Matem´aticas I
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez
Hip´olito Irago Ba´ulde
Dpto. de Matem´atica Aplicada.
Facultad de Matem´aticas.
Universidad de Santiago de Compostela.
Grado de Qu´ımicas Matem´aticas I
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Matemáticas, Profesor: Hipólito Hipólito, Carrera: Química, Universidad: USC
Tipo: Apuntes
2010/2011
1 / 33
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga sistemas y matrices y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matem´aticas I
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez
Hip´olito Irago Ba´ulde
Dpto. de Matem´atica Aplicada.
Facultad de Matem´aticas.
Universidad de Santiago de Compostela.
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
Sistemas de ecuaciones lineales y m´etodo de Gauss
[Ref.: Lay, pp 1-26 ´o Neuhauser, pp. 523-536]
Sistema de m ecuaciones lineales y n inc´ognitas:
a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1 nxn = b 1
am 1 x 1 + am 2 x 2 +... + amnxn = bm
a
ij
∈ R, i = 1,... , m, j = 1,... , n son los coeficientes del sistema,
b
i
∈ R, i = 1,... , m son los t´erminos independientes y
x
j
∈ R, j = 1,... , n son las inc´ognitas.
Ejemplo
2 x + 3y = 6
2 x + y = 4
Sistema de 2 ecuaciones lineales y dos inc´ognitas, x e y
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
Propiedad
Casu´ıstica de soluciones
Una ´unica soluci´on (por cada inc´ognita): Sistema Compatible Determinado.
Infinitas soluciones (por cada inc´ognita): Sistema Compatible Indeterminado.
Ninguna soluci´on: Sistema Incompatible.
Sistemas equivalentes: Poseen las mismas soluciones.
Transformaci´on en un sistema equivalente (M´etodo de Gauss):
Operaciones elementales
Intercambiar dos ecuaciones
Multiplicar una ecuaci´on por un n
o
distinto de cero
Sumar a una ecuaci´on un m´ultiplo de otra
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
Ejemplo
Resolver por el m´etodo de Gauss el sistema
2 x + 3y = 6
2 x + y = 4
Soluci´on:
2 x + 3y = 6
2 x + y = 4
Ec2 - Ec
2 x + 3 y = 6
− 2 y = − 2
A partir de aqu´ı se procede de abajo a arriba:
y = 1
x = (6 − 3)/2 = 3/ 2
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
Efectuamos ahora las operaciones por filas, en lugar de operar con las
ecuaciones, para hacer ceros los coeficientes que est´an por debajo de la
diagonal principal, aii , i = 1,... , m:
F 2 −F 1
Una vez conseguida una matriz escalonada (aquella en la que puede
trazarse una escalera descendente tal que cada pelda˜no tiene altura 1 y
debajo de la escalera todos los elementos de la matriz son cero)
escribimos nuevamente el sistema,
2 x + 3 y = 6
− 2 y = − 2
y se resuelve por remonte.
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
M´etodo de Gauss
El m´etodo de Gauss consiste en transformar la matriz ampliada del
sistema, mediante operaciones elementales, en una matriz escalonada y
resolver el sistema equivalente (m´as sencillo) por un m´etodo de remonte.
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
El sistema equivalente es
x +2y −z = − 1
y +3z = − 1
10 z = 0
Se resuelve por remonte
10 z = 0 ⇒ z = 0.
y + 3z = − 1
z = 0
⇒ y = − 1.
x + 2y − z = − 1
z = 0
y = − 1
⇒ x = 1.
Es un sistema compatible determinado, soluci´on ´unica (1, − 1 , 0)
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
Ejemplo
Resolver utilizando el m´etodo de Gauss el siguiente sistema lineal:
x − 3 y + z = 4
x − 2 y + 3 z = 6
2 x − 6 y + 2 z = 8
Soluci´on:
F 2 − F 1
F 3 − 2 F 1
El sistema equivalente es
x − 3 y +z = 4
y +2z = 2
Se resuelve por remonte en funci´on de:
n´um. de inc´ognitas - n´um. de escalones = 3-2=1 par´ametro: z = t ∈ IR
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
F 3 −F 2 −→
El sistema equivalente es
2 x −y +z = 3
− 2 y +z = − 4
Es un sistema incompatible, no tiene soluci´on
Rango de una matriz: N´umero de escalones de su matriz escalonada.
Ejemplos:
En el Ejemplo 1:
rango(A)=3; rango(A|b)=3.
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
Sistema homog´eneo: es aquel en el que el vector de t´erminos
independientes (b
1
,... , b
m
t
es cero.
a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1 nxn = 0
am 1 x 1 + am 2 x 2 +... + amnxn = 0
Propiedad: Un sistema homog´eneo es siempre compatible porque la
soluci´on trivial, (0,... , 0), verifica todas las ecuaciones.
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
Producto por un n
o
real (escalar)
A ∈ M
m×n
, c ∈ IR
cA = [ca
ij
]
i=1,...,m; j=1,...,n
Traspuesta de una matriz
A ∈ M
m×n
La traspuesta de A se denota por
A
t
∈ Mm×n
A
t
= [aji ]j=1,...,n; i=1,...,m
Ejemplos:
t
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
Multiplicaci´on de matrices
A ∈ M
m×l
, B ∈ M
l×n
AB = C = [c
ij
]
i=1,...,m; j=1,...,n
siendo c
ij
l
k=
a
ik
b
kj
= a
i 1
b
1 j
+ a
i 2
b
2 j
+... + a
il
b
lj
Por tanto
AB ∈ Mm×n
NOTA: Para multiplicar matrices, el n
o
de columnas de la 1
a
ha de
ser igual al n
o
de filas de la 2
a
Ejemplo:
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
Propiedades
Del producto de matrices.
(A + B) C = AC + BC.
A (B + C ) = AB + AC.
(AB) C = A (BC ).
A 0 = 0 A = 0.
Definici´on
Matriz identidad de orden n es la matriz n × n que tiene unos en la
diagonal principal y ceros en el resto de los elementos.
I
n
Tema II. Introducci´on al
Algebra lineal y aplicaciones.
a) Matrices e determinantes. M´etodo de Gauss para a resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineais
e o c´alculo da matriz inversa.
Propiedad
Si A ∈ Mm×n.
A In = ImA = A.
Ejemplo
Dada
A =
matriz de orden 3 × 2, se tiene: