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CAPÍTULO 1 Introducción
I.1. El desarrollo de los métodos estadísticos I.2. Análisis univariante de las series temporales. Fundamentos metodológicos
Nelson Tema 3. Análisis univariante de series temporales estacionarias. Fundamentos metodológicos
1.. Consideraciones previas
2.. Procesos estocásticos
3.. Procesos estocásticos estacionarios
1. Consideraciones previas
La fundamentación probabilística de un modelo estructural uniecuacional supone que la econometría se desarrolla dentro del muestreo de poblaciones infinitas. Basta con que las observaciones de las series sean independientes. Este supuesto es cuestionado, sin que se extraigan las implicaciones fundamentales: “Para datos de series de tiempo, el modelo muestral de muestras aleatorias o independientes parece a priori no realista, siendo más verosímil postular desde un principio el supuesto de muestras no aleatorias... La representación de las series revela una dependencia temporal” ( Spanos ). No obstante, en el estocasticismo , la probabilidad no se cuestiona. Se limita Spanos a señalar que el supuesto de independencia no es realista, sin cuestionar la aleatoriedad. Las variables consideradas en los modelos estructurales no consideran explícitamente la dimensión temporal de los datos. Los parámetros estimados, no variarían aunque se alterase el orden de las observaciones. La distribución atemporal sigue siendo la misma. Sin embargo, si se produjera un cambio en el orden de las observaciones, afectaría a las tendencias y ciclos subyacentes. La cronología temporal indica una característica crucial para los datos.
Una serie de observaciones es considerada una serie de tiempo , en cuanto se ha establecido una correspondencia entre los valores sucesivos de la serie y el tiempo cronológico. En la medida en que el análisis estocástico de series temporales se basa en la probabilidad , se supone a priori, como hipótesis que la serie habría sido generada por un proceso estocástico, es decir, por una variable aleatoria con dimensión temporal. En la teoría de los procesos estocásticos , se supone que las variables son intrínsicamente aleatorias , de manera que la hipótesis formal difiere de la desarrollada en la aproximación adoptada en los modelos estructurales, en la que se introducía una perturbación aleatoria. Se interpretaban las discrepancias de la regresión como la imagen empírica de una variable aleatoria normal, inobservable, denominada perturbación aleatoria. El supuesto se justificaba en suponer que los datos, siendo series históricas, constituían una muestra aleatoria. Ahora se postularía directamente la aleatoridad de las X y de las Y, no a través de la dependencia de una perturbación aleatoria. La hipótesis básica de la teoría de los procesos estocásticos postula que la historia pasada de una variable, Z, contendría información suficiente para predecir el futuro. Lo cual revela que en este tipo de aproximación econométrica, se adopta el objeto de la predicción , más que el descubrimiento de una relación estructural. Se utiliza para designar el proceso estocástico, la letra Z, no la Y o la X, para denotar que no se considera la posible naturaleza exógena o endógena de las variables, sino tan solo su naturaleza estocástica. El criterio de especificación (selección de regresores) del modelo es empírico , estando basado en el examen de los datos. Se confía que su estudio va a permitir descubrir el modelo o proceso estocástico a partir del cual habría sido generada la serie histórica observada.
Un modelo univariante de series de tiempo , ignora cualquier tipo de relación entre Z y otra variable, económica o no. Relaciona los valores actuales del proceso con su historia pasada y /o con otro proceso equivalente a las perturbaciones , al que se atribuye dimensión temporal. Puede expresarse analíticamente, mediante Zt = f (Zt–1 ,... Zt–p , v (^) t , vt–1 ,... v (^) t–q )
En econometría se justifica la introducción de estos modelos como alternativa a los modelos estructurales, debido a que se consideran superiores en términos predictivos. Como no están basados en los criterios deductivos , en los que se poyan las teorías económicas racionales, se califican los modelos de serie de tiempo, como medición sin teoría , útiles aparentemente para la predicción a corto plazo. Además, se les atribuyen otras ventajas, dado que no siempre hay suficientes datos, siendo más costosa la alternativa de elaborar un modelo estructural de ecuaciones múltiples.
En los modelos estructurales simultáneos, las muestras se consideran atemporales. En los modelos de series temporales, las series históricas se consideran muestra aleatorias temporales. La idea de un modelo de series de tiempo puede introducirse a partir de la noción de la autocorrelación de las perturbaciones aleatorias , imponiendo la consideración explícita de que los datos son series de tiempo.
