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Cap´ıtulo 8
Conjunto de ´ındices
Definici´on 8.1 (Conjunto de ´ındices) Sea I un conjunto, tal que para cada i ∈ I se tiene un conjunto Ai ⊆ U. El conjunto I se denomina conjunto de ´ındices y cada i ∈ I es un ´ındice.
(a) Los ´ındices son n´umeros (b) Los ´ındices son letras
Figura 8.1: Ejemplos de conjuntos de ´ındices.
Ejemplo 8.1 En la Figura 8.1a se tiene que los elementos del conjuntos de ´ındices son enteros, mientras que para la Figura 8.1b el conjunto de ´ındices est´a formado por letras.
Cuando I = { 2 , 3 , 4 } se tiene que:
- Para i = 2, A 2 = A.
- Para i = 3, A 3 = C.
- Para i = 4, A 4 = B.
Cuando I = {a, b, c} se tiene que :
- Para i = a, Aa = W.
- Para i = b, Ab = X.
- Para i = c, Ac = Z.
Importante!! A pesar que no existe ninguna restricci´on para que los elementos de I sean n´umeros enteros, para facilitar la discusi´on acerca de los conjuntos de ´ındices asumiremos que I ⊆ Z.
Ahora estamos en capacidad de extender los conceptos de uni´on e intersecci´on para m´as de dos conjuntos.
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164 CAP´ITULO 8. CONJUNTO DE ´INDICES
Definici´on 8.2 (Uni´on de conjuntos mediante ´ındices) Sea I = {i ∈ Z : 1 ≤ i ≤ n} = { 1 , 2 , · · · n} un conjunto de ´ındices y sean los conjuntos Ai ⊆ U definidos por I. El
conjunto A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ An, denotado por
⋃^ n
i=
Ai, se define como:
⋃^ n
i=
Ai = {x : x ∈ Ai para alg´un i ∈ I},
de donde se desprende que
(8.1) x ∈
⋃^ n
i=
Ai ⇔ ∃i ∈ I : x ∈ Ai.
Importante!! Note que x ∈
⋃n i=1 Ai^ es una proposici´on. La negaci´on de esta proposici´on, ¬(x ∈
⋃n i=1 Ai), se denota por^ x /∈^
⋃n i=1 Ai. Adem´as,
x 6 ∈
⋃^ n
i=
Ai ⇔ ¬[∃i ∈ I : x ∈ Ai]
⇔ ∀i ∈ I : x 6 ∈ Ai (8.2) ⇔ ∀i ∈ I : x ∈ Ai.
Ejemplo 8.2 Sea I = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } y para cada i ∈ I se definen los siguientes conjuntos Ai = {x ∈ Z : 1 ≤ x ≤ i} = { 1 , 2 , · · · , i}. Determine
i=3 Ai. ⋃^ n
i=
Ai = A 3 ∪ A 4 ∪ A 5 ∪ A 6 ∪ A 7
= { 1 , 2 , 3 } ∪ { 1 , 2 , 3 , 4 } ∪ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } ∪ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ∪ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } = A 7.
Note que:
i=3 Ai, pues existe al menos un^ i^ ∈^ I, tal que^5 ∈^ Ai.^ Espec´ıficamente para i = 5, 6 , 7 , se tiene que 5 ∈ A 5 , 5 ∈ A 6 y 5 ∈ A 7.
i=3 Ai, pues NO existe un^ i^ ∈^ I^ tal que^8 ∈^ Ai.
Definici´on 8.3 (Intersecci´on de conjuntos mediante ´ındices) Sea I = {i ∈ Z : 1 ≤ i ≤ n} = { 1 , 2 , · · · n} un conjunto de ´ındices y sean los conjuntos Ai ⊆ U definidos por I.
El conjunto A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An, denotado por
⋂^ n
i=
Ai se define como:
⋂^ n
i=
Ai = {x : x ∈ Ai para todo i ∈ I},
166 CAP´ITULO 8. CONJUNTO DE ´INDICES
- Ley de De Morgan generalizada de la intersecci´on:
⋂^ n
i=
Ai =
⋃^ n
i=
Ai.
