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CONCEPTUAL
QUE ES UNA DERIVA:
Una derivada es el límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el que corresponde a la variable, cuando este último tiende a cero. DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN La derivada, en el caso de una función real de una variable real, es el resultado de un límite y representa, geométricamente, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. ejemplo de la gráfica de la tangente: REGLAS Y PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS:
- Si tenemos una función f(x): X → Y y esta es diferente en un punto P, entonces podemos entender que la función f(x) será continua en el punto p.
- El resultado obtenido de la suma de la derivada de 2 funciones será igual a la suma de las derivadas de dichas funciones tomadas individualmente. Esta resta también es aplicada cuando se utiliza la resta. a esta propiedad se le conoce también como la regla de la linealidad.
- La derivada que se aplica a la multiplicación de una cantidad escalar con una función sera igual cuando la cantidad escalar se multiplique a la derivada de la misma función.
- La derivada de un número el cual debe ser constante siempre será igual a cero.
- La diferencia entre una variable con respecto a si misma dará como resultado uno. d(x)/dx = 1
- La derivación de la multiplicación de dos funciones sería lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función.
- La derivada de una variable la cual es elevada a una potencia será siempre igual a las veces que representa la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es conocida como la regla de la potencia. Para que esta regla o propiedad se cumpla, “n” deberá ser un numero real.
- En el caso de la derivada de la división de una función con alguna otra función, será lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Para que esta propiedad se cumpla
La derivada de una potencia entera positiva Como ya sabemos, la derivada de xn^ es n xn-1 , entonces: f(x)= x 5 f '(x)= 5x 4 Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x^5 , aún no podemos derivar la función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de expresiones. La derivada de una constante por una función. Para derivar una constante por una función, es decir cf(x) , su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x) , por ejemplo:>
f(x)= 3x 5 f '(x)= 3(5x^4 ) = 15x^4 La derivada de una suma Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces: **_f(x)= 2x 3
- x f '(x)= 6x_**^2 + 1 La derivada de un producto
Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado. f(x) = (^) 4x + 1 10x 2
_- 5 4(10x 2
f '(x) = (10x_^2 - 5)^2 Las derivadas de las funciones trigonométricas Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.
f(x+h) - f(x) sen(h + x) - sen(x)
h h cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x) = h cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x) f '(x) = Lim [ ] = cos(x) h0 h La regla de la cadena Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)^4 , a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.
https://es.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n Cálculo de funciones derivadas Si conocemos la función derivada de cada tipo de función, podemos escribirla directamente sin necesidad de calcular cada vez la función derivada utilizando su definición. Esto nos permite calcular derivadas de una forma más directa, al mismo tiempo que simplifica mucho los cálculos en funciones más complejas. Vamos a ver a continuación como es la derivada de cada uno de los tipos de funciones: Derivada de una constante Tenemos una función constante: La derivada de una función constante es cero: Vamos a demostrarlo calculando su función derivada utilizando la definición: Por tanto, cada vez que la función sea una constante, la derivada será 0 y lo puedes poner directamente. Por ejemplo: Calcular la derivada de la siguiente función: Como es una función constante, escribimos directamente su derivada: Derivada de la función lineal Las funciones lineales son aquellas cuya forma son una x multiplicadas por un número: La derivada de la función lineal es el número que multiplica a la x: Su demostración es la siguiente: Por tanto, cuando las función sea lineal, en su derivada desaparecerá la x y se quedará sólo el número: Vamos a ver un ejemplo: Calcular al derivada de la siguiente función:
Su derivada es igual al número que tiene delante la x: Derivada de la identidad Un caso particular de la función lineal es la función identidad, es decir, cuando la función es sólo una x:: La derivada de la función identidad es igual a 1, que es igual al número que lleva delante: Su demostración es: Derivada de la función afín La función afín es la que tiene la siguiente forma: La derivada de la función afín es el número que queda delante de la x. Todo lo demás desaparece: Tiene sentido ya que la derivada de una función linea es el número que queda delante de la x y la derivada de un una constante es cero, por tanto, la suma de las dos derivadas es igual al número que queda delante de la x. Veremos más adelante que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas. Su demostración derivando con la definición de la derivada es: Por ejemplo, calcular la derivada de: Directamente para calcular la derivada de esta función, dejamos sólo el número que está multiplicando a la x: Derivada de la función potencial Una función potencial es aquella donde la x está elevada a un exponente. Para calcular su derivada, el exponente pasa a multiplicar a la x y se le resta 1 al exponente: En lugar de una x, podemos tener una función elevada a un exponente. En ese caso, la derivada se calcula pasando el exponente a multiplicar a la función, a cuyo exponente se le resta 1 y además todo lo anterior queda multiplicado por la derivada de la función: Por ejemplo, calcular la derivada de:
Y si la función es logaritmo neperiano de una función, su derivada es 1 entre la función, multiplicado por la derivada de la función: Por ejemplo, la derivada de este logaritmo en base 12 de esta función es: Derivada de la función exponencial Tenemos una función exponencial cuando la x está en el exponente. Su derivada es igual al mismo número elevado a x multiplicado por el logaritmo neperiano de la base de la potencia: Si el número está elevado a una función, la derivada es igual a la misma potencia, multiplicada por el logaritmo neperiano de la base y por al derivada de la función exponente: Cuando el número al que está elevado la x es el número e, la derivada es el mismo número e elevado a x: Si el número e está elevado a una función, su derivada es el mismo número e elevado a la función por la derivada de la función: Por ejemplo, en esta función exponencial, donde el número está elevado a una función: Su derivada es: En este otro ejemplo con el número e elevada a una función: Su derivada es: Derivada de las funciones trigonométricas Vamos a ver ahora las derivadas de las funciones trigonométricas junto con sus funciones compuestas. La derivada del seno es igual al coseno: La derivada del coseno, es igual a menos seno: La derivada de la tangente es igual a 1 más el cuadrado de la tangente o 1 entre el coseno cuadrado de x: Esas tres funciones trigonométricas son las más utilizadas. Te dejo también el resto de funciones trigonométrica:
Contangente: Secante: Cosencante: Veamos algunos ejemplos sobre derivar funciones trigonométrica. Derivar la siguiente función seno: Derivar la siguiente función coseno: Derivar la siguiente función tangente: Derivar la siguiente función cotangente: Derivada de las funciones trigonométricas inversas Éstas son las derivadas de las funciones trigonométricas inversas principales. Arco seno: Arco coseno: Arco tangente: Operaciones con funciones derivadas Vamos a ver ahora cómo derivar funciones que están formadas por más de una función, como la suma, la multiplicación, el cociente o la composición de funciones. La derivada de la suma de dos funciones ya la hemos comentado un poco en el apartado anterior. Derivada de la suma de dos funciones La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de esas dos funciones: Por ejemplo, la derivada de la siguiente función: es igual a la derivada de cada uno de sus términos:
