – 5
Por definición de función identidad: m – 6 = 1 ∧ –2m + n – 5 = 0 m = 7 ⇒ –2(7) + n – 5 = 0 n = 19
∴ m. n = 7 ∙ 19 = 133
Resolución: Sea la función constante: g(x) = k Entonces: g(13) = g(17) = g(7) = g(2020) = k Luego:
7 Halla la suma de los elementos enteros del rango 10 de la función. f: [–4 ; 3〉 → R / y = f(x) = –2x + 5 Resolución: Tenemos: –4 ≤ x < 3 × (–2) : 8 ≥ –2x > –
- 5 : 13 ≥ –2x + 5 > – Luego: –1 < f(x) ≤ 13 Elementos enteros del rango. Ran(f) = {0; 1; 2; 3; 4; ...; 12; 13} Piden: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 13 = 13 2 ∙^ 14 = 13 ∙ 7 = 91
Determina el valor de H = g(2020) + 3, siendo g(x) una función constante, que cumple la siguiente igualdad. g(13) + g(17) g(7) – 3
k + k k – 3
2k = 3(k – 3) ⇒ 2k = 3k – 9 ⇒ k = 9 Piden: H = g(2020) + 3 = 9 + 3 = 12
Si f(2x + 3) = 4x^2 + 10x + 7, calcula f(x). Resolución: Hacemos: 2x + 3 = n ⇒ x = n – 3 2 Entonces:
f(n) = 4 n – 3 2
n – 3 2
2
= 4 + 5(n – 3) + 7 (n – 3) 2 4 = n^2 – 6n + 9 + 5n – 15 + 7 = n 2 – n + 1 Hacemos: x = n ⇒ f(x) = x^2 – x + 1
Encuentra el rango de la función h. h : {–2; –1; 0; 3; 4} → / h(x) = –x^2 + 2x + 7 Resolución: Evaluamos para el dominio: x y = –x 2 + 2x + 7 –2 –(–2) 2 + 2(–2) + 7 = –4 – 4 + 7 = – –1 –(–1) 2 + 2(–1) + 7 = –1 – 2 + 7 = 4 0 –(0)^2 + 2(0) + 7 = –0 + 0 + 7 = 7 3 –(3) 2 + 2(3) + 7 = –9 + 6 + 7 = 4 4 –(4) 2 + 2(4) + 7 = –16 + 8 + 7 = – Luego: Ran(h) = {–1; 4; 7}
A partir de la gráfica, halla f(–5).
Resolución: Tenemos: y = f(x) = –x + n (–a ; c = 3) f(x): 3 = –(–a) + n 3 = a + n (1) (3a ; b = –1) f(x):–1 = –(3a) + n (2) (1) – (2) : 4 = 4a ⇒ a = 1 En (1) : 3 = 1 + n ⇒ n = 2 Luego: f(–5) = –(–5) + 2 = 7
y
(–a ; c) y = 3
y = –
x (3a ; b) y = f(x) = –x + n
La función g se define como:
g(x) =
–x + 6 ; x < – 5 ; –1 ≤ x < 6 2x – 7 ; x ≥ 6 Determina E = g(g(–2)) + g(g(1)). Resolución: –2 < –1: g(–2) = –(–2) + 6 = 8 8 ≥ 6 : g(8) = 2(8) – 7 = 9 ⇒ g(g(–2)) = g(8) = 9 –1 ≤ 1 < 6: g(1) = 5 –1 ≤ 5 < 6: g(5) = 5 ⇒ g(g(1)) = g(5) = 5 Luego: E = 9 + 5 = 14
Rpta. 91
Rpta. {–1; 4; 7}
Rpta. 7
Rpta. 14
Rpta. 12
Rpta. x 2 – x + 1
