Matem´aticas I
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez
Hip´olito Irago Ba´ulde
Dpto. de Matem´atica Aplicada.
Facultad de Matem´aticas.
Universidad de Santiago de Compostela.
Grado de Qu´ımicas Matem´aticas I
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derivación de funciones de una variable, Apuntes de Matemáticas
Asignatura: Matemáticas, Profesor: Hipólito Hipólito, Carrera: Química, Universidad: USC
Tipo: Apuntes
2010/2011
1 / 23
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Matem´aticas I
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez Hip´olito Irago Ba´ulde
Dpto. de Matem´atica Aplicada. Facultad de Matem´aticas. Universidad de Santiago de Compostela.
b) Derivaci´on de funciones de una variable.
[Ref.: Steiner, pp. 75-79] En las ciencias f´ısicas nos interesa el valor de una cantidad f´ısica y c´omo se relaciona con otras cantidades f´ısicas en cualquier estado de un sistema. Adem´as, nos interesa c´omo var´ıa el valor de la cantidad f´ısica al pasar de un estado a otro, y la tasa de variaci´on con respecto al tiempo o con respecto a alguna otra cantidad f´ısica. Consideremos la ecuaci´on de estado de los gases ideales,
V = nRT P Si la temperatura T var´ıa en una cantidad ∆T manteniendo la presi´on P y la cantidad de materia n fijas, el volumen cambia de
V =
nRT P a V + ∆V =
nR(T + ∆T ) P
y la variaci´on en el volumen es
∆V =
nR P
∆T.
La figura siguiente muestra que la gr´afica de V frente a T
b) C´alculo diferencial de funciones de una variable.
La figura muestra que la gr´afica de V frente P (a T y n constantes) no es una recta. El gradiente en cada punto se define como el gradiente o la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. El gradiente var´ıa de un punto a otro, y no viene dado por ∆ ∆VP.
b) C´alculo diferencial de funciones de una variable.
El proceso de derivaci´on.
Supongamos que el valor de una variable x var´ıa de manera continua de p a q. La diferencia (p − q) se llama variaci´on o incremento de x
∆x = p − q.
Vemos que ∆x > 0 si q > p, y ∆x < 0 si q < p. Sea y = f (x) una funci´on de x que var´ıa de manera continua y regular desde el punto P al punto Q
b) C´alculo diferencial de funciones de una variable.
La siguiente figura muestra c´omo cambia la cantidad ∆ ∆yx cuando el punto Q se mueve sobre la curva hacia P, es decir cuando ∆x disminuye en magnitud.
Al moverse Q hacia P, el gradiente (o pendiente) de la recta PQ se acerca al gradiente (o pendiente) de la recta tangente a la funci´on y = f (x) en el punto P. Expresamos esto como
gradiente en P = l´ım Q→P
∆y ∆x
b) C´alculo diferencial de funciones de una variable.
Al mismo tiempo la magnitud ∆x tiende a cero, ∆x → 0 cuando q → p, y el l´ımite puede escribirse como:
gradiente en P = l´ım ∆x→ 0
∆y ∆x
El proceso de tomar el l´ımite se denomina derivaci´on y se denota por el s´ımbolo
dy dx
dy dx = l´ım ∆x→ 0
∆y ∆x = l´ım ∆x→ 0
f (x + ∆x) − f (x) ∆x
que se lee como ”diferencial de y con respecto a x” o ”dy sobre dx”. Tambi´en se le denomina derivada de la funci´on y = f (x). Una representaci´on alternativa para la derivada de la funci´on y = f (x) es f ′(x): f ′(x) = l´ım ∆x→ 0
f (x + ∆x) − f (x) ∆x
b) C´alculo diferencial de funciones de una variable.
f (x) =
x si x ≥ 0 −x si x < 0 La funci´on es continua en todos los valores de x pero tal y como se ve en la figura su pendiente cambia abruptamente en x 0 = 0 pasando del valor −1 cuando x < 0 al valor +1 para x ≥ 0. Se dice que la funci´on tiene un punto c´uspide en x 0 = 0. En general, una funci´on es derivable si es continua y ”regular”, sin discontinuidades ni c´uspides.
b) C´alculo diferencial de funciones de una variable.
