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Departamento de Ciencias

COMPLEMENTO MATEMÀTICO

PARA INGENIEROS

SESIÓN 4 : Ecuación de la parábola

INTRODUCCIÓN

Telecomunicaciones

Un elemento importante para la transmisión

y recepción de señales son las antenas

parabólicas, las cuales por su geometría

permite amplificar y concentrar señales de

radio frecuencia, para transmitir información

de audio, video y datos.

¿Cómo esta forma parabólica presenta un punto

de concentración?

¿Qué elementos tiene esta estructura parabólica?

¿Qué necesitaremos saber para diseñar una

antena de este tipo?

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión el

estudiante resuelve ejercicios y

problemas de contexto real

relacionados a su carrera

haciendo uso de las ecuaciones

de la parábola; de forma

correcta.

CONTENIDOS

1. Definición y elementos.

2. Ecuación Canónica.

3. Ecuación Ordinaria..

4. Ecuación general y aplicaciones.

Ejemplo:

ELEMENTOS DE LA PARÀBOLA

Parábola con parámetro p = 3, foco y su

ecuación de directriz

x

y

Eje focal

V(3,2)

D: y = - 1

F(3,5)

x

y

Eje focal

V(2,1)

D: y = - 1

Parábola con parámetro p = 2, foco y su

ecuación de directriz

F(2,3)

ECUACIÒN CANÒNICA-V(0,0)

Eje focal paralelo al eje Y

p > 0 (^) p < 0

Eje focal paralelo al eje X

x

y

F ( p; 0 )

x = - p

P ( x ; y )

|p| (^) |p|

𝒚

𝟐 = 𝟒𝒑𝒙

y

x F ( p; 0 )

x = - p

P ( x ; y )

| p | | p |

𝒙

𝟐 = 𝟒𝒑𝒚

p > 0 (^) p < 0

Ejemplo 2 : Determine el foco, la directriz y el parámetro de la parábola:

Solución

Parábola

2

2 = 4𝑝𝑦

El lado recto o ancho focal

es LR = │ 4 p│ con p en

distancia

Luego: 4p = - 2 p =^ - 1/

vértice: V= (0;0)

Foco : F = ( 0; - 1/2)

2 = − 2 𝑦

Despejando el término cuadrático

x

y

Directriz: y =1/

F

Ejemplo 3 : Determine el foco, la directriz y el ancho focal de la parábola:

Solución

Parábola

2 = −8𝑥

2 = − 8 𝑥 de:

2 = 4𝑝𝑥

El lado recto o ancho focal

es LR = 4 p con p en

distancia

Luego: 4p = - 8 p =^ -^2

vértice: V= (0;0)

Foco : F = ( - 2; 0)

Directriz: x = 2

F

x

y

ECUACIÒN ORDINARIA-V(h,k)

Eje focal paralelo al eje X

𝟐 = 𝟒𝒑 𝒙 − 𝒉

P > 0

x

y

Eje focal

h

k

V(h, k) F(h+p, k)

p p

D: x=h-p x

y

Eje focal

h

k F(h+p, k) V(h, k)

D: x=h-p

p p

P < 0

Ejemplo 4 : Halle la ecuación de la parábola con Vértice ( 2 , 1 ) y Foco ( 2 , 4 )

Solución

Parábola

V: (2; 1)

F: ( 2 ; 4 )

Vértice (2;1) = (h; k)

Foco (2; 4) = (h; k+p)

h = 2 ; k= 1 ; p = 3

k+p = 4

1+p=

P=

Su ecuación tiene la forma:

2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘

𝑥 − 2

2 = 12 𝑦 − 1

Reemplazando los valores:

2 = 4 3 𝑦 − 1

Ecuación ordinaria:

Ejemplo 6 : Encuentre la ecuación de la parábolas mostradas:

Solución

Parábola

Eje focal

V(5, 7)

D: x=

F( 9 , 7 )

𝟐 = 𝟒(𝟒) 𝒙 − 𝟓

P=

Eje focal

F(2, 5) V(10, 5)

D: x=

Solución 𝒚 − 𝟓

𝟐 = 𝟒(−𝟖) 𝒙 − 𝟏𝟎

P=- 8

𝟐 = 𝟏𝟔 𝒙 − 𝟓 𝒚 − 𝟓

𝟐 = −𝟑𝟐 𝒙 − 𝟏𝟎

Ecuación general de la parábola

Si consideramos una parábola con vértice V( 0 , 0 ), su

ecuación canónica es

𝒚

𝟐 = 𝟒𝒑𝒙

Si le aplicamos una traslación T(h,k), obtenemos la

ecuación ordinaria de la parábola con vértice V(h,k):

𝒚 − 𝒌

𝟐 = 𝟒𝒑 𝒙 − 𝒉

Por efecto de la traslación, el nuevo eje focal se mantiene paralelo al eje X. La ecuación principal permite

conocer de inmediato las coordenadas de su vértice, el valor de p y, por lo tanto, la medida del lado

recto.

Desarrollado los cuadrados de binomios y ordenando la ecuación principal, se obtiene la ecuación

general de la parábola:

𝒚

𝟐

• 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

D=-4p E=-2k F=^ 𝒌

𝟐

• 𝟒𝒑𝒉

V(h, k)

y

F

h

k

Parábola

Ubicamos los ejes de coordenadas de modo que el eje X coincida en la calzada Y el

origen coincida en el centro del puente. Entonces, las torres gemelas quedarán a

746 - 220 = 526 pies arriba de la calzada y ubicadas a 4200 / 2 = 2100 pies del centro.

Los cables de forma parabólica se extenderán desde las torres, abriendo hacia

arriba, y tendrán su vértice en ( 0 , 0 ) como se ilustra en la figura de arriba.

Parábola

La ecuación de una parábola es: 𝑥

2 = 4 𝑝𝑦

Observe los puntos (- 2100 ; 526 ) y ( 2100 ; 526 ) están en la gráfica parabólica,

entonces:

( 2100 )

2 = 4 𝑝( 526 ) 4 𝑝^ =^

( 2100 )

2

526

Reemplazando en la ecuación de la

parábola:

2

2

. (y)

Se pide la altura del cable, cuando x= 1000 es:

y =

2

2 ≈ 119 , 3

Respuesta: Luego, el cable mide 119 , 3 pies de altura.

2

2

. (y)