¡Descarga Cálculo de determinantes y rango de matrices en álgebra lineal y más Apuntes en PDF de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica solo en Docsity!
Matemáticas II - BACH
TEMA 2: DETERMINANTES
PERMUTACIONES
Una aplicación uno-a-uno del conjunto 1 , 2 ,..., n sobre sí mismo se llama una permutación. Es decir una permutación es un reordenamiento de los números 1,2,...,n.
Notamos que el número de permutaciones que se pueden formar es n y al conjunto de éstas se le representa por Sn
Consideremos una permutación arbitraria j 1 j 2 ... jn Decimos que es par o impar si hay
un número par o impar de parejas i , k tales que
i k pero i precede a k en (*)
Definimos entonces el signo o paridad de , escrito sig , por
si esimpar
si espar sig
EJEMPLO
La permutación en S 3 132 es impar ya que el 3 precede al 2 y 3>2 , luego (3,2) cumplen * En cambio la permutación 231 es par ya que tenemos dos (un número par) parejas (2,1) (3,1) que cumplen *
DETERMINANTES: DEFINICIÓN Sea A una matriz cuadrada consideremos un producto de n elementos de A tal que uno y sólo un elemento pertenece a cada fila y sólo un elemento pertenece a cada columna. Un producto de esta clase puede escribirse en la forma
njn ......a 2j 2 a 1j 1 a
esto es, donde los factores pertenecen a filas sucesivas y, por consiguiente, los primeros subín- dices están en orden natural 1,2,...n. Ahora, como los factores pertenecen a columnas diferentes la
sucesión de los segundos subíndices forma una permutación j 1 j 2 ... jn
Para cada una de las n permutaciones que se pueden formar se obtiene un producto de la forma anterior. A la suma de todos estos productos con el signo o paridad de la permutación se le de- nomina determinante de la matriz cuadrada A y se designa por A
nj n ......a 2j 2 a 1j 1 A (sig )a
Matemáticas II - BACH
DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN
Sea AM2,2 el determinante de A viene dado por:
nj n ......a 2j 2 a 1j 1 A (sig )a
Construimos la tabla del conjunto de permutaciones de 1,2:
j 1 j 2 Signo del Conjunto de permutaciones 1 2
(Orden natural) Positivo (2 precede al 1; impar) negativo
Entonces: A a 11 a 22 a 12 a 21
DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
Sea AM3,3 el determinante de A viene dado por:
nj n ......a 2j 2 a 1j 1 A (sig )a
Construimos la tabla del conjunto de permutaciones de 1,2,3:
j 1 j 2 j 3 Signo del Conjunto de permutaciones 1 1 2 2 3 3 2 3 1 3 2 1 3 2 3 1 1 2 1
Entonces:
Para la primera permutación de la tabla:
a 11 a 22 a 33
Para la segunda permutación de la tabla:
a 11 a 23 a 32
Para la tercera permutación de la tabla:
a 12 a 21 a 33
Para la cuarta permutación de la tabla:
a 12 a 23 a 31
Matemáticas II - BACH
EJEMPLO 1:
Aplicando Sarrus
2 ( 8 ) 10 3 1
^2 2 ^23
Desarollando fila
Se ha elegido la fila que más ceros tiene para simplificar las operaciones, también se podía haber elegido la columna 1.
EJEMPLO 2: Resolver:
2 2 2 3
2 0 1 1
1 0 1 2
1 2 3 4
Elegimos una fila (columna) que tenga el mayor número de ceros para simplificar las operacio- nes:
Desarrollamos por la segunda columna:
2 ( 9 12 ) 2 ( 9 7 ) 42 4 46 2 1 1
1 1 2
1 3 4 0 0 2 ( 1 ) 2 2 3
2 1 1
1 1 2 2 1 2 2 2 3
2 0 1 1
1 0 1 2
1 2 3 4 (^1 2) (^42)
(^) SARRUS
Para hallar los determinantes de orden 3 se ha aplicado la regla de Sarrus, también se podían haber desarrollado por adjuntos como en el ejemplo 1. Esto no se ha hecho así ya que no tenían ningún cero y quizá las operaciones eran un poco más complicadas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS: Combinación lineal de vectores. Teniendo en cuenta que las filas y columnas de una matriz se consideran vectores, hacemos la si- guiente definición:
Un vector v es combinación lineal de los vectores v 1 (^) , v 2 ,, vn si se puede expresar como:
v 1 v 1 2 v 2 n vn donde: 1 , 2 ,, n R
En este caso se dice que el conjunto de vectores v , v 1 , v 2 ,, vn son linealmente dependien- tes. Si v no es combinación lineal de v 1 (^) , v 2 ,, vn , entonces se dice que el conjunto de vectores v , v 1 , v 2 ,, vn son linealmente independientes.
Matemáticas II - BACH
Aplicado a las filas de una matriz si: F 1 F 1 2 F 2 n Fn con 1 , 2 ,, n R ,
entonces F es combinación lineal de F 1 (^) , F 2 ,, Fn y el conjunto F , F 1 , F 2 ,, Fn son lineal- mente dependientes. Si F no se puede expresar como combinación lineal de F 1 (^) , F 2 ,, Fn se dice que las filas F , F 1 , F 2 ,, Fn son linealmente independientes. Del mismo modo se aplica a las columnas.
EJEMPLO 3:
Sea
4 5 5
2 1 1
1 2 3 (^) A En esta matriz F 3 (^) 2 F 1 F 2 , entonces la fila 3 es combinación lineal de
las filas 1 y 2. Igualmente en la matriz
B , C 3 (^) 2 C 1 , entonces la columna 3 es
combinación lineal (en este caso también proporcional) a la columna 1.
A 0 y B 0 al existir una combinación lineal, como se verá después en las propiedades de los determinantes.
En cambio en la matriz
C no se observa ninguna combinación lineal. No obstan-
te se puede comprobar que no existen. Comprobaremos que no hay ninguna combinación lineal entre sus filas:
1 2 2 1 0 2 1 2 1 0 3
1 2
1
2
2 3
1
2
pero
luego las tres filas son linealmente independientes.
Del mismo modo se puede comprobar que las columnas también son linealmente independien- tes.
El mejor modo de comprobar que en la matriz no hay combinaciones lineales es que C 8 ( 4 ) 12 (^0). Esto sólo se puede hacer con matrices cuadradas. Más adelante vere- mos que ocurre cuando las matrices no son cuadradas y hablaremos del rango de una matriz.
Cuando hablamos de sumar a la fila 3 una combinación lineal de la fila 1 y 2 será una expresión del tipo: F 3 (^) a F 1 b F 2 con a y b números reales distintos de cero.
La dependencia e independencia de vectores se estudia más en profundidad en el tema de vectores.
Matemáticas II - BACH
11) Si una columna de A es combinación lineal de una o varias columnas de A, su determinante es igual a cero. Por ejemplo, las matrices A y B del ejemplo 3, su determinante vale 0 al existir una combinación lineal entre las filas o las columnas.
12) Si a una fila de A se le suma una combinación lineal de otra u otras filas de A, el determinante no varia.
6 0 6
13 3 3 1
F F F
13) Si a una columna de A se le suma una combinación lineal de otra u otras columnas de A, el de- terminante no varia.
6 2 2
21 1 1 3
C C C
14) El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
a b c c
b a c
b
a 0
11
EJEMPLO 4:
Utilizando las propiedades de los determinantes, se trata de hacer ceros a todos los elementos de una fila o columna para luego desarrollar por adjuntos esa fila o columna. Como todos los ele- mentos son cero menos uno se reduce el determinante de orden 4 al cálculo de un determinante de orden 3. Vamos a calcular el determinante del ejemplo anterior por este método: Regla de CHIO : Hacemos ceros en la segunda fila. Para ello utilizamos las columnas: dejamos invariante la columna 3 (que tiene un uno) y con ella hacemos ceros al resto de los elementos de la segunda fila. Es decir:
4 4 3
1 1 3 (^22232)
2 0 1 1
1 0 1 2
1 2 3 4
C C C
C C C
0 2 7
Llegado a este punto se puede aplicar la regla de Sarrus o desarrollar por adjuntos (ver ejemplo 1) no obstante seguimos haciendo ceros en la segunda fila:
Matemáticas II - BACH
23 1 1 3
C C C
Otro modo: También se puede hacer ceros en la segunda columna ya que tiene dos ceros. Em- pleamos entonces las filas. Dejamos invariante la primera fila y hacemos ceros al resto de los ele- mentos de la segunda columna.
