¡Descarga Problemes complexos y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
C `ALCUL
Enginyeria de Sistemes Electr`onics, 2015-
N´umeros complexos
- Doneu la part real, la part imagin
aria, el modul, l’argument, el conjugat i feu la representaci´o
gr`afica dels n´umeros complexos seg¨uents:
(a) z 1 = 3 − 3 j (b) z 2 = − 1 −
3 j (c) z 3 = 2 + 5j (d) z 4 = −3 +
3 j
(e) z 5 = 1 + j (f ) z 6 = −1 + j (g) z 7 = −
3 + j (h) z 8 = − 4 j (i) z 9 = − 125
Sol:
(a) Re[z] = 3, Im[z] = − 3 , z = 3 + 3j, |z| = 3
2 , Arg[z] = 7π/ 4.
(b) Re[z] = − 1 , Im[z] = −
3 , z = −1 +
3 j, |z| = 2, Arg[z] = 4π/ 3.
(c) Re[z] = 2, Im[z] = 5, z = 2 − 5 j, |z| =
29 , Arg[z] = arctan(5/2).
(d) Re[z] = − 3 , Im[z] =
3 , z = − 3 −
3 j, |z| = 2
3 , Arg[z] = 5π/ 6.
(e) Re[z] = 1, Im[z] = 1, z = 1 − j, |z| =
2 , Arg[z] = π/ 4.
(f ) Re[z] = − 1 , Im[z] = 1, z = − 1 − j, |z| =
2 , Arg[z] = 3π/ 4.
(g) Re[z] = −
3 , Im[z] = 1, z = −
3 − j, |z| = 2, Arg[z] = 5π/ 6.
(h) Re[z] = 0, Im[z] = − 4 , z = 4j, |z| = 4, Arg[z] = 3π/ 2.
(i) Re[z] = − 125 , Im[z] = 0, z = − 125 , |z| = 125, Arg[z] = π.
- Siguin z = a + bj = reθj^ i w = c + dj = seϕj^ n´umeros complexos i z i w els seus conjugats, es
a dir z = a − bj i w = c − dj. Proveu les igualtats seg¨uents:
(a) |z|^2 = z · z, per tant r = |z| =
z · z
(b) (z + w) = z + w
(c) z · w = z · w
(d) (
z w ) =^
z w (e) zz = e^2 θj
(f) Re[z] = 12 (z + z)
(g) Im[z] = (^21) j (z − z)
(h) Re[z] · Re[w] = 12 Re[z · w + z · w]
(i) Re[z] · Im[w] =
1 2 Im[z^ ·^ w^ −^ z^ ·^ w]
(j) Im[z] · Im[w] = 12 Re[z · w − z · w]
- Siguin z = eAj^ i w = eBj^ dos n´umeros complexos. Utilitzant la f´ormula de Euler
(eθj^ = cos θ + j sin θ) i les propietats (h), (i) i (j) de l’exercici anterior, proveu les relacions
trigonom`etriques seg¨uents:
(a) cos A · cos B = 12 (cos(A + B) + cos(A − B))
(b) cos A · sin B = 12 (sin(A + B) − sin(A − B))
(c) sin A · sin B =
1 2 (cos(A^ −^ B) + cos(A^ +^ B))
- Doneu el resultat de les operacions seg¨uents:
(1 + j)(1 − j) (3 + 4j)(2 − 5 j) (− 1 − 2 j)(−3 + 4j)
j(2 + j)
(1 + j)(2 − j)
3 + j
1 + j
Sol: 2 , 26 − 7 j, 11 + 2j, − 101 + 107 j,
√ 3 2 −^
1 2 j
- Siguin z 1 = 1 + 2j, z 2 = − 2 − 3 j, z 3 =
1 2 −^ j,^ z^4 =^ −^5 j. Calculeu:
3 z 1 + z 2 , |z 1 · z 2 |, |z 1 | · |z 2 |, |z 1 + z 2 |, |z 1 | + |z 2 |, z 1 · z 2 − z 3 · z 4 ,
|z¯ 1 − ¯z^22 |,
z 1 + 1
1 − z 2
z 2
z 4 − ¯z 3
, (z 1 + z 3 )^2 · z¯ 1
Sol: 1+3j,
13 , 9 − 92 j, 2
34 , 23 , 14576 − 14542 j, 294 + 12 j
- Donat el nombre complex z =
2 −xj 2+xj , trobeu un nombre real^ x^ per a qu`e la part real de^ z^ sigui zero. Hi ha algun x tal que z nom´es tingui part real? Quins s´on aquests z que s’obtenen?
Sol: x = ± 2 , x = 0, z = −j, j, 1
- Convertiu de radians a graus i a l’inrev`es els angles seg¨uents:
45 o, π rad, 7
π
3
rad, 240 o, 2 rad, 136 o, 247 o, 23 rad
Sol:
π 4 rad,^180
o, 420 o, 4 3 π^ rad,^
360 π
o ,
34 45 π^ rad,^
247 180 π^ rad,^
4140 π
o
- (a) Trobeu geom`etricament, fent servir triangles, els valors de sin(π/4), cos(3π/4), tan(5π/4).
Sol:
(b) Sabent que a 30m de dist`ancia la punta d’un arbre es veu en un angle de 60 graus, quina ´es l’al¸cada de l’arbre?
Sol: 30
- Expresseu els nombres seg¨uents en forma polar:
3 + 4j , 2 − j , −3 + j , − 2 − 3 j.
