Guía Matemática: Funciones I. Funciones de una Variable, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Guía Matemática: Funciones I. Funciones de una Variable y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

MATEMATICA

Tema 2

Curso de nivelación Distribución Gratuita

VAMOS A LA U Prohibida su comercialización

Contenido

• 1 RELACIONES
  • 1.1 Definición:
• 2. FUNCIONES
  • 2.1. Definición:
  • 2.2 Dominio
  • 2.3 Rango
  • 2.4 Notación
  • 2.5 Ejemplo de función:
  • 2.6 Criterio para el cálculo de dominio y rango de una función
  • 2.7 Función constante
  • 2.8 Función Afín
  • 2.9 Función lineal
  • 2.10 Función racional
    • 2.10.1 Dominio de una función racional
    • 2.10.2 Recorrido o rango de una función racional
  • 2.11 Función Irracional
  • 2.12 Tipos de funciones
    • 2.12.1 Función Inyectiva
    • 2.12.2 Función Sobreyectiva
    • 2.12.3 Función Biyectiva
    • 2.12.4 Función inversa
    • 2.12.5 Función creciente
    • 2.12.6 Función decreciente:
    • 2.12.7 Función par
    • 2.12.8 Función Impar
  • 2.13 Operaciones con Funciones
    • 2.13.1 Suma Y Resta De Funciones
    • 2.13.2 Producto y división de funciones
  • 2.14 Función Compuesta
  • 2.15 Función cuadrática.
    • 2.15.1 Representación gráfica de una función cuadrática
  • 2.16 Función Polinomial
    • 2.16.1 Gráfica de una función polinomial
    • 2.16.2 Operaciones con funciones polinomiales
  • 2.17 Función exponencial
    • 2.17.1 Gráfica de la función exponencial
    • 2.17.2 Función exponencial natural
    • 2.17.3 Leyes de exponentes
  • 2.18 Función Logarítmica
    • 2.18.1 Función Logaritmo Natural
    • 2.18.2 Función Logaritmo Común
    • 2.18.4 Propiedades de los logaritmos.
  • 2.19 Ecuaciones exponenciales
    • 2.19.1 Reducción a una base común
• 3. TRIGONOMETRÍA
  • 3.1 Medida de ángulos.
  • 3.2 Funciones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo
  • 3.3 Teorema de Pitágoras
  • 3.4 Funciones trigonométrica de ángulos notables
  • 3.5 Gráficos de las funciones trigonométricas.
  • 3.6 Relaciones Trigonométricas Fundamentales
  • 3.7 Ángulos compuestos
  • 3.8 Equivalencia de ángulos complementarios
  • 3.9 Equivalencia de ángulos suplementarios
  • negativos 3.10 Equivalencia de las funciones trigonométricas de ángulos
  • 3.11 Funciones de ángulos dobles
  • 3.12 Funciones del ángulo mitad
  • 3.13 Suma y diferencia de cosenos
• 4. PROGRESIONES
  • 4.1 Progresión aritmética
    • 4.1.1 Ecuación del término enésimo.
    • 4.1.2 Suma de los términos de una progresión aritmética
  • 4.2 Progresión geométrica
    • 4.2.1 Término enésimo
    • 4.2.2 Suma de una progresión geométrica.

x  A

y  Bóf ( x ) B

Figura 1. Representación gráfica de una función

Es decir que f es una función de A en B si:

i) f  A  B

ii)  x , y   f y x , y '  f  y  y '

Se debe tomar en cuenta que, si f es función, en f no pueden existir dos pares

ordenados con primeras componentes iguales y las segundas diferentes o lo

que es lo mismo, a un elemento de A no le pueden corresponder dos o más

elementos del conjunto B.

2.2 Dominio

Es el conjunto de todas las primeras componentes del par ordenado que

pertenece a una función “f”.

2.3 Rango

Es el conjunto de todas las segundas componentes del par ordenado que

pertenece a una función “f”.

Ejemplo:

    

 

Ran f  a bc 

Dom f

f a b c

( ) , ,

( ) 1 , 2 , 3

1 , , 2 , 3 ,







2.4 Notación

Para indicar que f es una función de A en B se usa las siguientes notaciones:

x y f x

f A B

o

x y f ( x )

A B

f

2.5 Ejemplo de función:

1. Sean A   1 , 2 , 3  y B  5 , 6 , 7 . Una función de A en B por ejemplo la asociación

siguiente

f

f

f

f A B

Lo cual podemos escribir como, f  1 , 5  , 2 , 7  , 3 , 6 

 

Re ( )  5 , 7 , 6 

c f

Dom f

2. Sean A   1 , 2 , 3  y B  5 , 6 , 7 .

f

f

f

f

g A B

En efecto g no es una función ya que al elemento 1 le corresponden dos

elementos del conjunto de llegada B.

Gráficamente se tiene que:

Si se trazan perpendiculares al eje de las abscisas y corta en dos o más puntos

se puede decir que no se trata de una función.