4 1 2 1 ( 1 )^35
1 4 1
2 3 5
1 0 0 2
2
1 5 1
2 1 1
1 1 2 2 ( 1 ) 1 0 5 1
2 0 1 1
1 0 1 2
1 2 3 4
2 2 2 3
2 0 1 1
1 0 1 2
1 2 3 4
11
3 3 1
2 2 1
12 (^441)
C C C
F F F C C C
Cuando en un determinante se hacen ceros, es importante tener en cuenta que: o Cuando se hace ceros en una fila, es muy útil elegir la columna que tiene un 1 ( o – 1) en la fila considerada y, dejando ésta invariable, hacer ceros al resto de los elementos de la fila en cuestión. Lo mismo en el caso en que se haga ceros en una columna: es muy útil elegir la fila que tiene un 1 ( o – 1) en la columna considerada y, dejando ésta invariable, hacer ceros al resto de los elementos de la columna en cuestión. o Hay que observar bien el determinante pues a veces con sólo una operación es suficiente para hacer ceros. o No obstante, todo lo anterior son orientaciones, en realidad lo único que hay que hacer es aplicar las propiedades de los determinantes para hacer ceros en una fila o columna. EJEMPLO 5: Método de Gauss: Se trata en conseguir una matriz triangular teniendo en cuenta las propie- dades de los determinantes:
14 11 22 2
3 3 2 3 3 1
2 2 1
F F F
F F F
F F F
EJEMPLO 6:
Resolver:
Matemáticas II - BACH
4 4 1
3 3 1
2 2 1 1
F F F
F F F
F F F
b c x
b x c
x b c
a b c x a b c x a b c b c x
x a b c b x c
x a b c x b c
x a b c a b c
( )^11
x a b c x a x b x c
b a c b x c
b a x b
x a x a b c b a c b x c
b a x b
x a
a b c x a b c MatrizTriangular
Por tanto las soluciones son:
c
b
a
b c a x
RANGO DE UNA MATRIZ
DEFINICIÓN :
Sea AMm,n, si en esta matriz se prescinde de varias filas o columnas de forma que quede una matriz cuadrada, el determinante correspondiente se llama menor de la matriz dada.
Haremos dos definiciones del rango de una matriz que representan lo mismo: Primera definición: se dice que una matriz es de rango o característica h cuando en ella exis- te, por lo menos, un menor de orden h distinto de cero, siendo nulos todos los menores posibles de orden superior a h. Segunda definición: De lo anterior se deduce que también se puede definir el rango de una ma- triz como el máximo número de filas o de columnas linealmente independientes.
EJEMPLO 7: Para entender esto, veamos este ejemplo: Nos basamos en la segunda definición:
A Puesto que 0 3 0
significa que las filas 1 y 2 no son proporciona-
les y, por tanto son linealmente independientes.
Veamos que ocurre con las filas 1, 2 y 3:
Matemáticas II - BACH
combinación lineal F F F
Luego, prescindimos de una de ellas, por ejemplo de la 3, y miramos que ocurre con las filas 1, 2 y 4:
combinació nlineal F F F
. Prescindimos de la fila 4
y, entonces, sólo existen dos filas linealmente independientes. Por tanto, el rango de A es 2.
Lo relacionamos con la primera definición: Esto implica que el orden mayor de un menor dis- tinto de cero que podemos formar sea 2, pues para que fuese 3 debemos incluir las filas 3 o 4 y enton- ces el determinante vale cero al existir combinación lineal. (Ten en cuenta que el rango no puede ser 4 pues no se puede formar ningún menor de ese orden).