Ley de De Morgan generalizada de la uni´on
Usando (7.4) se tiene que
⋃^ n
i=
Ai =
⋂^ n
i=
Ai ⇔ ∀x ∈ U :
[
x ∈
⋃^ n
i=
Ai ↔ x ∈
⋂^ n
i=
Ai
]
Por lo tanto, debe demostrarse la veracidad de ∀x ∈ U : [x ∈
⋃n i=1 Ai^ ↔^ x^ ∈^
⋂n i=1 Ai]. Para ello, considere un x cualquiera de U tal que
Paso Justificaci´on
- x ∈
⋃n i=1 Ai^ Premisa Condicional
- x 6 ∈
⋃n i=1 Ai^ Def. de complemento
- ∀i ∈ I : x ∈ Ai Def. de x 6 ∈
⋃n i=1 Ai^ (Ver 8.2)
- x ∈
⋂n i=1 Ai^ Def. de^ x^ ∈^
⋂n i=1 Ai^ (Ver 8.3)
- x ∈
⋃n i=1 Ai^ ↔^ x^ ∈^
⋂n i=1 Ai^ Prueba condicional
- ∀x ∈ U :
[
x ∈
⋃n i=1 Ai^ ↔^ x^ ∈^
⋂n i=1 Ai
]
Regla de GU
De forma an´aloga se demuestra la Ley de De Morgan generalizada de la intersecci´on.
Ejemplo 8.5 Demuestre las leyes distributivas generalizadas:
- Ley distributiva generalizada de la uni´on:
A ∪
[ (^) n ⋂
i=
Bi
]
⋂^ n
i=
(A ∪ Bi).
- Ley distributiva generalizada de la intersecci´on:
A ∩
[ (^) n ⋃
i=
Bi
]
⋃^ n
i=
(A ∩ Bi).
Ley distributiva generalizada de la intersecci´on
Importante!! Para esta demostraci´on se requiere la siguiente equivalencia l´ogica:
P (x) ∧ ∃y ∈ U : Q(y) ≡ ∃y ∈ U : [P (x) ∧ Q(y)],
donde U = {y 1 , y 2 , · · · , yn}.
Desmostraci´on P (x) ∧ ∃y ∈ U : Q(y) Justificaci´on ≡ P (x) ∧ [Q(y 1 ) ∨ Q(y 2 ) ∨... ∨ Q(yn)] Def. de ∃ ≡ [P (x) ∧ Q(y 1 )] ∨ [P (x) ∧ Q(y 2 )] ∨... ∨ [P (x) ∧ Q(yn)] Ley distributiva para ∧ ≡ ∃y : [P (x) ∧ Q(y)] Def. de ∃
Usando (7.4) se tiene que
A ∩
[ (^) n ⋃
i=
Bi
]
⋃^ n
i=
(A ∩ Bi) ⇔ ∀x ∈ U :
[
x ∈ A ∩
[ (^) n ⋃
i=
Bi
]
↔ x ∈
⋃^ n
i=
(A ∩ Bi)
]
Por lo tanto, debe demostrarse la veracidad de ∀x ∈ U : [x ∈ A ∩ [
⋃n i=1 Bi]^ ↔^ x^ ∈^
⋃n i=1 (A^ ∩^ Bi)]. Para ello, considere un x cualquiera de U tal que
Paso Justificaci´on
- x ∈ A ∩ [
⋃n i=1 Bi]^ Premisa Condicional
- x ∈ A ∧ x ∈
⋃n i=1 Bi^ Def. de intersecci´on
- x ∈ A ∧ ∃i ∈ I : x ∈ Bi Def. de x ∈
⋃n i=1 Ai^ (Ver 8.1)
- ∃i ∈ I : [x ∈ A ∧ x ∈ Bi] P (x) ∧ ∃y : Q(y) ≡ ∃y : [P (x) ∧ Q(y)]
- ∃i ∈ I : [x ∈ A ∩ Bi] Def. de intersecci´on
- x ∈
⋃n i=1 (A^ ∩^ Bi)^ Def. de^ x^ ∈^
⋃n i=1 Ai^ (Ver 8.1)
- x ∈ [A ∩ [
⋃n i=1 Bi]^ ↔^ x^ ∈^
⋃n i=1 (A^ ∩^ Bi)^ Prueba condicional
- ∀x ∈ U : [x ∈ [A ∩ [
⋃n i=1 Bi]^ ↔^ x^ ∈^
⋃n i=1 (A^ ∩^ Bi)]^ Regla de GU
De forma an´aloga se demuestra la ley distributiva generalizada de la uni´on.
Definici´on 8.4 (Familia de conjuntos) Un conjunto cuyos elementos son a su vez con- juntos se denomina Familia de conjuntos.
Ejemplo 8.6 Determine cu´ales de los siguientes conjuntos son familias de conjuntos
- C = {{a, b}, {b, c}, {a, b, c}} es una familia de conjuntos.
- D = {{ 1 }, 2 , { 1 , 2 }} no es una familia de conjuntos, pues D posee un elemento que no es un conjunto: el n´umero 2
- Dado A ⊆ U. El conjunto de las partes de A, es decir, P(A) es una familia de conjuntos.
