¡Descarga apuntes y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
D. Boixader, M.A. Congost
[títol_ ] Exercicis de matemàtiques I. Lliçó 0. [versió_ ] Setembre 2010 [matèria_ ] Operacions amb matrius i determinants. [assignatura_ ] Matemàtiques I [centre_ ] E. T. S. d'Arquitectura del Vallès - Universitat Politècnica de Catalunya [url_ ] http://upcommons.upc.edu [fitxers_ ] QT2010_L0_E.pdf [descripció_ ] Problemes i solucions de: operacions amb matrius, càlcul de rangs, càlcul de determinants i inversió de matrius.
E0. Exercicis comentats.
0.1.a Enunciat. Calculeu la següent suma de matrius:
§ · (^) § · ¨ (^) ¸ ¨ (^) ¸ © ¹ © ¹
Solució. El resultat és 1 0 1 1 1 0 0 1 1 2 3 5 2 2 1 4 1 4
Com s'ha obtingut? Sumant component a component.
§ · (^) § · § · ¨ (^) ¸ ¨ (^) ¸ ¨ (^) ¸ © ¹ © ¹ © ¹
1 ( 1) 0 , 0 1 1 , etc. █
0.1.b Enunciat. Calculeu el següent producte de matrius: § · § ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ © ¹¨© ¸¹
Solució. El resultat és
Com s'ha obtingut? La fila 1 de la primera matriu multiplicada (producte escalar) per la columna 1 de la segona dóna l'element que ocupa la posició fila 1, columna 1, de la matriu resultat. Semblant per fila 2 columna 1.
§ · § · (^) ¨ ¸ § · ¨ ¸ (^) ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ (^) ¨ ¸ © ¹ © ¹
Els productes escalars es calculen fent:
¨^ ¸
D. Boixader, M.A. Congost
¨^ ¸
0.2.a Enunciat. Calculeu el determinant:
Solució. El determinant val (^)
Com s'ha obtingut? Efectuant els productes en creu i la resta dels seus resultats en l’ordre indicat:
0.2.b Enunciat. Calculeu el determinant:
-1 2 1 4 0 3 -1 1 2
Solució. El determinant val
Com s'ha obtingut? Es pot obtenir efectuant els productes en creu i la suma o resta dels seus resultats, segons correspongui (Regla de Sarrus):
Alternativament també es pot calcular fent el desenvolupament per una fila o columna (Desenvolupament de Laplace), basat en els determinants de les submatrius d'ordre 2 (o adjunts). Si triem, per exemple, la segona columna:
D. Boixader, M.A. Congost
rang 3 0 5 1 = 1 6
§ ^ ·
Nota: no cal provar altres menors 3x3, perquè no seran ampliacions de l'últim menor 2x2 amb determinant diferent de zero. Per exemple, no cal provar:
2 3 1 3
ª^ º
perquè no és ampliació de
, menor 2x2 sobre el que s'ha construït tot el procés.
Alternativament un rang es pot calcular fent servir l'Algorisme de Gauss-Jordan que s'explica més endavant (Lliçó 1, Sistemes d'Equacions). El rang coincideix amb el nombre de files o columnes que no s'anul.len durant el procés de reducció de Gauss-Jordan. █
0.4.a Enunciat. Calculeu la inversa de la matriu § · ¨ ¸ © ¹
Solució. La inversa és la matriu
§ ·^ §¨^ ·¸
Primer de tot observeu que el producte de la matriu per la seva inversa dóna la matriu identitat:
§ · § · ¨ ¸ § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ (^) ¨ ¸ © ¹ © ¹
Això constitueix una comprovació de què la inversa he estat ben calculada.
Pel que fa als procediments, n'hi ha dos de ben diferenciats: el mètode de Cramer i el mètode de Gauss-Jordan.
CRAMER. Es tracta de:
- Formar la matriu d'adjunts. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Adj 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
¨ ^ ¸
- Transposar-la, o canviar files per columnes, tot i que en aquest cas queda igual.
§ · § · ¨ (^) ¸ ¨ (^) ¸ © ¹ © ¹
1 1 T 1 1
D. Boixader, M.A. Congost
- Dividir-la pel determinant
1 1 , d'on resulta finalment que
¨§^ ^ · ¨^ ¸
és la matriu inversa.