Hemos hecho un razonamiento con las filas pero también se podía haber hecho con las colum- nas. Veámoslo.
0 3 0
Las columnas 1 y 2 son linealmente independientes (no son proporcionales).
Veamos si la columna 3 es linealmente independiente. Para ello debemos considerar todos sus elemen- tos, es decir los menores de orden 3:
Al ser cero los dos significa que la columna 3 es
combinación lineal de la 1 y la 2. Sólo hay dos columnas linealmente independientes y el rango es dos.
Lo relacionamos con la primera definición: Existen más menores de orden 3, pero todos son nulos ya que en todos hay que incluir elementos de la columna 3 que es linealmente dependiente de la 1 y la 2. El orden mayor del menor distinto de cero que se puede formar es dos.
Siempre hay el mismo número de filas y columnas que son linealmente independien- tes.
Esto es la base de la técnica del orlado y del método de Gauss que se explican más adelante. Aprenderemos métodos para hallar el rango de una matriz, pero en todos los casos hay que entender qué se hace, pues puede haber en casos concretos estrategias más sencillas para hallar el rango de una matriz.
TRANSFORMACIONES QUE CONSERAN EL RANGO DE UNA MATRIZ Basándonos en lo anterior, el rango no varia si:
1) Si se realizan operaciones elementales con las filas o con las columnas de la matriz. Recuerda que son operaciones elementales entre las filas o entre las columnas:
Matemáticas II - BACH
Hallar el rango de la matriz
Partimos del siguiente menor de orden 2 distinto de cero:
4 0 2 0
. (Dos filas linealmente independientes)
Orlamos dicho menor de orden dos en todas sus posibilidades (formamos todos los posibles menores de orden 3 añadiendo elementos de filas y columnas que no formen parte del menor de orden 2 considerado):
2 12 8 2 0 1 2 2
2 0 1
1 2 3
Al ser todos los menores de orden 3 que se pueden formar cero, entonces el rango de la ma- triz es dos. (Lógico, al ser cero todos, la fila 3 es combinación lineal de las filas 1 y 2, pues en ambos menores están incluidos todos los elementos de la fila 3 , sólo hay 2 filas (columnas) linealmente inde- pendientes). Si alguno de los menores anteriores de orden 3 hubiese sido distinto de cero (como no se puede seguir orlando dicho menor pues no se pueden formar menores de orden 4) el rango de la matriz hu- biese sido tres.
(Esta técnica que parece mecánica ya había sido explicada en el ejemplo 7, la clave está en bus- car el número máximo de filas o columnas linealmente independientes).
2) MÉTODO DE GAUSS Consiste en reducir una matriz a su forma escalonada realizando operaciones elementales , que sabemos que no modifican el rango. Un método general consiste en realizar operaciones elementa- les hasta obtener ceros por debajo de la diagonal principal. Obteniendo una matriz escalonada y elimi- nado las filas nulas es evidente que las filas que quedan son linealmente independientes. Entonces, en una matriz escalonada el rango de la matriz coincide con el número de filas no nulas.
EJEMPLO 9: Hallar el rango de la matriz
Realizamos operaciones elementales:
Intercambio de la 1ª y 3ª: F 1 (^) F 3 (Así es más sencillo hacer ceros en la primera columna)
Matemáticas II - BACH
1 2 3 3 18
3 2 1 5 6
4 3 2 7 3
1 0 1 1 12
4 4 1
3 3 1
2 2 1 3
F F F
F F F
F F F
F 2 13 F 2
Llegado a este punto, se prescinde de la fila cuarta al ser igual que la ter-
cera y de la tercera por ser proporcional con la segunda:
ya tenemos una matriz escalonada sin filas nulas. En consecuencia el ran- go de la matriz es 2. Hay dos filas en la matriz linealmente independientes. Explicamos este método más detalladamente en el siguiente ejemplo: EJEMPLO 10: Aplicando el método de Gauss, hallar el rango de la matriz B en función del parámetro a:
a
B a 4 2 0
1 1 3 3
1 1 1
1 1 1 2 Realizamos operaciones elementales para conseguir una matriz
escalonada por filas. El método a seguir es muy parecido al de la matriz inversa, pero en el caso de la matriz inversa sólo se pueden realizar operaciones elementales con las filas y, en el caso del ran- go , se pueden realizar operaciones elementales con las filas y con las columnas (pues ambas no modifican el rango).
