Cálculo de Determinantes: Introducción, Definición y Propiedades, Apuntes de Matemáticas

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS

CLASE NÚMERO 4

UNIDAD 1

 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO

 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

 DETERMINANTES: DEFINICIÓN, PROPIEDADES, CÁLCULO

OBJETIVO DE LA CLASE

Calcular el determinante de matrices usando varios métodos y aplicando

propiedades.

DETERMINANTES

DEFINICIÓN

El determinante de una matriz cuadrada A, el cual se denota por det (A) o

|A| , es un valor escalar que constituye una aplicación del concepto de

funciones. Esto es:

det: M

nxn R

A det (A)

sea A =

(

a

11

a

12

a

21

a

22

)

una matriz de 2 x 2

Con frecuencia se denotará det A por

| A | o

|

a

11

a

12

a

21

a

22

|

det A = a

11

a

22

- a 12

a

21

EJEMPLO 3.1.1 cálculo de un determinante de 3 x 3

Sea A =

(

)

. calcule

A

Solución

| A |=

|

|

|

|

|

|

|

|

EJEMPLO 3.1.2 cálculo de un determinante de 3 x 3

Calcule

|

|

Solución

|

|

|

|

|

|

|

|

MÉTODO DE SARRUS

Hay otro método con el que se pueden calcular determinantes de 3 x 3

|

a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33

|

= a

11

a

22

a

33

− a

23

a

32

− a

12

a

21

a

33

− a

23

a

31

• a

13

a

21

a

32

− a

22

a

31

es decir

| A |= a

11

a

22

a

33

• a

12

a

23

a

31

• a

13

a

21

a

32

− a

13

a

22

a

31

− a

12

a

21

a

33

− a

11

a

32

a

33

Se escribe A y se le adjuntan sus primeras dos columnas:

|

a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33

|

a

11

a

12

a

21

a

22

a

31

a

32

A continuación, se calculan los seis productos, poniendo signos menos antes de los productos con

flechas hacia arriba, y se suman todos. Esto da la suma de la ecuación (3.1.4).

EJEMPLO 3.1.3 cálculo de un determinante de 3 x 3 usando el nuevo método

Calcule

|

|

usando el nuevo método

Solución

Si se escribe

|

|

y se multiplica como loindican las flechas

| A |=( 3 ) ( 2 ) ( 4 )+ ( 5 ) ( 3 ) (− 1 ) +( 2 ) ( 4 ) ( 2 )−(− 1 ) ( 2 ) ( 2 )−( 2 ) ( 3 ) ( 3 )−( 4 )( 4 )( 5 )

ADVERTENCIA

Este método no funciona para determinantes de n x n si n > 3. Si intenta algo

similar para determinantes de 4 x 4 o de orden mayor, obtendrá una respuesta

equivocada.

CÁLCULO DE DETERMINANTES n x n con n>

Antes de definir los determinantes n x n debe observarse que la ecuación

(3.1.3) está formada por tres determinantes de 2 x 2 si definimos las siguientes

matrices:

M

11

(

a

22

a

23

a

32

a

33

)

(es la matriz formada al eliminar el primer renglón y la

primera columna de la matriz A);

M

12

(

a

21

a

23

a

31

a

33

)

(es la matriz formada al eliminar el primer renglón y la segunda

columna de la matriz A), y

M

13 =¿

a

21

a

22

a

31

a

32

¿ (es la matriz formada al eliminar en

primer renglón y la tercera columna de la matriz A). Si ahora definimos a A

11

det M

11

, A

12

= - det M

12

y A

13

= det M

13

, podemos escribir la ecuación (3.1.3)

como

det A= |A|= a

11

A

11

+ a

12

A

12

+ a

13

A

13

Cofactor

Sea A una matriz de n x n. El cofactor ij de A, denotado por A

ij

, está dado por

Esto es, el cofactor ij de A se obtiene tomando el determinante del menor ij y

multiplicándolo por (-1)

i+j

. Observe que

i + j

{

1 si i + j es par

− 1 si i + j es impar

EJEMPLO 3.1.6 cálculo de dos cofactores de una matriz de 4 x 4

En el ejemplo 3.1.5 se tiene

A

32

3 + 2

|

M

32

|

|

|

A

24

2 + 4

|

|

DEFINICIÓN 3.1.

DETERMINANTE n x n

Sea A una matriz de n x n como en (3.1.7). Entonces el determinante de A,

denotado por det A o |A|, está dado por

La expresión en el lado derecho de (3.1.8) se llama expansión por cofactores.

EJEMPLO 3.1.7 cálculo del determinante de una matriz de 4 x 4

Calcule det A, de donde

A =

(

)

A

ij

i+j

|M

ij

Det A= |A|= a

11

A

11

+ a

12

A

12

+ a

13

A

13

+ … + a

1n

A

1n

∑

k = 1

n

a

1 k

A

1 k

SOLUCIÓN

= a

11

A

11

• a

12

A

12

• a

13

A

13

• a

14

A

14

OBSERVACIÓN

Es obvio que el cálculo del determinante de una matriz de n x n puede ser

laborioso. Para calcular un determinante de 4 x 4 deben calcularse cuatro

determinantes de 3 x 3. Para calcular un determinante de 5 x 5 deben

calcularse cinco determinantes de 4 x 4, lo que equivale a calcular veinte

determinantes de 3 x 3. Por fortuna existen técnicas que simplifican estos

cálculos. Algunos de estos métodos se presentan en la siguiente sección. Sin

embargo, existen algunas matrices para las cuales es muy sencillo calcular los

determinantes.

TEOREMA 3.1.

Sea A= (a

ij

) una matriz de n x n triangular superior o inferior. Entonces

Esto es: el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus

componentes en la diagonal.

TEOREMA 3.2.

Sean A y B dos matrices de n x n. Entonces

Es decir, el determinante del producto es el producto de los determinantes.

RESUMEN DE DEFINICIONES

det A = a

11

a

22

a

33

……..a

nn

det AB = det A det B

Si en un determinante se cambian entre si dos filas o dos columnas,

entonces el valor del determinante cambia de signo, es decir que

mantiene el mismo valor absoluto pero esos dos números son opuestos.

Ejemplo

Comprobamos la propiedad con los determinantes siguientes en los que

hemos cambiado la 1

ra

fila por la 3

ra

fila

A

|

|

B

|

|

Propiedades

Si en un determinante existen dos líneas paralelas iguales, entonces el

determinante es nulo.

Ejemplo

Calculamos el determinante de

A =

(

)

A

|

|

Propiedades

Si en un determinante existen dos líneas proporcionales, entonces su valor

es nulo.

Ejemplo

| A |=

|

|

|

|

|

|

Propiedades

Si en un determinante se multiplican los elementos de una línea por un

número, entonces el valor del determinante queda multiplicado por ese

mismo número.

Ejemplo

Si

|

|

Entonces

|

|

|

|

|

|

|

|

Propiedades

Si de un determinante, los elementos de una línea están formados por dos

o mas sumandos, entonces el determinante se puede descomponer en la

suma de tantos determinantes como sumandos haya:

Se trata de lo siguiente:

A

|

a + b c + d e + f

|

|

a c e

|

|

b d f

|

Propiedades

Multiplicar una fila o una columna por un numero k implica multiplicar el

det(A) por el inverso multiplicativo de k.

f

i

→ kf

i

c

i

→kc

i

det ( A )=

k

det ( A ¿¿ fi → kfj ) , k ≠ 0 ¿

Propiedades

Reemplazar la fila (columna) j por k veces la fila (columna) i mas la fila

(columna) j, no implica cambio en el det(A).

f

j

→ kf

i

• f

j

c

j

→ kc

i

• c

j