Kuznets se refiere a dos posibles tipos de análisis basados en series de tiempo:
- (^) Uno calificado como histórico , propio de la historia económica cuantitativa.
- Otro que denomina inferencial. Dentro de éste, de naturaleza formal, sitúa la determinación de las recurrencias temporales. La recurrencia implica que los valores sucesivos se repiten , lo que conlleva el reconocimiento de fluctuaciones cíclicas , es decir de regularidades. No obstante, falta una explicación lógica de la variabilidad de las recurrencias. Una hipótesis, probabilística o no, tendría que explicar las regularidades observadas, es decir, las recurrencias. La más invocada es la hipótesis de que movimientos puramente aleatorios , sometidos a transformaciones de medias móviles , generarían ciclos regulares , lo que implicaría aceptar la hipótesis de Slutzky. No se explica como tiene lugar este resultado. Critica Kuznets, que los análisis de series de tiempo en esa época se centrasen en los ciclos y olvidasen la tendencia. Kuznets dedica especial atención a las tendencias, identificadas con funciones logísticas, de Gompertz, o polinomios de grado bajo. Reconoce Kuznets, la dificultad de generalizar a series de tiempo, las nociones atemporales. Por ello propone emplear coeficientes de correlación de medias móviles. En Econometría ha prevalecido más visión más formal: “La estimación de las leyes de comportamiento macroeconómico se efectúa a menudo mediante observaciones realizadas sobre períodos sucesivos: series relativas a los índices estadísticos de la producción, de los precios, o de los intercambios, datos de las cuentas nacionales para una serie de años, etc... La teoría de los procesos estocásticos... constituye una parte importante de la teoría de las probabilidades” ( Malinvaud ).
En un proceso estocástico , la media , varianza y autocovarianza ( autocorrelación ) consideran los valores de una misma serie en momentos distintos de tiempo. En consecuencia, los momentos se consideran dependiendo del tiempo histórico t:
E(Zt ) = Ž (^) t var (Zt ) = σ t^2 = E(Z (^) t – Žt )^2 cov (Z (^) t1, Z (^) t2) = C (t 1 , t 2 ) = E(Zt1 – Žt ) (Zt2 – Žt ) R (Zt1 , Zt2 ) = C (t 1 , t 2 ) / σ t^2 = E(Z (^) t1 – Žt ) (Zt2 – Žt ) / σ t^2
Las dos últimas expresiones (la función de autocovarianza y de autocorrelación) expresan la dependencia entre los valores en dos momentos diferentes de tiempo, es decir, en Z (^) t1, y Zt. La función de autocorrelación , a diferencia de la autocovarianza es independiente de las unidades de medida.
La definición anterior de proceso estocástico, resulta demasiado general. Que los parámetro s dependan de t , plantea el problema de medir su variación con una única observación.
3. Procesos estocásticos estacionarios
La primera restricción a establecer sobre los procesos estocásticos concierne a los procesos estacionarios. Malinvaud , califica tales procesos como aquellos cuyas propiedades son estables en el tiempo.
Se define un proceso estocástico como estacionario en sentido estricto , en términos de su función de distribución , si ésta no varía con un desplazamiento del proceso estocástico en el tiempo, es decir, si fuera la misma en los momentos t y t + u:
F(Zt ) = F(Zt+u)
El concepto de homogeneidad en el tiempo implicaría que la distribución probabilística de las variables aleatorias Z(t (^) i ) sería la misma en diferentes momentos de tiempo. El concepto de proceso estocástico estacionario en sentido estricto, no es operativo dado que requiere el conocimiento de la función de distribución, concepto este que es desconocido en la teoría de los procesos estocásticos, como lo es el propio proceso estocástico.
Debido a esta limitación, se adopta una definición alternativa de proceso estocástico estacionario , en sentido amplio , o proceso estacionario de segundo orden o débil , no en términos de la función de distribución probabilística, sino de los primeros momentos del proceso estocástico.
Un proceso estocástico se considera estacionario en sentido amplio si posee media y varianza constantes en el tiempo, siendo por ello independientes de t , y si además la autocovarianza (autocorrelación), depende del desfase entre dos momentos del tiempo históricos. Dicho de otro modo, todos los momentos de primer y segundo orden de un proceso estocástico que sea estacionario en sentido débil deben ser invariantes en el tiempo.
