cónicas formulas y características, Apuntes de Matemáticas

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CÓNICAS

Resumen Teórico

Escrito por:

Prof. Arturo Rodrigo Farinha

Índice

Introducción …………………………………………………….. 3

Circunferencia …………………………………………………... 4

Parábola

Eje de simetría vertical …………………………………….. 5

Eje de simetría horizontal ………………………………….. 7

Elipse

Eje focal horizontal ………………………………………… 9

Eje focal vertical ………………………………………….... 11

Hipérbola

Eje focal horizontal ………………………………………… 13

Eje focal vertical …………………………………………… 15

Análisis especial de la cond. de existencia en elipse e hipérbola .. 17

Reconocimiento de cónicas ……………………………............... 23

Bibliografía consultada …………….…………..………............... 24

CIRCUNFERENCIA

DATOS

abscisa del centro

ordenada del centro

radio

( 0)

C

C

x

y

r

r 

COEFICIENTES DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

2 2 2

1

0

1

2

2

C

C

C C

A

B

C

D x

E y

F x y r







 

 

  

FÓRMULA EXPLÍCITA

 

2 2

C C

C C

y r x x y

x r x x r

    

   

DATOS A PARTIR DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

2 2

2 2

2 2

0

( : 4 0)

2

2

4

2

C

C

x y Dx Ey F

condición de existencia D E F

D

x

E

y

D E F

r

    

  

 

 

 



PARÁBOLA

Eje de simetría VERTICAL

DATOS

abscisa del vértice

ordenada del vértice

ordenada del foco

( )

V

V

F

F V

x

y

y

y y

Parámetro auxiliar: ( 0) F V

p  y  y p

COEFICIENTES DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

2

V

V

V

A p B C x D p E x

F y

p

PARÁBOLA

Eje de simetría HORIZONTAL

DATOS

abscisa del vértice

ordenada del vértice

abscisa del foco

( )

V

V

F

F V

x

y

x

x x

Parámetro auxiliar: ( 0) F V

p  x  x p

COEFICIENTES DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

2

V

V V

A

B

C

D p

E y

F y px

FÓRMULA EXPLÍCITA

(^2)  

V V

V

V

y p x x y

si p x x

si p x x

DATOS A PARTIR DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

2

4

4

4

2

V

V

F V

F V

D

p

E F

x

D

E

y

x x p

y y

 





 

 



COEFICIENTES DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

2

2

2

2

2 2 2 2 2 2

C

C

C C

A b

B

C a

D b x

E a y

F a y b x a b

Condición de Existencia:

2 2 1

4

D E

F AC

A C

 

    

 

(ver un análisis exhaustivo de esta

condición al final de la monografía)

Si a  b  Circunferencia

FÓRMULA EXPLÍCITA

 

2 2

C C

C C

b

y a x x y

a

x a x x a

DATOS A PARTIR DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

2

2

C

C

a C

b A

D x A E y C





 

 

FOCOS

'

'

F C

F C

F C

F C

x x c

y y

x x c

y y

 



 



ELIPSE

Eje focal VERTICAL

DATOS

abscisa del centro

ordenada del centro

semieje mayor

semieje menor

(a b>0)

C

C

x

y

a

b



Parámetro auxiliar: distancia focal 2c

2 2

c  a b

Excentricidad:

c

e

a



HIPÉRBOLA

Eje focal HORIZONTAL

DATOS

abscisa del centro

ordenada del centro

' eje transverso (longitud: 2a)

' eje normal (longitud: 2b) NOTA: B y B' no son puntos relevantes en el dibujo

' eje focal (longitud: 2c)

( 0)

C

C

x

y

AA

BB

FF

c  a







Parámetro auxiliar: distancia focal 2c

2 2

c  a b

Excentricidad:

c

e

a



COEFICIENTES DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

2

2

2

2

2 2 2 2 2 2

C

C

C C

A b

B

C a

D b x

E a y

F b x a y a b

Condición de Existencia:

2 2 1

4

D E

F AC

A C

 

    

 

(ver un análisis exhaustivo de esta

condición al final de la monografía)

FÓRMULA EXPLÍCITA

 

2 2

C C

C

C

b

y x x a y

a

x x a

x x a

DATOS A PARTIR DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

2

2

C

C

a C

b A

D x A E y C

 



 

 

FOCOS Y VÉRTICES

'

'

'

'

A C

A C

A C

A C

F C

F C

F C

F C

x x a

y y

x x a

y y

x x c

y y

x x c

y y

 



 



 



 



ASÍNTOTAS   C C

b

y x x y

a

   

COEFICIENTES DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

2

2

2

2

2 2 2 2 2 2

C

C

C C

A a

B

C b

D a x

E b y

F b y a x a b

Condición de Existencia:

2 2 1

4

D E

F AC

A C

 

    

 

(ver un análisis exhaustivo de esta

condición al final de la monografía)

FÓRMULA EXPLÍCITA

 

2 2

C C

a

y x x b y

b

x R

DATOS A PARTIR DE LA FÓRMULA IMPLÍCITA

2

2

C

C

a A

b C

D x A E y C

 



 

 

FOCOS Y VÉRTICES

'

'

'

'

A C

A C

A C

A C

F C

F C

F C

F C

x x

y y a

x x

y y a

x x

y y c

x x

y y c



 



 



 



 

ASÍNTOTAS   C C

a

y x x y

b

   

Análisis especial de la condición de existencia en elipse e hipérbola

(realizado por Rodrigo Farinha)

Fórmula “Normal”:

2 2

Ax  Cy  Dx  Ey  F  0

A veces A, C, D, E y F tienen

MCD  1

, con lo cual la fórmula puede expresarse en forma

“Reducida”, en vez de “Normal”.

Fórmula “Reducida”:

2 2

A x '  C y'  D x'  E y'  F'  0

Donde (le llamo k al MCD, k  1 ):

A C D E F

A C D E F

k k k k k

(1)

Si intento deducir los datos característicos de la cónica a partir de esta fórmula reducida en vez de la

normal, casi todo da mal:

Por ejemplo en la elipse con eje focal horizontal:

Desde la fórmula Normal:

Si intento desde la fórmula Reducida: ' ' (mal)

Desde la fórmula Normal:

Si intento desde la fórmula Reducida: b ' ' (mal)

Desde la fórmula N

a C

C C a

a C a

k (^) k k

b A

A A b

A b

k (^) k k



    



    

ormal:

2

'

Si intento desde la fórmula Reducida: '

2 '

C

C

D

x

A

D

D (^) k

x

A

 

   

2

A

k

(bien)

2

Desde la fórmula Normal:

2

'

Si intento desde la fórmula Reducida: '

2 '

C

C

C

D x A E y C E

E (^) k

y

C

  

 

   

2

C

k

(bien)

2

C

E

y

C

  

Ahora detallaré el análisis de la hipérbola con eje focal horizontal (sucede algo muy parecido):

Desde la fórmula Normal:

Si intento desde la fórmula Reducida: ' ' (mal)

Desde la fórmula Normal:

Si intento desde la fórmula Reducida: b ' ' (mal)

Desde la fórmu

a C

C C a

a C a

k (^) k k

b A

A A b

A b

k (^) k k

 



      



    

la Normal:

2

'

Si intento desde la fórmula Reducida: '

2 '

C

C

D

x

A

D

D (^) k

x

A

 

   

2

A

k

(bien)

2

Desde la fórmula Normal:

2

'

Si intento desde la fórmula Reducida: '

2 '

C

C

C

D x A E y C E

E (^) k

y

C

  

 

   

2

C

k

(bien)

2

C

E

y

C

  

Para las hipérbolas debe cumplirse:

2 2 1

4

D E

F AC

A C

 

    

 

(3)

Si la fórmula que se me proporciona como dato es la “reducida”, tendré como datos A’, C’, etc, pero

no A, C, etc.

Necesito saber cuánto vale el k que se usó para la “reducción” de la fórmula.

Sé que en la fórmula “normal” (de la que desconozco sus coeficientes) deberá cumplirse la condición

(3).

Utilizando (1) y sustituyendo en (3):

2

1

k

kF 

2

D '

k

2

k

A

2

E '

k

kA kC

C

k

k

F 

2

'

D k

A

2

'

E

kA k

C

2 2

(o sea que la relación (3) NO ES INVARIANTE al reducir la fórmula)

C

D E

F kA C

A C

Pero de aquí puedo despejar k en base a los coeficientes que tengo (los de la fórmula “reducida”):

2 2

D E

F

A C

k

A C

Con ese valor y (1) podré hallar los coeficientes de la fórmula normal, los cuales necesito para poder

obtener correctamente los datos característicos de la hipérbola:

A  kA ' C  kC ' D  kD ' E  kE ' F kF'

Esto también sucede si se analiza la hipérbola con eje focal vertical.