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Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
FUNCIÓN DERIVADA. PROPIEDADES
Si una función f ( x ) tiene derivada en todos los puntos de un conjunto A Œ D , se dice que f es
derivable en A. En este caso, se puede definir una nueva función se denota por f ',
df
dx
o Df y se
llama función derivada de f dada por f ': A → Ñ con f '( x ) =
0
lim x
f x x f x
∆ → x
Aplicando la definición de derivada se obtienen las siguientes reglas de derivación que indican
como obtener la función derivada de las funciones elementales más utilizadas.
f ( x )= c ⇒ f '( x ) = 0
a f x = x ⇒^
1 '( )
a f x ax
−
x f x = a con a > 0 ⇒^ '( ) ln
x f x = a a
x f x = e ⇒^ '( )
x f x = e
( ) log a f x = x con a > 0 (^) ⇒ 1 1 '( ) log ln
a f x e x x a
f ( x ) = ln x ⇒ 1 f '( x ) x
f ( x ) = sen x ⇒ f '( x ) =cos x
f ( x ) = cos x ⇒ f '( x ) = −sen x
f ( x ) = tg x ⇒ 2
2
'( ) 1 tg
cos
f x x
x
f ( x ) = arcsen x ⇒
2
f x
x
f ( x ) = arccos x ⇒
2
f x
x
f ( x ) = arctg x ⇒
2
f x
x
Propiedades
- Si f y g son dos funciones derivables entonces f + g también lo es y ( f + g )'( x ) = f '( x ) + g '( x ).
- Si f es una función derivable y t un número real cualquiera entonces t.f también lo es y
(. t f )'( x ) = t f '( x )
- Si f y g son dos funciones derivables, entonces, f. g también lo es y
(. f g )'( x ) = f '( x g x ) ( ) + f ( x g ) '( x ).
- Si f y g son dos funciones derivables con g(x) ≠ 0 entonces
f
g
también lo es y
( )
'
2
f f x g x f x g x x g g x
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
- Si f es derivable en x y g lo es en f ( x ) entonces g D f es derivable en x y
( g D f )'( x ) = g '( ( f x )) f '( x ). Esta propiedad se conoce con el nombre de Regla de la cadena.
- Si f es una función inyectiva y derivable en x con f '( x ) ≠ 0 entonces la función inversa
1 f
− es
derivable en f ( x ) y
f f x f x
− =.
Aplicando estas propiedades y las reglas de derivación se puede obtener fácilmente la función
derivada de las funciones más habituales.
Ejemplo 6: Hallar la función derivada de las siguientes funciones:
a)
2 f ( x ) = x + sen x , derivando cada sumando se obtiene, f '( x ) = 2 x +cos x
b)
3 3 2 2
1 f ( x ) x x x
= − + , escribiendo la función de la forma
2 (^3 2 ) f ( x ) x x x
− = − + y derivando cada sumando queda
2 1 1 2 3 3 2 3 2 3 3 3
2 2 2 2 2 '( ) 3 ( 2) 3 3 (^3 3 )
f x x x x x x x x x x
− − − = − − + = + + = + +
c)
3 2 ( )
x f x = x e , aplicando la regla de derivación del producto queda,
2 2 3 2 2 2 3 2 '( ) 3 2 3 2
x x x x f x = x e + x e = x e + x e.
d)
3 1 ( ) 2
x x f x x
− +
− +
, aplicando la regla de derivación del cociente queda
2 3
2
(3 1)( 2) ( 1)( 1) '( ) ( 2)
x x x x f x x
− − + − − + −
− +
3 2
2
2 6 1
( 2)
x x
x
− + −
− +
e)
1 ( ) ln 1
x f x x
= −
, aplicando la regla de la cadena queda, 2 2
1 1 ( 1) 2 2 '( ) (^1) ( 1) ( 1)( 1) 1
1
x x f x x (^) x x x x
x
− − + − − = = =
−
f)
sen ( )
x f x = e , aplicando la regla de la cadena queda,
sen '( ) 3 cos
x f x = x e
Ejemplo 7: Hallar la función derivada de
2
1 si 2 ( )^2
4 si 2
x f x x
x x
⎧ ⎪ < = ⎨ − ⎪ ⎩ −^ ≥
Para cualquier valor de x < 2 , aplicando la reglas de derivación se tiene 2
1 '( ) ( 2)
f x x
−
−
.
Para cualquier valor de x > 2 , derivando el polinomio se tiene f '( x ) = 2 x.
Para x = 2, veamos en primer lugar si la función es continua calculando los límites laterales
2
2 2
lim ( ) lim 4 0 x x
f x x
→ →
= − = 2 2
1 1 lim ( ) lim (^2 ) x x
f x − − (^) x − → →
= = = −∞ −
como estos límites no coinciden la función no es continua en x = 2 y por lo tanto no es derivable en este punto.
Así, la función derivada de f es 2
1 si 2 '( ) (^) ( 2)
2 si 2
x f x (^) x
x x
⎧ − ⎪ < = (^) ⎨ − ⎪ ⎩ >
Una vez definida la función f ' se puede plantear si esta función tiene derivada. Así para aquellos
puntos en los que f 'tiene derivada, se define la función derivada segunda de f que se denota
por f '',
2
2
d f
dx
o
2 D f dada por f ''( x ) = ( f ')'( x ).