E(Zt ) = Ž var (Zt ) = E(Zt – Ž) 2 = σ t^2 cov (Z (^) t1, Z (^) t2) = C (t 1 , t 2 ) = C(t 2 – t 1 )
Se justifica que en un proceso estacionario en sentido amplio, la función de autocovarianza despendería solo del desfase u :
C (t, t + u) = C (t, u – t) = C (u) = E(Zt – Ž) (Z (^) t+u – Ž)
Este mismo resultado es aplicable a la función de autocorrelación , al ser la misma función de autocovarianza, dividida por una constante, σ t^2 = C(0), es decir, la función de autocorrelación, depende del desfase u:
R (t 1 , t 2 ) = R (t 2 – t 1 ) = Ru
Coincidirían los dos tipos de estacionariedad en sentido estricto y en sentido amplio, si el proceso estocástico siguiera una distribución normal , al estar la distribución normal caracterizada por los dos primeros momentos. Donde se vuelve a encontrar el problema esencial de si los conceptos atemporales (como el de una distribución normal) son trasladables al tiempo. La estacionariedad supone que tales momentos existen en el tiempo, lo que equivale a postular su constancia. Lo sustantivo estriba en que la exigencia de que un momento de un proceso estocástico estacionario , sea constante e independiente de t , se interpreta como ausencia de movimientos sistemáticos , es decir, sin tendencias ni ciclos.
CAPÍTULO 2 Procesos estocásticos
II.1. Introducción II.2. Procesos estocásticos estacionarios II.3. Proceso temporal, puramente aleatorio (ruido blanco) II.4. El camino aleatorio: un proceso no estacionario
CAPÍTULO 3 Procesos de medias móviles
III.1. Consideraciones previas III.2. Características de un proceso de medias móviles (MA) III.3. Los procesos de medias móviles y el efecto Slutzky
Nelson Tema 4. Principales procesos estacionarios
1.. Proceso estocástico estacionario puramente aleatorio (ruido blanco)
2.. Proceso de medias móviles
2...1... Consideraciones previas
2...2... Características de un proceso de medias móviles (MA)
2...3... Invertibilidad de un proceso de medias móviles (MA)
2...4... Características de un proceso de medias móviles (MA.2)
2...5... Los procesos de medias móviles y el efecto Slutzky
1. Proceso estocástico estacionario puramente aleatorio (ruido blanco)
El debate metodológico para un economista cuantitativo es si es mas razonable la regularidad ( periodicidad ) o la irregularidad ( probabilidad ). La propiedad de independencia es la esencial, objeto de comprobación experimental. Malinvaud define un proceso puramente aleatorio en el tiempo, como una serie de variables aleatorias independientes con la misma distribución de probabilidades. El denominado ruido blanco ( RB ) es un proceso en el tiempo en el que las observaciones están incorrelacionadas. Generaliza al dominio temporal el concepto de variable aleatoria atemporal. La no correlación en el tiempo implica una restricción de la memoria en el tiempo. Analíticamente: Zt = Vt Se puede añadir por conveniencia, la media Ž del proceso Z (^) t, que desplazaría verticalmente la trayectoria temporal del proceso. Zt = Ž + Vt Viniendo determinada su función de autocorrelación por solo dos valores extremos: Ru = 1 para u = 0
Ru = 0 para u ≠ 0
El concepto de ruido blanco implica la independencia de todos los valores sucesivos. La característica de independencia, se reemplaza por una exigencia menos estricta, como es la autocorrelación nula. Correlación nula más normalidad, equivale a independencia.
Se exige formalmente que las autocorrelaciones sean nulas en todos los retardos, tomando el valor uno cuando no hay retardos, es decir, cuando la correlación se aplica a la misma variable Zt en el mismo momento de tiempo, t(u = 0).
La función de autocorrelación de un proceso estacionario poseería media y varianza , constantes en el tiempo.
Si se verifica que Ž = 0, Z (^) t = Vt. Se suponen las hipótesis clásicas de varianza constante, y correlación nula, constituyendo una generalización al dominio temporal de los resultados probabilísticos atemporales.
Favero define un proceso de ruido blanco , como un proceso constituido por variables aleatorias normales distribuidas independientemente en el tiempo, con media nula y varianza constante. Tales procesos estacionarios difieren de los observados en las series históricas, reconociendo a estas la característica de persistencia. “Un proceso de ruido blanco no es un modelo adecuado para la mayoría de las series macroeconómicas porque no posee su característica más común, es decir, la persistencia”.