El estudio de la derivabilidad de una funci´on se hace utilizando la definici´on, mientras que en la pr´actica se hace siguiendo un conjunto de reglas (basadas en la definici´on). En la siguente tabla presentamos las derivadas de las funciones elementales m´as importantes Tipo Funci´on Derivada c=constante c 0 potencia de x xa^ a xa−^1 trigonom´etrico sen x cos x cos x -sen x tan x sec^2 x exponencial ex^ ex
logar´ıtmico ln x 1 x
b) C´alculo diferencial de funciones de una variable.
Ejemplo Calcular las derivadas de las funciones siguientes
y = x^5 y ′^ = 5 x^4 y = x−^ (^12) dy dx =^ −^
1 2 x
− (^32)
f (x) = x^0 ,^3 f ′(x) = 0, 3 x−^0 ,^7 f (x) = 4x^3 − 2sen(x) (^) dxd f (x) = 12x^2 − 2 cos(x) f (x) = (2x + 3x^2 ) cos(x) f ′(x) = (2 + 6x) cos(x) − (2x + 3x^2 )sen (x) y = ln(x) tan(x) y ′^ = (^1) x tan(x) + ln(x) sec^2 (x)
b) C´alculo diferencial de funciones de una variable.
Ejemplo Calcular las derivadas de las funciones siguientes utilizando la regla de la cadena. Sea u = 2x^2 − 1 y = u (^52) , dy dx = dy du
du dx = ( 5 2 u (^32) )(4x) = 10x(2x^2 − 1).
y = sen(u), dy dx = dy du
du dx = (cos(u))(4x) = 4x cos(2x^2 − 1).
b) C´alculo diferencial de funciones de una variable.
Ejemplo Calcular dydx :
y 2 + (^) y^2 − x^2 y 2 + 3x + 2 = 0.
2 yy ′^ − 2 y ′ y 2 − 2 xy 2 − 2 x^2 yy ′^ + 3 = 0 ⇒ y ′(2y − 2 y 2 − 2 x^2 y ) = 2xy 2 − 3 por tanto dy dx = (2xy 2 − 3 y 2 ) 2 y − 2 − 2 x^2 y .
Ejemplo Hallar la recta tangente a la circunferencia x^2 + y 2 = 3 en el punto (1,
Calculamos dy dx = − x y , y sustituimos el punto (1,
√
dy dx
∣∣ ∣∣ x=1,y =√ 2
= − 1 √ 2 . Ahora la ecuaci´on de la recta tangente es y −
√ 2 = − 1 √ 2 (x − 1).
b) C´alculo diferencial de funciones de una variable.
La ecuaci´on de la recta normal es y −
√ 2 =
√ 2(x − 1).
Ejemplo
Calcular
dy dx
sen(x^2 + y ) = y 2 (3x + 1). cos(x^2 + y )(2x + y ′) = 2 yy ′(3x + 1) + 3y 2 ⇒ 2 x cos(x^2 + y ) + y ′^ cos(x^2 + y ) = 2 yy ′(3x + 1) + 3y 2 ⇒ y ′[cos(x^2 + y ) − 2 y (3x + 1)] = 3 y 2 − 2 x cos(x^2 + y ), por tanto y ′^ = 3 y 2 − 2 x cos(x^2 + y ) cos(x^2 + y ) − 2 y (3x + 1) , si el denominador cos(x^2 + y ) − 2 y (3x + 1) 6 = 0.
b) C´alculo diferencial de funciones de una variable.
y en este caso todas las derivadas de orden superior son cero, pero otras funciones sencillas pueden derivarse indefinidamente. En particular, la funci´on exponencial ex^ tiene todas sus derivadas iguales a ex^.
Ejercicio Hallar las derivadas sucesivas de y (x) = ln(x).
Puntos estacionarios.
Un punto x 0 se dice punto estacionario de una funci´on y = y (x) cuando el gradiente o tasa de variaci´on en ´el es cero, es decir
dy dx
(x 0 ) = y ′(x 0 ) = 0.
El valor de la funci´on en ese punto y (x 0 ) = y 0 se denomina valor estacionario de la funci´on.
b) C´alculo diferencial de funciones de una variable.
Los puntos estacionarios pueden ser clasificados como m´aximos, m´ınimos y puntos de inflexi´on. Condiciones suficientes para la existencia de dichos puntos son:
Para m´aximo
dy dx
= 0 y
d^2 y dx^2
Para m´ınimo
dy dx
= 0 y
d^2 y dx^2
Para pto. inflexi´on
dy dx
d^2 y dx^2
= 0 y
d^3 y dx^3
Los valores de la funci´on en los m´aximos y m´ınimos se denominan valores extremos de la funci´on.