GAUSS-JORDAN. En aquest cas es tracta d'aplicar l'algorisme de Gauss-Jordan complet a la
matriu
1 1 | 0 1 que està formada per la matriu que es vol invertir (banda esquerra) i la matriu identitat (banda dreta). Finalitzat el procés, a la banda esquerra hi tenim la identitat, i a la banda dreta la inversa que es volia calcular. § · § ^ · o o ¨^ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ (^) ¨ (^) ¸ © ¹
1 0 |^1
(Nota: l'algorisme de Gauss-Jordan s'explica a la Lliçó 1, Sistemes d'Equacions.) █
0.4.b Enunciat. Calculeu la inversa de la matriu § · ¨ (^) ¸ ¨ ¸ ¨© (^) ¸¹
Solució. La inversa és la matriu
§ ·^ §¨^ ^ ·¸
¨ ¸ ¨^ ¸
¨ ^ ^ ¸ ¨^ ^ ^ ¸
¨ ¸ ¨^ ¸
1
Com s'ha obtingut?
Primer de tot observeu que el producte de la matriu per la seva inversa dóna la matriu identitat:
1 1 3 2 1 3 4 4 4 1 0 0 0 2 3 3 1 3 0 1 0 2 2 2 2 1 2 0 0 1 1 0 1
§ · ¨^ ¸ § ·
¨ ¸ ¨^ ¸ ¨ ¸
¨ ^ ^ ¸ ¨^ ^ ¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨^ ¸ ¨ ¸
Això constitueix una comprovació de què la inversa ha estat ben calculada.
Els dos procediments són:
CRAMER. 1. Formar la matriu d'adjunts.
D. Boixader, M.A. Congost
E0. Exercicis resolts.
0.5 Calculeu els productes de matrius:
a. 7 2 -3 5 2 5
b. § · § · ¨ ¸ ¨ (^) ¸ ¨ ¸ © ¹ ¨ ¸ © ¹
c. 1 0 1 0 - -1 1 2 -3 5
d.
Solucions. Pareu atenció al fet que les matrius resultat d'un producte tenen tantes files com la primera i tantes columnes com la segona.
§ · (^) § (^) · § · ¨ ¸ (^) ¨ ¸ ¨ (^) ¸ ¨ ¸ ©^ ¹^ ©^ ¹ ¨© ¸¹
a.^ b.^ c.^ d.
0.6 Calculeu AC, CA, (A+B)C, C(3A+2B) on A, B i C són les matrius:
§ · § · §^ · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨^ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨^ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨^ ¸ © ¹ © ¹ ¨^ ¸ © ¹
A 4 -1 1 5 B 1 -1 1 2 C 0 1 2
Solucions. § · § · ¨ ¸ ¨ (^) ¸ ¨ ¸ (^) ¨ ¸ ¨© ¸¹ (^) ¨ (^) ¸ ¨ (^) ¸ © ¹
§ · §^ ·
¨ ¸ ¨^ ¸
¨ ¸ ¨^ ¸
¨ ¸ ¨^ ¸
© ¹ ¨^ ¸
AC 29 28 6 8 1 5
9 13 3 CA
(A B)C 40 38 6 C(3A 2B) 30 17 9 35
D. Boixader, M.A. Congost
0.7 Calculeu els determinants següents:
3 1 3 1 (^3 1 2 0 1 2 6 ) 1 0 1 3 1 2 1 -1 1 1 0 3 0 2 4 0 3 1 -1 1 0 1 2 0 0 1 2 1 1 -
a. b. e.
c. d.
f. g.
Solucions. Els determinants valen a. 0 b. -2 c. -15 d. 4 e. 22 f. 12 g. 82 █
0.8 Calculeu el rang de les matrius següents:
§ ^ ^ · § ^ ·
§^ ·
a. b. c.
e. g. f.
d.
Solucions. Els rangs valen a. 2 b. 1 c. 1 d. 3 e. 3 f. 2 g. 1 █
0.9 Calculeu, si és possible, les inverses de les matrius:
a. b. c.
d. e. f. 2 1 3 2 1 3 1 3 5 0 1 3 0 2 1 1 4 3 2 1 2 2 7 9
§ ^ · § · § ·
¨ ¸ ©^ ¹ ¨ ¸