La idea de persistencia, que se contrapone a la de irregularidad, se corresponde con la idea de movimiento sistemático (tendencia).
Empíricamente, no se conoce un solo proceso observado, que verifique la definición de un proceso puramente aleatorio en el tiempo (RB). Constituye un paradigma ideal, adoptado como útil para trasladar la probabilidad a la economía.
Que de acuerdo con la definición de RB, la función de autocorrelación , sea nula con carácter general, es sólo una hipótesis formal. Para que se pueda establecer con carácter necesario que la autocorrelación sea nula dado que es prácticamente imposible obtener autocovarianzas nulas, se requeriría que la varianza del proceso RB fuera infinita , exigencia de realización imposible para todo proceso que siempre será de tamaño concreto T. Se sigue de ello la imposibilidad del proceso puramente aleatorio en el tiempo (ruido blanco). Esta conclusión está establecida en la propia doctrina probabilística. La prueba de esta conclusión se particulariza tan solo para el caso de proceso continuo. Partiendo de la definición de la función de autocorrelación :
R (^) u = E(Zt Z (^) t+u) = (1 / T) ∫ Zt Z (^) t+u dt para u = 0, se obtiene la varianza, que se asume:
R 0 = (1 / T) ∫ Zt^2 dt = ∞ Es decir, el valor medio cuadrático de un proceso puramente aleatorio en el tiempo toma un valor infinito, lo cual significa su inexistencia. La demostración analítica en el caso discreto es desconocida.
2.2. Características de un proceso de medias móviles (MA) Partiendo del supuesto de que V (^) t fuese RB, se podría generar un proceso de medias móviles de orden 1 (el más sencillo), MA ( 1 ), de acuerdo a la siguiente ecuación: Zt = Ž + Vt + β Vt–1 donde Ž indica la media del proceso.
La variable Z (^) t , es interpretada como una media ponderada de las observaciones presentes V (^) t , y pasadas V (^) t–1 , por hipótesis, ruido blanco, con media nula y varianza σ^2.
La idea de un proceso MA ( 1 ) puede generalizarse formalmente a un proceso de medias móviles de orden q , es decir, a un MA ( q ): Zt = ∑ β i V (^) t–i la idea de una media móvil de orden infinito, supone que i podría variar entre 1 e infinito. Se pueden obtener la media y la varianza de Z (^) t , a partir de las características asumidas para el proceso de RB, V (^) t. Aplicando el operador esperanza, y considerando Z (^) t en desviaciones a las medias:
E(Z (^) t ) = ∑β i E(Vt–i ) = 0 la media sería nula como la del proceso de partida, RB. var (Zt ) = ∑β i^2 E(V (^2) t–i) = σ^2 ∑β i^2 la varianza dependería tanto de los parámetros β (^) i , como de la varianza del proceso de RB.
Como ambos momentos, media y varianza, no dependen del tiempo histórico t, se considera demostrado que el proceso Z (^) t es estacionario. Una condición de estacionariedad viene dada por:
∑ β i^2 < ∞ lo que implica un número finito de parámetros con suma finita.
La hipótesis de convergencia significaría que los valores de β i registrarían valores absolutos menores a medida que crece i. De la condición de convergencia supuesta para los parámetros β (^) i , se sigue la convergencia a cero de la función de autocorrelación, al depender su valor de los valores de los parámetros. La forma de la función de autocorrelación sería decreciente.
En forma análoga, se obtiene la función de autocovarianza :
cov (u) = Cu = ∑∑β (^) i β (^) j E(Vt–i V (^) t+u–j)
El principal resultado se manifiesta en que la función de autocovarianza depende de la varianza del RB y de los parámetros del proceso, MA.
A partir de la función de autocovarianza, se pueden obtener los momentos de orden bajo.
- Fijando u = 0 C 0 = σ^2 ∑β i^2 = σ^2 ( β (^) 02 + β 12 +... + β q^2 ) desapareciendo los productos cruzados, dado que las Vt tienen covarianza nula (RB)
- Para u = 1. Se obtiene la función de autocovarianza del retardo de primer orden. C 1 = σ^2 ∑β i β (^) i+
- Para un valor genérico de u Cu = σ^2 ∑β i β (^) i+u
La función de autocovarianza se anula para u > 0, pudiendo comprobarse que posee carácter par, es decir, que C (^) u = C–u.