Sol: 5 e^0.^9273 j^ ,
5 e^5.^8195 j^ ,
10 e^2.^8198 j^ ,
13 e^4.^1244 j
- Expresseu els seg¨uents nombres complexos en la forma a + bj:
ejπ^ , e^1 /2+jπ/^4 , ee
2+jπ/ 2 .
Sol: − 1 ,
√ 2 e 2 +
√ 2 e 2 j,^ cos (e
(^2) ) + j sin (e (^2) )
- Doneu el resultat de les operacions seg¨uents:
3 ej^
π (^3) + 2ej^
π (^4) (1 + j)^5 (1 + j)ej^
π (^6) ej^
π (^2) + ej^
π 4
Sol: ( 32 +
√ 3 2 +^
2)j, 4
2 e
5 π 4 j^ ,
2 e
5 π 12 j^ , √^1 2
√ √2+ 2
j
Sol:
- les arrels de p 1 (z) s´on 1 ,
−1+
√ 5 2 j,^
− 1 −
√ 5 2 j
- les arrels de p 2 (z) s´on − 21 +
√ 3 2 j^ i^
− 1 2 −
√ 3 2 j
- les arrels de p 3 (z) s´on
1 2 +
√ 3 2 j,^
− 1 2 +
√ 3 2 j,^
1 2 −
√ 3 2 j^ i^
− 1 2 −
√ 3 2 j
- les arrels de p 4 (z) s´on 5 j, 4 , − 41
- (a) Considereu el polinomi p(z) = 2z^5 + 2. Trobeu totes les arrels a C i escriviu–les com un
nombre complex (en forma cartesiana o polar).
Sol: − 1 , e
π 5 j^ , e
3 π 5 j^ , e
7 π 5 j^ , e
9 π 5 j
(b) Factoritzeu p(z) a R[z] i a C[z].
Sol: C[z] : p(z) = 2(z + 1)(z − e
π 5 j^ )(z − e
3 π 5 j^ )(z − e
7 π 5 j^ )(z − e
9 π 5 j^ ),
R[z] : p(z) = 2(z + 1)(z^2 − 1. 6180 z + 1)(z^2 + 0. 6180 z + 1)
- Factoritzeu els polinomis p 1 (z) = 2 z^3 + 2z^2 + 3z + 3 i p 2 (z) = −z^3 + 4z^2 − 6 z + 4
a R[z] i a C[z].
Indicaci´o: Tots dos polinomis tenen una arrel entera.
Sol:
C[z] : p 1 (z) = 2(z + 1)(z −
j)(z +
j), p 2 (z) = −(z − 2)(z − 1 − j)(z − 1 + j)
R[z] : p 1 (z) = 2(z + 1)(z
2
), p 2 (z) = −(z − 2)(z
2 − 2 z + 2).
- Trobeu un polinomi a C[z] de grau 3 que tingui l’arrel −3 amb multiplicitat 2 i l’arrel j amb
multiplicitat 1.
Sol: z^3 + (6 − j)z^2 + (9 − 6 j)z − 9 j
- Trobeu tots els punts z tals que −1 + j, −2 + 3j i z formen un triangle equil`ater.
Sol: − 32 −
√ 3 2 )j^ i^ −^
3 2 +^
√ 3 2 )j
- Siguin z 1 = 0, z 2 , z 3 , z 4 = 2 + 3j, z 5 , z 6 els v
ertexs consecutius d’un hexagon regular. Trobeu
z 2 , z 3 , z 5 i z 6. Quin ´es el centre de l’hex`agon?
Sol: el centre ´es 1 +
3 2 j, i els v`ertexs^ z^2 =^
1 2 +^
3
√ 3 4 + (^
3 4 −
√ 3 2 )j,^ z^3 =^
3 2 +^
3
√ 3 4 + (^
9 4 −
√ 3 2 )j, z 5 = 32 − 3
√ 3 4 + (^
9 4 +
√ 3 2 )j,^ i^ z^6 =^
1 2 −^
3
√ 3 4 + (^
3 4 +
√ 3 2 )j.
- Trobeu les arrels de l’equaci´o z^2 − (2 + 5j)z − 6 + 6j = 0. Quin ´es el modul i l’argument
de cada una? Considereu el triangle que formen aquestes arrels amb l’origen de coordenades.
Quina ´es l’`area del triangle? Quin ´es el per´ımetre? Es rectangle?´
Sol: les arrels s´on 2 + 2j i 3 j, en coordenades polars 2
2 e
π 4 j^ i 3 e
π 2 j^. L’`area ´es 3 , i el
per´ımetre ´es 8. 0645. No ´es rectangle.
- Usant la F´ormula d’Euler doneu una f´ormula per sin(7α) en funci´o de sin(2α), cos(2α), sin(3α)
i cos(3α).
Sol: sin(7α) = cos^2 (2α) sin(3α) + 2 cos(2α) sin(2α) cos(3α) − sin^2 (2α) sin(3α).
- Trobeu totes les solucions de:
sin(x) = 0, sin(x) = e
π/ 2 − 1 , cos(x) =
sin(x) = cos(x +
π
2
sin(x) = cos(x +
π
4
Sol:
x = kπ on k ∈ Z, no t´e soluci´o, x =
π
4
7 π
4
x = kπ on k ∈ Z, x = 0.4636 + kπ on k ∈ Z