Figura 2. Definición grafica de una función

NO ES FUNCION YA QUE AL

VALOR 1 LE CORRESPONDEN DOS

IMÁGENES DIFERENTES

Si es función No es función

Ejemplo

cf R

Domf R

Re

Figura 4. Función Afín

Si m es negativo la recta se inclina hacia la izquierda es decir la función es

decreciente.

Ejemplo:

cf R

Domf R

Re

Figura 5. Función Afín

2.9 Función lineal

Está determinada por un polinomio de primer grado que pasa por el origen de

coordenadas (0,0).

Tiene la siguiente forma:

f   x  mx

Si m es positivo la recta se inclina hacia la derecha es decir la función es

creciente.

Ejemplo:

Figura 6. Función Lineal

Si m es negativo la recta se inclina hacia la izquierda es decir la función es

decreciente.

y

y x

x y y

yx x y

yx y x

yx x

x

x y

Análogamente a lo anterior tenemos que:

Rf y R

y

y

Figura 8. Función Racional

2.11 Función Irracional

Es una función en la cual se tiene un radical y dentro una función polinómica o

racional.

n f ( x ) Donde n es par.

Ejemplo: Hallar el dominio y rango de la función

2 f ( x ) 2  x  x

Solución:

2 y  2  x  x Luego “y” es real si, 2 0

2 (^)  x  x  , de donde

2

x  x    x  x  

Puntos críticos en x=2 y x=-

Luego el dominio es: Df ^1 ,^2 

2.12 Tipos de funciones

2.12.1 Función Inyectiva

Una función es inyectiva si:

Ejemplo:

Demostrar que la función

f   x  2 x  1

es inyectiva.

f  x 1   f  x 2   x 1  x 2

SI ES

INYECTIVA

       1 2 1 2 1 2

 x , x x  x  f x  f x

2.12.2 Función Sobreyectiva

Una función es sobreyectiva si cumple que todo elemento del conjunto de

llegada esté relacionado con uno del conjunto de partida.

 y  Y  x  X / y  f   x

Es decir que el recorrido de la función debe ser igual al conjunto de llegada.

2.12.3 Función Biyectiva

Si una función es Inyectiva y Sobreyectiva se dice que es Biyectiva.

2.12.4 Función inversa

Si a

f : A  B es Biyectiva, es posible construir la inversa

f B  A

 :

1

. Esta

nueva función permite invertir el sentido de la correspondencia, tal que a cada

y  B se lo asocia con un único x^  A (Baquerizo, Ramos, & Solis, 2006, pág.

Ejercicios propuestos

Determinar la función inversa de:

a)

1

1







x

x

f x

b)

  3 1

2 1



 

x

x f x

2.12.5 Función creciente

Una función es creciente si cumple que:

      1 2 1 2 1 2

 x , x I x  x  f x  f x

2.12.6 Función decreciente:

Una función es creciente si cumple que:

      1 2 1 2 1 2

 x , x I x  x  f x  f x

Figura 10. Función creciente y decreciente ( (Baquerizo, Ramos, & Solis, 2006)

2.12.7 Función par

Una función es par si:

 x  domf  f  x   f   x 

 x  domf  f  x   f   x 

Figura 11. Función par ( (Baquerizo, Ramos, & Solis, 2006)

2.13.2 Producto y división de funciones

Producto: División:

2.14 Función Compuesta

La función compuesta de una función f con la función g se define por:

 fog   x  f  g   x 

Que se lee “f compuesta g es igual a f de g(x)”

La función compuesta cumple que

Re cg  domf y el

Domf  domg

EJEMPLO:

Sea

2 f x  x  x  y

g ( x ) x  1 determinar

 fog   x

Solución

    

    

   ^12 

2

fog x x x

fog x x x

fog x x x

2.15 Función cuadrática.

La forma general de la función cuadrática es f(x)= ax

2

• bx + c / a,b,c є R, en

donde a ≠ 0, pero b y c pueden ser iguales a 0 y X es la variable

independiente.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola, donde el vértice esta

dado por Vx =- , valor que debe remplazarse en la función para obtener el

vértice y.

Ejemplo:

F(x) = x

2 +2x-

2

2

2

3

x x

x x

x

x x x

x x

x x x

gx

f x x g

  f

Encontrar(f.g)x

2

2

x x

x x x

x x

f g x f x gx

gx x

f x x

Por lo tanto, a=1, b=2, c=-

Vx =- =-

Remplazamos en la función

F(-1) = (-1)

2 +2(-1)-5 =-

Vy =-

Vértice de la parábola: (-1, -6)

La variable independiente puede tomar cualquier valor real y puede ser

representada con cualquier letra del alfabeto.

2.15.1 Representación gráfica de una función cuadrática

La representación gráfica de una ecuación de segundo grado es una parábola

cóncava, se puede crear una tabla de valores que permite identificar los

puntos que van formando a la parábola.

Es importante tener en cuenta que si a>0 la parábola se abre hacia arriba

Figura 13. Representación gráfica de una función cuadrática con signo +

Y si a<0, la parábola se abre hacia abajo

Figura 14. Representación gráfica de una función cuadrática con signo -