La función de autocorrelación de orden u (con valor 1 para u = 0 )
Ru = Cu = ∑β i β i+u C 0 ∑β i^2
2.3. Invertibilidad de un proceso de medias móviles (MA)
Se trata de determinar la naturaleza del proceso estocástico estacionario RB o MA , a partir de su función de autocorrelación y no de sus valores originales.
Dada la no unicidad de la función de autocorrelación, es decir, dado el hecho de que una misma función de autocorrelación pueda corresponder a más de un proceso, se plantea a veces una situación de indeterminación , como es identificar un proceso MA a partir de la función de autocorrelación. En consecuencia no se podría determinar cual sea el proceso estocástico estacionario, a partir del cual se ha calculado la función de autocorrelación.
Ejemplo de valor particular: Dos procesos MA(1):
- Zt = Vt – β (^) 1 V (^) t–
- Zt = Vt – (1 / β 1 V (^) t–1 ) Tienen la misma función de autocorrelación, dada por: R 1 = β (^) 1 / (1 + β 12 ) De manera que a partir de ésta, no se podría determinar analíticamente cual haya sido el proceso estocástico estacionario poblacional, generador de la serie de tiempo, a partir del cual habría sido calculada la función de autocorrelación. Para resolver esta indeterminación, cabe recurrir a la llamada condición de invertibilidad , que pasa por transforma r ambos procesos MA ( 1 ) en procesos AR , lo que significa expresar los procesos, no en función de las V pasadas sino de las propias Z observadas en momentos anteriores. El primero de los procesos, resulta: Vt = Z (^) t – β (^) 1 V (^) t–1 = Z (^) t – β 1 (Zt–1 – β 1 V (^) t–2 ) = Zt – β (^) 1 Zt–1 – β (^) 12 Vt–2 =... = = Zt – ∑β (^) 1 i^ Zt–i El segundo de los procesos, resulta: Vt = Z (^) t – (1 / β 1 )Vt–1 = Z (^) t – ∑β 1 (1 / β (^) 1 i^ )Z (^) t–i
Se impone la restricción de que β (^) 1 < 1 Sólo el primero de los procesos convergería, es decir, sólo el primero sería estacionario. El segundo tendería a infinito, no siendo estacionario. Invertible significa que un proceso MA de orden finito , puede transformarse en un proceso estacionario AR de orden infinito.
2.4. Características de un proceso de medias móviles MA(2)
Las características de un MA ( 2 ) definido por (notación compacta, el último miembro):
Zt = V (^) t – β 1 Vt–1 – β (^) 2 V (^) t–2 = (1 – β 1 B – β (^) 2 B 2 )Vt
La expresión genérica de la función de autocovarianza: C (^) u = E(Zt , Z (^) t+2) = E(V (^) t – β 1 Vt–1 – β (^) 2 V (^) t–2 ) (V (^) t+u – β 1 Vt+u–1 – β 2 Vt+u–2)
Para u = 0, resulta la varianza: C 0 = Var(Z (^) t ) = σ^2 (1 + β 12 + β (^) 22 )
Para u = 1, la autocovarianza de orden uno: C 1 = E(Zt , Z (^) t+1) = – σ^2 ( β (^) 12 + β 1 β 2 )
Para u = 2, se obtiene la función de autocovarianza de orden dos: C 2 = – σ^2 β (^) 2 Se anularía para valores u > 2. La función de autocorrelación toma como valores, para u = 1, resulta del cociente entre C 2 y C 0 :
R 1 = – β (^) 1 + β (^) 1 β (^) 2 1 + β 12 + β (^) 22
Para u = 2, R 2 = – σ^2 β (^) 2 = – β (^) 2 σ^2 (1 + β 12 + β 22 )
(1 + β (^) 12 + β 22 )
Para u = q, Ru = ∑β β (^) i +u ∑β (^) i^2
La condición de invertibilidad para un MA ( 2 ), en notación compacta, viene dada por la exigencia de que las raíces de la ecuación caigan fuera del circulo unitario:
1 – β 1 B – β 2 B 2 = 0
B = β (^) 1 √ ( β 12 + 4 β 2 ) 2 β (^) 2 Que lleva a las siguientes condiciones: Β 2 + β 1 < 1 β 2 – β 1 < 1 β 2 < 1
El hecho de que se anule la función de autocorrelación para retardos superiores al orden del proceso, sugiere un criterio para identificar un proceso de medias móviles a partir de la función de autocorrelación. Si solo es distinto de cero el valor de la función de autocorrelación en el primer retardo , el proceso debe ser MA ( 1 ), si fueran distintos los dos primeros retardos, sería un MA(2), y así sucesivamente.
