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Aquí se presentan conceptos básicos del cálculo de derivadas, desde las derivadas de constantes, funciones lineales, potencias, raíces, hasta derivadas de operaciones de funciones, exponenciales, logaritmos, trigonométricas y funciones compuestas. Se incluyen ejemplos para facilitar el entendimiento.
Tipo: Apuntes
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Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones.
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la función lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de una raíz
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una función
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
Derivada de un logaritmo
Como, también se puede expresar así:
Derivada de un logaritmo neperiano
Derivada del coseno
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Derivada del arcoseno
Derivada del arcocoseno
Derivada de la función inversa
Si f y g son funciones inversas, es decir. Entonces
Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x
Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg x
Estas funciones son del tipo:
Para derivarla se puede utilizar esta fórmula:
O bien tomamos logaritmos y derivamos:
En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f'n(x).
Ejemplo:
Calcula la derivada enésima de:
Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Ejemplos:
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:
Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1mm su lado.
S = x 2 dS = 2x dx
d(S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m^2
Tabla de derivadas de funciones compuestas
Función Derivada Ejemplos
Constante
y=k y'=0 y=8 y'=
Identidad
y=x y'=1 y=x y'=
Funciones potenciales
Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
