Matem´aticas I
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez
Hip´olito Irago Ba´ulde
Dpto. de Matem´atica Aplicada.
Facultad de Matem´aticas.
Universidad de Santiago de Compostela.
Grado de Qu´ımicas Matem´aticas I
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derivación de varias variables, Apuntes de Matemáticas
Asignatura: Matemáticas, Profesor: Hipólito Hipólito, Carrera: Química, Universidad: USC
Tipo: Apuntes
2010/2011
1 / 75
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Matem´aticas I
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez Hip´olito Irago Ba´ulde
Dpto. de Matem´atica Aplicada. Facultad de Matem´aticas. Universidad de Santiago de Compostela.
c) Derivadas parciales.
[Ref.: Steiner, pp. 217-239] Para una funci´on y = f (x), la derivada primera es la tasa de variaci´on de y respecto de x (o bien, la pendiente de la recta tangente a la gr´afica).
c) Derivadas parciales.
[Ref.: Steiner, pp. 217-239] Para una funci´on y = f (x), la derivada primera es la tasa de variaci´on de y respecto de x (o bien, la pendiente de la recta tangente a la gr´afica). Para una funci´on de dos o m´as variables, existen tantas derivadas primeras como variables independientes tenga. Por ejemplo,
z = f (x, y ) = x^2 − 2 xy − 3 y 2
se puede derivar respecto de x, considerando y como una constante, y se obtiene la derivada parcial respecto a x,
∂z ∂x
= 2x − 2 y ;
c) Derivadas parciales.
[Ref.: Steiner, pp. 217-239] Para una funci´on y = f (x), la derivada primera es la tasa de variaci´on de y respecto de x (o bien, la pendiente de la recta tangente a la gr´afica). Para una funci´on de dos o m´as variables, existen tantas derivadas primeras como variables independientes tenga. Por ejemplo,
z = f (x, y ) = x^2 − 2 xy − 3 y 2
se puede derivar respecto de x, considerando y como una constante, y se obtiene la derivada parcial respecto a x,
∂z ∂x
= 2x − 2 y ;
y se puede derivar f respecto de y , considerando x constante, y se obtiene la derivada parcial respecto a y ,
∂z ∂y
= − 2 x − 6 y.
c) Derivadas parciales.
De forma m´as general, las derivadas parciales para una funci´on de dos variables se definen mediante los l´ımites:
∂z ∂x
(x, y ) = l´ım ∆x→ 0
f (x + ∆x, y ) − f (x, y ) ∆x
∂z ∂y
(x, y ) = l´ım ∆y → 0
f (x, y + ∆y ) − f (x, y ) ∆y
c) Derivadas parciales.
De forma m´as general, las derivadas parciales para una funci´on de dos variables se definen mediante los l´ımites:
∂z ∂x
(x, y ) = l´ım ∆x→ 0
f (x + ∆x, y ) − f (x, y ) ∆x
∂z ∂y
(x, y ) = l´ım ∆y → 0
f (x, y + ∆y ) − f (x, y ) ∆y
Ejemplo
f (x, y , z) = x^2 + 2y 2 + 3z^2 + 4xy + 5xz + 6yz ∂f ∂x = 2x + 4y + 5z, ∂f ∂y = 4y + 4x + 6z, ∂f ∂x = 6z + 5x + 6y.
c) Derivadas parciales.
Interpretaci´on geom´etrica: La curva BPA es la curva por P para y = cte (x variable); la pendiente de su recta tangente en P viene dada por la ∂ ∂xz. Asimismo, dicha pendiente es la tasa de variaci´on de z = f (x, y ) respecto de x.
X
Y
Z
A
P
B
C
D
F E XX YY
ZZ
c) Derivadas parciales.
Interpretaci´on geom´etrica: La curva BPA es la curva por P para y = cte (x variable); la pendiente de su recta tangente en P viene dada por la ∂ ∂xz. Asimismo, dicha pendiente es la tasa de variaci´on de z = f (x, y ) respecto de x. An´alogamente, la curva DPE es la curva por P para x = cte; la pendiente de su recta tangente en P viene dada por la ∂ ∂zy. Dicha pendiente es la tasa de variaci´on de z = f (x, y ) respecto de y.
