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Asignatura: Matemàtiques I, Profesor: , Carrera: Comptabilitat i Finances, Universidad: UAB
Tipo: Apuntes
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cambiando. ¿Y si asignamos un número a la pendiente? ¡Pues eso es la derivada! Un valor numérico asociado a la pendiente de la función.
Derivar, un juego con las siguientes reglas En esta tabla: ‘k’, ‘n’, ‘a’ representan números cualquiera. 1 2 3 Regla de la cadena (IMPORTANTE para derivar funciones compuestas) Regla de la división Regla del producto ln(x) 4 5 6 7 8 TABLA DE DERIVADAS 9 10 11 12 ? TABLA DE DERIVADAS 12 13 14 15 16 17 … (*) Muchas reglas son consecuencia de la regla de la cadena
f’(x) es la derivada de primer orden de la función f(x). Si f’(x) podemos derivarla a su vez obteniéndose f’’(x) que es la derivada
Si f’(x) podemos derivarla a su vez obteniéndose f’’(x) que es la derivada segunda de f. Si derivamos tres veces,...se tiene la derivada de tercera de la función f y así sucesivamente. Propuesta de ejercicio: Considera la función de producción Y(k)=c·k a con k>0 y c, a constantes. Hallar Y(k)’’. Solución: Y’(k)=ack a- Y’’(k)=(a-1)ack a-
En ocasiones, es difícil trabajar con ciertas funciones y para simplificar el problema puede ser útil trabajar con una aproximación (lineal) de la
misma. Sea f(x) una función derivable en x=a. La aproximación lineal de la función f(x) en un entorno de a viene dada por Propuesta de ejercicio: Hallar la aproximación lineal de f(x)=x 1/ en un entorno de x=1. entorno de x=1. PISTA: Calcular f(1) y f’(1) y sustituir en la ecuación de arriba.
Se puede generalizar la aproximación lineal a órdenes superiores (p.e: orden 2 es la aproximación cuadrática, orden 3, orden 4, etc…).
La aproximación de f(x) en x=a viene dado por la fórmula general: que es la aproximación de Taylor de orden n de la función f(x) en un entorno del punto a. “Fórmula también conocida como: “¿Cómo calcular el valor de cualquier función en una isla desierta, sin calculadora y mucho tiempo libre? (es una broma, pero realmente es así… pensad por qué)” Propuesta de ejercicio: Hallar la aproximación de Taylor, de orden 3, de la función f(x) en un entorno de x=0. f (x) 1 x
En economía como sinónimo de derivada se suele hablar de la marginal: Supongamos que una empresa fabrica ‘q’ cantidades de coches:
Supongamos que una empresa fabrica ‘q’ cantidades de coches: Con coste total según la función: El coste marginal se define como: ¿Cuánto me costaría producir un coche más si ya he producido ‘q’ coches? Eso es justamente la derivada Por ejemplo, si he producido 3 coches, ¿cuánto me costaría producir un coche más? Respuesta: más costaría este coche extra si ya hemos producido 3 (aprox.) C ( q) 45 q 20 q 4 ' ( ) 180 20 3 q dq dC C q ' ( 3 ) 180 ·( 3 ) 20 1600 € 3 C hemos producido 3 (aprox.) Haz lo mismo con el ingreso, suponiendo que vendemos los coches a un precio de 2000€. La función de ingreso siempre es la misma: precio x cantidad: ¿Y con el beneficio? La función beneficio siempre es ‘ingreso-coste’: I ( q) 2000 q B( q)I(q)C(q )
Ejemplo: Considera la función de demanda D(p)=8000p -1.
. Hallar la elasticidad de la demanda D(p).
La elasticidad es constante e igual a -1.5. Esto significa que un incremento del 1% del precio (p) provoca una disminución de los bienes demandados, D(p), de un - 1.5%.
15 25 25
. . D(p ) .
D(p), de un - 1.5%. Intuitivamente: Imaginaos que la cantidad demandada es D(4)=1000 y que el precio aumenta un 1% (pasando de 4 a 4.04). Entonces, la nueva cantidad demandada será D(4.04)=985.19. Por tanto, la variación porcentual de la cantidad demanda es %(985.19-1000)/1000=-1.481% ≈ -1.5% aprox. la elasticidad.
Niveles de elasticidad: Si > 0: un incremento en el precio implica un incremento en la
Si > 0: un incremento en el precio implica un incremento en la demanda. Si < 0: un incremento en el precio implica un decremento en la demanda. Si || > 1: la demanda es elástica con respecto al precio. Si || < 1: la demanda es inelástica con respecto al precio. Si || = 1: la demanda es de elasticidad unitaria con respecto al precio. precio. “Un incremento de un 1% en el precio produce una disminución ( =-1) o un aumento ( =1) de la demanda de exactamente un 1%”. Ejemplo: ¿Qué pensáis que es más elástica, la demanda de coca- cola o la demanda de tabaco? (Pista: pensad si existen sustitutivos del producto).
