Tema 5: Regresión con
datos de sección
cruzada
Universidad Complutense de
Madrid
1
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Asignatura: Econometria GADE, Profesor: , Carrera: Administración y Dirección de Empresas, Universidad: UCM
Tipo: Apuntes
2014/2015
1 / 38
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Tema 5:
Regresión con
datos de sección
cruzada
Universidad Complutense de
Madrid
Introducción (I)
En este tema se trata el incumplimiento de dos hipótesisdel MLG, aparentemente no relacionadas, que son: lavarianza no constante del error (heteroscedasticidad) yla^
no
normalidad
del
error.
Un
tercer
problema
relacionado con los dos anteriores, es la presencia dedatos “atípicos” en la muestra.Estos
problemas
están
relacionados
por
diversos
motivos: (1)
Existen
distribuciones
no
normales
que
producen
heteroscedasticidad
(por
ejemplo,
las
variables
log-
normales que no son normales en nivel, pero sí en log) (2)
Cuando
contrastamos
normalidad
con
datos
heteroscedásticos, frecuentemente se rechaza la nula
No normalidad (I)
Cuando usamos datos económicos, la no normalidadsurge al modelizar variables que toman valores positivos(que toman valores muy cerca y muy lejos del cero) Porejemplo, variables como salarios, precios, tamaños deempresas, etc. Si los datos de la variable a explicar noson normales, es muy difícil que el error se distribuyacomo
una
normal.
Las
propiedades
de
linealidad,
insesgadez y eficiencia (en el sentido del Teorema deGauss-Markov) se mantienen,
pero …
Los contrastes de hipótesis habituales, los intervalos deconfianza o la predicción por intervalo de la variableendógena dejan de ser válidos. Esta es la consecuenciamás importante de que los datos no sean normales.
No normalidad (II)
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02^0
0
10
20
30
40
50
60
70
Densidad
wage
wage N(6.3067,4.6606)
Estadístico para el contraste de normalidad:Chi-cuadrado(2) = 1760.382, valor p = 0.
Ejemplo:
En la figura de la izquierda se
muestra el histograma de la sección cru-zada de salarios (wage) en dólares porhora de 1260 trabajadores americanos.La línea de puntos muestra la función dedistribución de una variable estrictamenteNormal con la misma media y varianzaque la variable de salarios.Se observa que la distribución de salariospresenta asimetría a la derecha, ya quehan de ser siempre positivos y tiene másapuntamiento
que
la
normal
(es
decir,
tiene exceso de curtosis). Los residuos deuna regresión que explique esta variable,frecuentemente no seguirán una normal.
Muchas variables de “tamaño”presentan este tipo de histograma
No normalidad (IV)
0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005^0150
200
250
300
Densidad
GESTATION
GESTATIONN(279.1,16.01)
Estadístico para el contraste de normalidad:Chi-cuadrado(2) = 454.599, valor p = 0. (^5) 4.5 (^4) 3.5 (^3) 2.5 (^2) 1.5^150
200
250
300
350
BWT
GESTATION BWT con respecto a GESTATION (con ajuste mínimo-cuadrático)Y = -0.305 + 0.0132X
La presencia de outliers en la muestra crea laapariencia
de
heteroscedasticidad
y/o
no
normalidad.Por otro lado, los outliers son un problema en símismos,
ya
que
unos
pocos
datos
atípicos
pueden
cambiar
significativamente
las
estimaciones y en este sentido, hablamos deobservaciones influyentes.Los
dos
gráficos
de
la
derecha
muestran
la
distribución de los datos de Días de Gestación(Gretl – Wooldrige) y su relación con el Peso delniño recién nacido. Se observan unos valores deDías
de
Gestación
sospechosamente
muy
pequeños (lo que hace que la distribución tengaasimetría a la izquierda). A su vez, esos pocosdatos atípicos en Gestación pueden tener unpeso importante en la estimación por MCO. Silos eliminamos cambia la pendiente de la recta.
7
No normalidad (V)
El contraste más conocido y utilizado de normalidad es el quedesarrollaron
Jarque-Bera (
JB
) , en donde, bajo la hipótesis nula
tenemos normalidad [en concreto, que el coeficiente de asimetría( CA
) es cero y la curtosis (
CK
) es 3]. Estos momentos de 3º y 4º
orden son: que son combinados en el estadístico de contraste siguiente:Si el valor del
JB
para la muestra supera el valor crítico de la
distribución chi-cuadrado con dos grados de libertad (al nivel designificación escogido) se rechaza la nula de normalidad.
ˆ
ˆ
ˆ n
i^
x
i^
x X
CA
n
m s æ =
ö
-^
÷
ç^
÷
=^
ç^
÷
ç^
÷
çè^
ø
å
3
1 1
ˆ
ˆ
ˆ n
i^
x
i^
x X
CK
n
m s æ =
ö
-^
÷
ç^
÷
=^
ç^
÷
ç^
÷
çè^
ø
å
4
1 1
ˆ^
ˆ (^
)
H
CA
CK
JB
n^
c
æ^
ö
-^
÷
ç^
÷
=^
ç^
÷
ç^
÷÷
çè^
ø
2
2
(^220)
3
6
24
Heteroscedasticidad (I)
-^
Si los
datos son temporales
, las formas más comunes
de heteroscedasticidad son:^700600500400300200100
1950
1952
1954
1956
1958
1960
Airline
15 10 5 0 ‐^5 ‐^10 ‐^15
89 ‐ 12 ‐ 29
92 ‐ 01 ‐ 09
94 ‐ 01 ‐ 12
96 ‐ 01 ‐ 19
98 ‐ 01 ‐ 26
00 ‐ 01 ‐ 27
02 ‐ 01 ‐ 28
04 ‐ 01 ‐ 29
06 ‐ 01 ‐ 18
IBEX35 % Rendimiento
Día
Ejemplo
: Nº de pasajeros que vuela mes a mes en una compañía aérea.Se observa que la varianza crece amedida
que
crece
la
media
de
la
serie.
Ejemplo:
Rendimiento
(en
%)
diario del IBEX-35Se^
observan
días
de
alta
varianza
seguidos
de
otros
de
poca volatilidad
10
Heteroscedasticidad (II)
Con
datos
de
sección
cruzada
,^ la
heteroscedasticidad
surge
muchas
veces
al
tratar
con
“unidades”
de
diferente
tamaño.
Estas
unidades
pueden ser familias, empresas, países,etc. Los
dos
gráficos
de
la
derecha
muestran
algunos
resultados
de
la
estimación
de
la
relación
del
Gasto
Público sanitario y el PIB (GDP) de unconjunto
de
países
de
la
OCDE.
Es
importante notar la existencia de paísesgrandes y pequeños en esta muestra.El gráfico (X-Y) de los residuos MCOresultantes
de
la
regresión
versus
el
PIB muestra cómo la dispersión de losmismos crece con el PIB (GDP).
600 500 400 300 200 100 0 0
2000
4000
6000
8000
10000
Sanitario Público Gasto
GDP^ (MMill
USD)
40 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 -10^0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
residuo
GDP
Residuos de la regresión (= GSAN_PUB observada - estimada)
Heteroscedasticidad (IV)
El estimador MCO del MLG tiene la expresión:O bien,
y por tanto, es
insesgado
bajo
heteroscedasticidad.
Es
decir,
la
esperanza del estimador no depende de la matriz devarianzas del error, sólo de la esperanza del error que escero
por
hipótesis.
No
obstante,
la
varianza
del
estimador ahora es:que no coincide con
1
ˆ^
(^
T^
T
X^
X^
X Y
^
1
ˆ^
(^
) T^
T
X X
X
^
^
1
1
var[
]^
(^
)^
(^
T^
T^
T
X^
X^
X^
X^
X^
X
^
^
^
1
var[
]
(^
TX X
^
^
^
13
Heterocedasticidad (V)
Implicaciones en la estimación:
Si existe heterocedasticidad, y por tanto,
En MCO minimizamospero, si las varianzas difieren sería mejor asignar un peso máspequeño a las observaciones con mayor varianza y un peso másgrande a las que tienen menor varianza. Se puede usar un criterio deestimación de Mínimos Cuadrados Ponderados de la forma:donde las ponderaciones
decrecen a medida que crece la varianza
del error. Habrá que ver la forma óptima de escoger esos pesos.
2
2
[^
]^
,^
i^
i
E^
i^
n
^
^
2
var[
] i
i
y
2
1
ˆ
[^
]
n^
T i^
i
i
y^
x
^2
2
1
ˆ
[^
]
n^
T
i^
i^
i
i
w^
y^
x
w^ i
Heterocedasticidad (VII)
Es decir:donde el nuevo error
tiene esperanza nula
y varianzaAplicar MCO en el modelo ponderado (transformado) es
eficiente Obsérvese que el término constante del modelo ponderado
no coincide con el del modelo original.
0
2
1
2
1
1
1
1
i^
i^
i
i^
i^
i^
i
y^
x
x^
x^
x^
x
^
^
^
^
i^1
i
i
v^
x
2 2
2 1
2
2
1
1
var[
]
var[
]
i^
i
i
i^
x i
v^
x^
x
^
^
^
^
Heterocedasticidad (VIII)
Desviaciones
típicas
de
White
Si
la
forma
funcional
de
la
heterocedasticidad no es conocida, o tan simple como en el ejemploanterior, sabemos que los contrastes habría que llevarlos a cabousando una estimación de la matriz de var-cov siguiente
:
Si suponemos que no hay autocorrelación en errores, aunque sí hayheterocedasticidad, la matriz
es diagonal con elementos
en la diagonal. Entonces la matriz de var-cov anterior se puedeescribir
: donde
es el vector (kx1) de valores de las explicativas en la
observación i-ésima
1
1
ˆ var[
]^
(^
)^
(^
)
T^
T^
T
X^
X^
X^
X^
X^
X
^
^
^
W^
,^
n
s s
s
2
2 1
2
1
2
1
1
ˆ var[
]^
(^
)^
(^
)
n
T^
T^
T
i^
i^ i
i
X^
X^
x x
X^
X
^
^
^
^
^
x^ i
17
Heterocedasticidad (X)
Detección:
Disponemos
de
procedimientos
gráficos
y
estadísticos
de detección de heterocedasticidad.
(A) Gráficos:
Si
los
datos
son
de
sección
cruzada,
se
pueden
dibujar
los
residuos
MCO
resultantes
del
modelo
original
versus
alguna(s)
variable(s)
explicativa(s)
(candidata
a^
causar
el^
problema)
ordenada de menor a mayor. Por ejemplo, con respectoal tamaño de los países, tamaño de las empresas,población o nivel de renta de las familias. En
estos
gráficos,
lo
habitual
es
ver
mayor
dispersión
en los residuos a medida que crece el tamaño
Heterocedasticidad (XI)
(B) Gráficos
: Si los datos son temporales, un gráfico muy
usado es el denominado Rango-Media. En la figura deabajo se muestra el gráfico Rango-Media para la seriemensual de pasajeros de una compañía aérea.Se divide la muestra en submues-tras, por ejemplo, de 12 meses.Se calcula para cada una de lassubmuestras la media y la des-viación típica local. Se observauna asociación positiva (a mayormedia, mayor dispersión)
240 220200 180 160 140 120100 80 60 40100
150
200
250
300
350
400
450
rango
media
gráfico rango-media de
Airline con ajuste mínimo-cuadrático
20