o Con la primera fila se hacen ceros a los primeros elementos del resto de las filas. Para esto previamente intercambiamos las columnas 1 y 2 para no tener el parámetro a y ade- más a 11 =1, que es clave realizar el resto de las operaciones.
C 1 C 2
a
a
2 4 0
1 1 3 3
1 1 1
1 1 1 2
4 4 1
3 3 1
2 2 1
f f f
f f f
f f f
0 2 2 4
0 2 2 1
0 1 2 1
1 1 1 2
a
a
Matemáticas II - BACH
a
a
4 2 0
1 1 3 3
1 1 1
1 1 1 2 Aprovechamos las operaciones elementales del ejemplo anterior:
Se han realizado 4 permutaciones, por cada una de ellas cambia el signo del determinante, pero como lo hemos hecho 4 veces el signo no varía. El resto de las operaciones elementales realizadas no modifican el valor del determinante. (No obstante puedes resolver el determinante haciendo ceros). Entonces:
a
a
4 2 0
1 1 3 3
1 1 1
1 1 1 2 2 ( 3 ) ( 3 ) 0 0 0 3
0 0 3 3
0 2 1 1
1 1 2 1
a a a
a a
a
Se calculan los valores para los que se anula ese menor: se anula cuando a 3. Entonces: Si a 3 Rango ( B ) 4. (pues no se anula el menor de mayor orden de la matriz). Sólo nos queda, entonces, el caso a 3 : Si a 3 :
(^12012121) 0 0 0 0
2 0 2 1
0 0 0 0
1 1 1 2 rango ( B ) rango rango ^2 ya que hay dos filas linealmente
independientes, o bien 0 2 0
(^1 1) (es distinto de cero uno de los menores de mayor orden que se pueden formar en la matriz resultante).. Luego: Si a 3 rang ( B ) 2 Se este ejemplo se extrae una conclusión muy importante en el cálculo del rango de una matriz: En una matriz cuadrada dimensión n , como es este caso (n=4),: Si A 0 rango ( A ) n También podíamos discutir el rango de esta matriz utilizando la técnica del orlado. (Inténtalo hacer). Veamos esta técnica con otro ejemplo: EJEMPLO 12: Calcular el valor de los parámetros a y b para que la matriz
a b
A
tenga rango igual a dos.
Matemáticas II - BACH Para que la matriz A tenga rango igual a dos deben ser nulos todos los menores de orden tres de la matriz A. Orlando el menor de orden dos:
0 1 0
^ se tienen los determinantes:
a 3 0 b
que si se anulan ambos, garantizan que son nulos todos los meno-
res de orden tres de la matriz (es decir que la tercera fila es combinación lineal de la primera y segunda) y el rango sería dos. Anulando, entonces, estos determinantes:
aplicandoSarrus a a a a
. Del mismo modo:
b b
Entonces: 3 0 3
b b
a a
Además, en el resto de los casos Rango ( A ) 3 EJEMPLO 13: Encontrar si existe algún valor de a para que el rango de la matriz A sea dos:
3 3 8 1
1 2 1
4 1 2 0
2 1 1 0
a^2 A a
En lugar de orlar o aplicar el método de Gauss, en este caso se puede hacer un razonamiento más sencillo ya que no piden discutir el rango de la matriz sino simplemente averiguar si hay algún valor de a para que el rango sea 2. Para que el rango sea dos se deben anular todos los menores de orden tres. Tomamos uno cual- quiera:
a a a
Si a 3 Rango ( A ) 2 Si a 3 :
Matemáticas II - BACH
Lo importante es tener en cuenta que el rango de una matriz es el número de filas (columnas) linealmente independientes.
