¡Descarga derivalibidad y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
§ Continuidad y Derivabilidad
§ Extremos relativos de una función
§ Puntos críticos de una función
§ Trazado de curvas utilizando f ’ (x)
§ Concavidad y Convexidad
§ Trazado de curvas utilizando f ’’ (x)
§ Máximos y Mínimos absolutos
§ Comportamiento de una función
Tema 5: Derivabilidad y Comportamiento de una función
- Una función puede ser continua en un punto sin ser derivable en él. La continuidad es una condición necesaria (pero no suficiente) para que una función sea derivable en un punto.
- En cambio si una función es derivable en un punto entonces dicha función es continua en ese punto. Derivabilidad ⇒ Continuidad (no al revés!)
- Sea f’(a
- ) la derivada por la derecha en a y f’(a - ) la derivada por la izquierda en a que se definen así Continuidad y derivabilidad
- Si la función f es continua en x=a y f ’ (a +
)=f ’ (a
- ) = nº finito entonces f es derivable en el punto a.
- Propuesta de ejercicio: Estudiar si f(x) es diferenciable en x=. Pista: primero es necesario comprobar que es continua en x = 1 y en
caso afirmativo verificar que f ’ (
+
)=f ’ (
- ) = nº finito. ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > − ∈ − ∈ =
- e six 2 ln2x six [1,2] si x [-1,1) 2 - x 2 1 1 ( ) 3 x f x Continuidad y derivabilidad
Solución ejercicio.
- Comprobamos si f(x) es continua en x =1:
- f(1) =0 por tanto existe su imagen.
-. Como f(1) existe y la función f(x) es continua en x =1. - Verificamos si f ’ (1+)=f ’ (1-) =nº finito.
2 1 1 = − = → +^ → lim f(x) limln x x x
3 1 1 = − = → −^ → lim f(x) lim x x x
lim f(x) lim f(x) nº finito
x x
Continuidad y derivabilidad
- Un máximo relativo de una función es una “cima”, punto de la gráfica de una función que es más alto que cualquier punto próximo.
- Un mínimo relativo de una función es el “fondo de un valle”, punto de la gráfica que es más bajo que cualquier punto próximo.
- Los máximos y los mínimos de una función se denominan extremos relativos.
- Una función se dice que es creciente si su gráfica sube a medida que x crece; es decreciente si su gráfica baja a medida que x crece. Extremos relativos de una función
Mínimo relativo Máximo relativo Mínimo relativo Extremos relativos de una función
- Comprobando el signo de la 1ª derivada, f ’ (x) , puede descubrirse dónde es creciente o decreciente una función.
- Si f ’ (x ) es >0 en un intervalo I entonces f(x) es creciente en dicho intervalo.
- Si f ’ (x) es <0 en un intervalo I entonces f(x) es decreciente en dicho intervalo. Extremos relativos de una función (-∞,a): f’(x) <0 è decrece (a,b) : f’(x) >0 è crece (b,c) : f’(x) <0 è decrece (c,+∞): f’(x) >0 è crece a b (^) c Extremos relativos de una función
- Dado que una función f es creciente cuando su derivada es positiva y decreciente cuando es negativa, los únicos puntos donde la función puede tener un máximo o un mínimo relativo son aquellos donde su
derivada f ’ (x) es cero.
- Sin embargo, f’(x)=0 es una condición necesaria pero no suficiente para que un punto concreto sea mínimo o máximo. a b (^) c f’(x)= f’(x)= f’(x)= c f’(x)= f’(c)=0 pero x=c no es mínimo!!! x=c es punto de inflexión. Extremos relativos de una función
Pasos para elaborar la gráfica de f(x) a partir de f ’ (x) :
- Calcular la derivada f ’ (x) y factorizar si es posible.
- Hallar los valores críticos de f(x) , es decir, aquellos puntos donde f ’ (x) =
o f ’ (x) no está definida.
- Representar en la gráfica los puntos críticos. Éstos son los únicos puntos donde pueden ocurrir, quizás, extremos relativos.
- Los valores críticos dividen el eje x en varios intervalos. Determinar si f(x)
es creciente o decreciente en cada intervalo a partir del signo de f ’ (x).
- Trazar la gráfica de forma que crezca en los intervalos en que f ’ (x) >0 y
decrezca donde f ’ (x) < 0 y tenga tangente horizontal donde f ’ (x) =0.
Trazado de curvas utilizando f ’ (x)
- Ejemplo: Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos (máximos / mínimos) de la función f(x)=2x 3 +3x 2 -12x-. Dibujar la gráfica. Solución:
f ’ (x) = 6x
2 +6x-12 = 6(x+2)(x-1)
Puntos críticos de f(x): f ’ (x) = 0 en los puntos (x, f(x)) , (-2, 13) y (1, -14).
Intervalos de crecimiento / decrecimiento de f(x) : Crece / decrece: -2 1 Signo f’(x): +^ -^ + Trazado de curvas utilizando f ’ (x)
- Se ha explicado que la 1ª derivada, f ’ (x) , nos da información sobre cómo
varía f(x) al incrementar x. Por ejemplo, si f ’ (x) es negativa significa que si
aumento un poco x, f(x ) disminuye.
- Podemos utilizar esta misma reflexión con la 2ª derivada: f ’’ (x) nos da
información de cómo varía la 1ª derivada f ’ (x) al incrementar x. Por
ejemplo, si f ’’ (x) es negativa significa que si aumento un poco x, f ’ (x) – la
pendiente – disminuye.
- De forma análoga, si f ’’ (x) es positiva significa que al aumentar un poco
x , f ’ (x) –la pendiente – aumenta.
- Por tanto, la información que nos aporta la segunda derivada f ’’ (x) es importante, como veremos, para determinar la convexidad o concavidad de la función f. Concavidad y convexidad
Función convexa Función cóncava Observando los dos gráficos: ¿qué pensáis sobre el signo de f’’(x)? Fijaos en cómo varía la pendiente, f’(x) , al incrementar x ,… Concavidad y convexidad
Pasos para obtener la gráfica de f(x):
- Calcular la primera derivada, f ’ (x) , factorizar si es posible, hallar los
puntos críticos de primer orden {x: f ’ (x) =0 ó f ’ (x) no definida}.
- Calcular la segunda derivada, f ’’ (x) , factorizar si es posible, hallar los
puntos críticos de segundo orden {x: f ’’ (x) =0 o f ’’ (x) no definida}.
- Representar los puntos críticos de primer y segundo orden (o cualquier punto de discontinuidad de f(x) ) en la recta numérica y verificar los signos de la 1ª y 2ª derivada en cada uno de los intervalos.
- Dibujar la gráfica en cada intervalo de acuerdo al signo de f ’ (x) y f ’’ (x) ,
por ejemplo, si f ’ (x) >0 y f ’’ (x) >0 è creciente y convexa.
Trazado de curvas utilizando f ’’ (x)
- Determinar dónde la función f(x) es creciente, decreciente, cóncava y convexa. Hallar los extremos relativos y los puntos de inflexión y elabora la gráfica de f(x). Solución
- f(x) tiene una discontinuidad en x =-1, es decir, no pertenece al dominio de f(x).
- Calculamos la 1ª derivada de f : ( ) 2
−
x x f'(x ) Ejemplo Trazado de curvas utilizando f ’’ (x)