X
Y
Z
A
P
B
C
D
F E XX YY
ZZ
c) Derivadas parciales.
Interpretaci´on geom´etrica: La curva BPA es la curva por P para y = cte (x variable); la pendiente de su recta tangente en P viene dada por la ∂ ∂xz. Asimismo, dicha pendiente es la tasa de variaci´on de z = f (x, y ) respecto de x. An´alogamente, la curva DPE es la curva por P para x = cte; la pendiente de su recta tangente en P viene dada por la ∂ ∂zy. Dicha pendiente es la tasa de variaci´on de z = f (x, y ) respecto de y.
X
Y
Z
A
P
B
C
D
F E XX YY
ZZ
Las dos rectas tangentes anteriores en P definen el plano tangente de f en P, es decir, el plano que mejor aproxima en torno a P a la superficie-gr´afica de f (x, y ).
c) Derivadas parciales.
Interpretaci´on geom´etrica: La curva BPA es la curva por P para y = cte (x variable); la pendiente de su recta tangente en P viene dada por la ∂ ∂xz. Asimismo, dicha pendiente es la tasa de variaci´on de z = f (x, y ) respecto de x. An´alogamente, la curva DPE es la curva por P para x = cte; la pendiente de su recta tangente en P viene dada por la ∂ ∂zy. Dicha pendiente es la tasa de variaci´on de z = f (x, y ) respecto de y.
X
Y
Z
A
P
B
C
D
F E XX YY
ZZ
Las dos rectas tangentes anteriores en P definen el plano tangente de f en P, es decir, el plano que mejor aproxima en torno a P a la superficie-gr´afica de f (x, y ). Si denotamos P = (x 0 , y 0 , z 0 ), z 0 = f (x 0 .y 0 ), entonces la ecuaci´on del plano tangente a f en P es:
z = z 0 +
∂z ∂x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) +
∂z ∂y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ).
c) Plano tangente y derivadas direccionales.
Ejemplo Hallar la ecuaci´on del plano tangente a z = f (x, y ) = −x^2 − y 2 en el punto P = (1, 2 , −5).
Sol.: Las derivadas parciales de f son: ∂z ∂x (x,^ y^ ) =^ −^2 x,^
∂z ∂y (x,^ y^ ) =^ −^2 y^.
c) Plano tangente y derivadas direccionales.
Ejemplo Hallar la ecuaci´on del plano tangente a z = f (x, y ) = −x^2 − y 2 en el punto P = (1, 2 , −5).
Sol.: Las derivadas parciales de f son: ∂z ∂x (x,^ y^ ) =^ −^2 x,^
∂z ∂y (x,^ y^ ) =^ −^2 y^. Entonces en (x 0 , y 0 ) = (1, 2): ∂ ∂zx (1, 2) = − 2 × 1 = − 2 , ∂ ∂yz (1, 2) = − 2 × 2 = −4.
c) Plano tangente y derivadas direccionales.
Ejemplo Hallar la ecuaci´on del plano tangente a z = f (x, y ) = −x^2 − y 2 en el punto P = (1, 2 , −5).
Sol.: Las derivadas parciales de f son: ∂z ∂x (x,^ y^ ) =^ −^2 x,^
∂z ∂y (x,^ y^ ) =^ −^2 y^. Entonces en (x 0 , y 0 ) = (1, 2): ∂ ∂zx (1, 2) = − 2 × 1 = − 2 , ∂ ∂yz (1, 2) = − 2 × 2 = −4. Por tanto el plano tangente es: z = − 5 − 2(x − 1) − 4(y − 2) = − 2 x − 4 y + 5.
Adem´as de las rectas tangentes en P definidas por las pendientes ∂ ∂zx y ∂z ∂y , en el plano tangente en^ P^ hay una infinidad de rectas tangentes pasando por P. La pendiente de cada una de esas rectas coincidir´a con la derivada de la funci´on en alguna direcci´on ~u = (cos θ, sen θ).
c) Plano tangente y derivadas direccionales.
La derivada direccional de z = f (x, y ) en P = (x 0 , y 0 , z 0 ), z 0 = f (x 0 , y 0 ) seg´un la direcci´on ~u = (cos θ, sen θ) es: