Matemáticas para Ingenieros: Unidad VII - Expresiones algebraicas básicas, Resúmenes de Matemáticas

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Propedéutico de matemática para ingenieros

UNIDAD VII

Fundamentos básicos de expresiones

algebraicas

Nelson Gómez López

Nelson Gómez López Orientaciones para el estudio de la unidad VII Fundamentos básicos de expresiones algebraicas. En esta unidad, se enfocan las Expresiones algebraicas. Fundamentos básicos con la finalidad de ofrecer las herramientas fundamentales para entender, procesar y aplicar situaciones problemáticas a través de números y letras. Los temas básicos tratados en esta unidad son: Expresiones algebraicas, Término algebraico y sus partes, Grado absoluto y relativo de un término, Modelos algebraicos, Lenguaje ordinario, cotidiano o coloquial, Lenguaje numérico, Lenguaje algebraico, Definición de polinomio, Grado de un polinomio, Clases de polinomio, Valor numérico de una expresión algebraica, Simplificación de signos de agrupación de expresiones algebraicas racionales, Factores primos, Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo. El desarrollo pedagógico de la unidad requiere que el participante se conecte con los prerrequisitos básicos para su inclusión en el álgebra, como son los fundamentos básicos de expresiones algebraicas. La misma contiene definiciones, reglas, explicaciones y ejercicios que permiten afianzar los conocimientos. Se le recomienda a cada participante, revisar los modelos de ejercicios resueltos, ya que los mismos están estructurados con soluciones paso a paso.

Nelson Gómez López Esquema de la unidad VII Fundamentos básicos de expresiones algebraicas. 7 .1 Expresiones algebraicas 7 .2 Término algebraico y sus partes 7 .3 Grado absoluto y relativo de un término 7 .3.1 Grado absoluto de un término 7 .3.2 Grado relativo de un término

7. 4 Lenguaje algebraico

7 .5 Modelos algebraicos 7 .6 Lenguaje ordinario, cotidiano o coloquial 7 .7 Lenguaje numérico 7 .8 Lenguaje algebraico 7 .9 Definición de polinomio 7 .9.1 Grado de un polinomio 7 .9.2 Clases de polinomio 7 .10 Valor numérico de una expresión algebraica 7 .11 Simplificación de signos de agrupación de expresiones algebraicas racionales 7 .11.1 Regla para simplificar o suprimir signos de agrupación 7 .12 Factores primos 7 .13 Máximo común divisor 7 .14 Mínimo común múltiplo

Propedéutico de matemática para ingenieros Unidad VII Fundamentos básicos de expresiones algebraicas.

7 .1 Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas.

7 .2 Término algebraico y sus partes

Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo , el coeficiente, la parte literal y el grado. precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo. Signo: el término puede ser positivo o negativo, si es positivo no se indica con ningún caracter, en caso contrario como la imagen inicial se indica que es negativo con un "-" que precede al coeficiente. Coeficiente: Es el número por el cual se multiplica el resto del término en nuestro ejemplo es el 5 , en caso de no tener coeficiente se entiende que es la unidad. Parte literal: es la parte formada por las letras, puede ser cualquier letra, en nuestro ejemplo es y. Exponente: es el que se coloca en la parte superior derecha de la parte literal o letra.

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7 .4 Lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas , formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. Este lenguaje ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando generalidades.

7 .5 Modelos algebraicos

Los modelos algebraicos son herramientas que ayudan a solucionar problemas cotidianos, cuando no contamos con dos datos o más. Para construir este tipo de modelos, se debe traducir del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico. En todo momento el modelo proporciona la fórmula del problema. Es una representación simplificada del mundo verdadero, incluye variables pertinentes que se pueden controlar. La mayoría de los modelos son simbólicos porque representan las propiedades del campo de estudio que se desee. Los primeros modelos eran de representaciones físicas, tal como modelos para el comportamiento de aviones, tanques de remolque y barcos.

7 .6 Lenguaje ordinario, cotidiano o coloquial

Es el que usa cualquier persona cotidianamente para expresar sus ideas. Se le considera como una herramienta primaria de carácter socio-cultural facilitadora de la comunicación y con ello de la adquisición de otras herramientas.

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7 .7 Lenguaje numérico

Es el que sirve para expresar operaciones en las que solo aparecen números y signos de operaciones básicas.

7 .8 Lenguaje algebraico

Es el que utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar informaciones. **Ejemplos:

1. Exprese en el lenguaje algebraico a) El doble de un número** Solución El doble, dos veces o duplo (2) de un número, luego se elige una letra, esto es: 2x b) La suma de dos números Solución Se eligen dos letras separadas con el signo más, es decir: x + y c) El triplo de un número menos cuatro unidades, más el mismo número Solución El triplo es (3), se acompaña con una letra (b), el signo (-), cuatro unidades (4), más (+) el mismo número, significa usar la misma letra (b), es decir: 3b - 4+b d) El doble de un número menos tres unidades, más otro número, menos la tercera parte del primer número, más la mitad del segundo. Solución El doble es (2), se acompaña con una letra (x), el signo (-), tres unidades (3), más (+) otro número (y), menos (-) tercera parte del primer número ( ! 6 x), más la mitad del segundo número ( ! " y), es decir: 2x-3+y - 𝟏 𝟑 x+ 𝟏 𝟐 **y
2. Exprese en el lenguaje ordinario o coloquial a) x**^2 +y^2

Nelson Gómez López iii. Polinomio de segundo grado P(x) = 2x 2

• 3x + 2 iv. Polinomio de tercer grado P(x) = 5x^3 - 2x^2 + 3x + 2 v. Polinomio de cuarto grado P(x) = 2x^4 + x^3 - 2x^2 + 3x + 2 7. 9 .2 Clases de polinomio a) Polinomio nulo: es aquel que tiene todos sus coeficientes nulos, por Ejemplo P(x) = b) P olinomio homogéneo: es el que posee todos sus monomios o términos con el mismo grado. Ejemplo: P(x) = 2x^4 + x^3 y- 2x^2 y^2 c) P olinomio heterogéneo: es el que tiene los términos de diferente grado. Ejemplo P(x) = 5x 2
• 8x + 15 d) P olinomio completo: posee todos los términos. Ejemplo 𝑃 𝑥 = − 7 𝑥 8
• 15 𝑥 6
• 7 𝑥 " − 9 𝑥 − 4 e) P olinomio ordenado: si los términos que lo conforman están escritos de mayor a menor grado. Ejemplo 𝑃 𝑥 = 5 𝑥^6 + 𝑥"^ − 9 𝑥 + 8 f) Polinomios Semejantes: dos polinomios son semejantes, cuando poseen la misma parte literal: Ejemplo 𝑃 𝑥 = 𝑥^6 + 𝑥"^ − 4 𝑥 + 8 𝑄 𝑥 = 5 𝑥^6 − 9 𝑥"^ − 6 𝑥 + 2 g) Polinomios Iguales: dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y si los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

Propedéutico de matemática para ingenieros Ejemplo 𝑃 𝑥 = 𝑥"^ − 4 𝑥 + 8 𝑄 𝑥 = 8 + 𝑥"^ − 4 𝑥 h) Polinomios opuestos: Dos polinomios son opuestos si sus coeficientes de igual grado son opuestos. Para indicar esto se escribe un “−” por delante del polinomio. Ejemplo Dada el polinomio 𝑃 𝑥 = 5 𝑥"^ − 9 𝑥 + 2 su opuesto es −𝑃 𝑥 = − 5 𝑥"^ + 9 𝑥 − 2

7 .10 Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las variables de la de dicha expresión por valores concretos y completar las operaciones. Una misma expresión algebraica puede tener muchos valores numéricos diferentes, en función del número que se asigne a cada una de las variables de la misma. Para realizar esta operación se debe recordar las siguientes reglas para operaciones básicas:

• Reemplazar cada variable por el valor asignado.
• Calcular las potencias indicadas y raíces
• Efectuar las multiplicaciones y divisiones
• Realizar las adiciones y sustracciones Ejemplos a) Determine el valor numérico de 2 2 3

5 x y - 8 xy - 9 y ,^ si 𝒙 = 𝟐e𝒚 = −𝟏.

Solución Se sustituyen las letras por los valores numéricos correspondientes 2 2 3

5 x y - 8 xy - 9 y

( ) ( ) ( ) 2 2 3

= 5 × 2 × - 1 - 8 × 2 ×- 1 - 9 × - 1

Propedéutico de matemática para ingenieros Después, los productos: Por último, se suma y se resta, y resulta **d) Dado P(x) =x 4 − 2x 3

• x 2
• x – 1. Determine la evaluación del polinomio para P (1).** P (1) = 1 4 − 2 · 1 3
• 1 2
• 1 – 1 P (1) = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 P (1) = 0

7 .11 Simplificación de signos de agrupación de expresiones

algebraicas racionales

Los signos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades contenidas entre ellos deben ser consideradas como un todo, se emplean para alterar el orden de las operaciones, y cuando existen operaciones dentro de ellos, éstas deben efectuarse primero. Los signos de agrupación son tres:

1. Los paréntesis ( )
2. Las llaves { }
3. Los corchetes [ ] 7 .11.1 Regla para simplificar o suprimir signos de agrupación Para simplificar expresiones algebraicas en donde existen signos de agrupación se deben tomar en cuenta los siguientes puntos:
   • Si el signo que precede el símbolo de agrupación es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.
   • Si el signo que precede el símbolo de agrupación es negativo , se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.

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• El orden en el que se suprimirán los signos de agrupación, cuando existen más de una pareja, se eliminan de adentro hacia afuera, es decir se empiezan a eliminar desde el más interior. Ejemplos Simplifique las siguientes expresiones

1. (^2) a + {- x + a - 1 } - { a + x - 3 } Solución En este caso se eliminan las llaves, en la primera parte, el signo que precede es +, por tanto todos los términos salen de las llaves con sus propios signos, y en la segunda parte el signo es menos, por tanto todos los términos salen con los signos cambiados. 2 a + {-^ x + a - 1 }^ - { a^ + x - 3 }= 2 a - x + a - 1 - a - x + 3 Se reducen los términos semejantes, y resulta: = 2 a - 2 x + 2
2. 3x – (6x + 1) + (x – 3) Solución En este caso se eliminan los paréntesis, en la primera parte, parte el signo es menos (-), por tanto todos los términos salen con los signos cambiados, y en la segunda parte, el signo que precede es más (+), por tanto todos los términos salen de las llaves con sus propios signos. 3x – (6x + 1) + (x – 3) 3x – 6x – 1 + x – 3 Se reducen los términos semejantes, y resulta = – 2 𝒙 – 4

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5. (– 5 x 4

• 7 x 2
• 3 x – 15) – (5 x 3
• 9 x 2

• 6 x – 7) Solución Se suprimen los paréntesis sabiendo que el signo de la primera parte de los es más (+), por tanto todos los términos del polinomio conservan sus signos, pero en la segunda parte es menos (–), esto indica que se le cambian los signos a todos los términos:
• 5 x 4

• 7 x 2
• 3 x – 15 - 5 x 3

• 9 x 2

• 6 x + 7 Se realiza la reducción, y resulta: = – 5 x 4

• 5 x 3
• 2 x 2 +9 x – 8

6. _(7x 4

• 5x 5

• 4x 2

• 7. • (x 3
• 3x 2
• 5 + x) – (–3x 4

• 5 – 8x + 2x 3 )_ Solución Como ya se explicado el procedimiento de los signos que preceden los signos de agrupación, se deja el siguiente modelo resuelto. = 7 x^4 – 5 x^5 + 4 x^2 – 7 + x^3 – 3 x^2 – 5 + x + 3 x^4 – 5 + 8 x – 2 x^3 = – 5 x^5 + 10 x^4 – x^3 + x^2 + 9 x – 17

7. (^) ÷ ø ö ç è æ ÷- - + + ø ö ç è æ ÷+ - + + ø ö ç è æ

4 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 6 1 31 12 6 7 4 1 x x x x x x x x x Solución Como ya se explicado el procedimiento de los signos que preceden los signos de agrupación, se deja el siguiente modelo resuelto. 4 3 2 2 3 2 4 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 6 1 31 12 6 7 4 1 3 2 3 2 2 3 3 2 6 1 31 12 6 7 4 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x = - + + + + - + + + - - ÷ ø ö ç è æ ÷- - + + ø ö ç è æ ÷+ - + + ø ö ç è æ

6 69 3 14 3 88 6 5 4 (^1 4 ) = x + x + x + x +

8. (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x – 1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5)

Propedéutico de matemática para ingenieros Solución Como ya se explicado el procedimiento de los signos que preceden los signos de agrupación, se deja el siguiente modelo resuelto.

- 5 z + 2y – 2 z + 5y + 7x +1 +( – 3 z)– 4 y – 9 x + 4y – 8 x + 5 = – 10 z + 7 y – 10 x +

9. _(xy 2

• 3x 2
• y 2

• x 2 y) – (x 2 y + 5x 2 ) + (3xy 2

• y 2
• 5x 2 )_ Solución Como ya se explicado el procedimiento de los signos que preceden los signos de agrupación, se deja el siguiente modelo resuelto. = xy 2
• 3 x 2
• y 2

• x 2 y – x 2 y – 5 x 2
• 3 xy 2

• y 2
• 5 x 2 = 4 xy 2
• 13 x 2
• 2 y 2

7 .12 Factores primos

Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias. Ejemplos Determine los factores primos en cada caso: a) 9 Solución Se descompone el 9 en sus factores primos

Propedéutico de matemática para ingenieros resultado de multiplicar los factores comunes y los no comunes, afectados por el mayor exponente. Si los números son primos entre sí, el M.C.M. es el producto entre ellos. Ejemplos

1. Determine el MCD y el MCM de: 36xy, 60x^2 y, 72x^3 y Se descomponen en sus factores primos los números 36, 60 y 72, es decir:

36 x 4 y = 2 2 · 3 2 x 4 y 60 x 2 = 2 2 · 3 ·5 x 2 72 x 3 y = 2 3 · 3 2 x 3 y Para determinar el MCD, se verifica que los factores que se repiten en las tres cantidades son el 2 , el 3 y variable x , tomando el menor exponente de cada factor que repite ( 22 ·3. x^2 ) y expresándolos como una multiplicación tenemos que: MCD= 22 ·3 x^2 MCD= 4 ·3 x 2 MCD= 12 x 2 Para determinar el MCM, se toma un factor de cada tipo en las cantidades descompuestas con su mayor exponente ( 26. 3 ". 5 .𝑥^8. 𝑦), luego se expresan como una multiplicación, sin importar si dichos factores se repiten o no, por tanto: MCD= 26. 3 ". 5 .𝑥^8. 𝑦 MCM= 8. 9. 5 .𝑥^8. 𝑦 MCM= 360𝑥^8 𝑦

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3. Halla el MCD y MCM de 5, 7 y 11 Se descomponen en sus factores primos los números 5a, 7b y 11c, es decir: 5a= 5a 7b= 7b 11c= 11c Determino el MCD, en este caso no se repiten factores en ninguna de las cantidades, por tanto, por definición: MCD= 1 Para determinar el MCM, se toma un factor de cada tipo en las cantidades descompuestas con su mayor exponente ( 5. 7. 11.a.b.c) se expresan como una multiplicación, sin importar si dichos factores se repiten o no, por tanto: MCD= 5. 7. 11.a.b.c MCD= 385abc