CAPÍTULO 4 Proceso autorregresivo
IV.1. Consideraciones generales IV.2. Características de un proceso autorregresivo IV.3. Función de autocorrelación parcial IV.4 Proceso ARMA IV.5 Proceso ARIMA IV.6 El problema de la no estacionariedad
Nelson Tema 5. Proceso autorregresivo
1.. Consideraciones generales
2.. Características de un proceso autorregresivo
3.. Función de autocorrelación parcial
4.. Proceso ARMA
5.. Procesos estocásticos estacionales
6.. Proceso ARIMA
1. Consideraciones generales
El otro tipo de proceso estocástico estacionario , basado en el supuesto de la existencia de RB , es el autorregresivo ( AR ). Establece una dependencia de Z no de un proceso de ruido blanco sino de su propia historia pasada.
2. Características de un proceso autorregresivo
El proceso autorregresivo más simple es el de primer orden AR ( 1 ), que viene definido por: Zt = α 1 Zt–1 + Vt
En notación compacta : Zt – α (^) 1 Z (^) t–1 = V (^) t
(Z (^) t – α (^) 1 BZ (^) t ) = V (^) t
(1 – α 1 B)Zt = Vt
AR(B)Z (^) t = Vt Un proceso estocástico estacionario AR ( p ) vendría expresado por:
Zt = α 1 Zt–1 + α (^) 2 Zt–2 +... + α p Zt–p + Vt
En notación compacta : (1 – α 1 B – α (^) 2 B 2 –... – α p Bp^ ) Zt = V (^) t
Un proceso autorregresivo puede interpretarse como un modelo de regresión múltiple , en el que el papel de los regresores corresponde a los valores retardados de la propia serie. Es obvio que dado que los valores retardados de la propia serie invalidan toda interpretación con significado causal, nada se causa a si mismo, la estimación de un AR se reduce a un problema de ajuste o de inferencia estocástica. La constante (término independiente) no coincide necesariamente con la media del proceso AR. Puede ilustrarse esta afirmación con el proceso AR ( 1 ), al que se resta la media en ambos miembros: Zt – Ž = α (^) 1 (Z (^) t–1 – Ž) + Vt
Zt – Ž = α (^) 1 Zt–1 – α (^) 1 Ž + V (^) t
Zt = α 1 Zt–1 + (Ž – α 1 Ž) + Vt
Zt = α 1 Zt–1 + K + V (^) t
Como K = Ž(1 – α 1 ) La constante K depende de la media de la serie, Ž y del parámetro autorregresivo, α 1
3. Función de autocorrelación parcial
Calcula la correlación entre Z (^) t y Zt–p después de eliminar la influencia de Z (^) t–1 sobre Zt y Zt–p. Equivale a la idea de eliminar la influencia de Z (^) t–1 mediante regresiones simples, y correlacionar las series libres de influencia de Z (^) t–1. Es decir, equivale a calcular:
Zt = α 1 Zt–1 Zt–p = α p Zt–
Z’ (^) t = Zt – α 1 Zt–1 Z’t–p = Z (^) t–p – α (^) pZt– La correlación simple entre Z’ (^) t y Z’ (^) t–p , sería la autocorrelación parcial.
En forma análoga se iría eliminando la influencia de los demás regresores entre (t – 2) y (t – p – 1). A la sucesión de estos coeficientes para valores sucesivos del desfase u se le denomina función de autocorrelación parcial.
El cálculo de los coeficientes de autocorrelación parcial se puede basar en las ecuaciones de Yule - Walker. Se ilustra el procedimiento de cálculo para un proceso AR ( 1 ). Multiplicando ambos miembros del proceso AR ( 1 ) por Z (^) t–1 , y obteniendo la esperanza matemática, resulta: E(Z (^) t Z (^) t–1) = α (^) 1 E(Z (^) t–1 Zt–1 ) + E(V (^) t Z (^) t–1 ) Sustituyendo los valores, dividiendo por la varianza y teniendo en cuenta que el segundo término del segundo miembro es nulo: R 1 = α 1 R 0 = α 11 De manera que el coeficiente de autocorrelación parcial coincide con el coeficiente de autocorrelación total en el primer retardo. Se suele utilizar como notación para el coeficiente de autocorrelación parcial de orden i, α ii. Si sólo α (^) 11 ≠ 0, el proceso sería un AR (1). Si α (^) 22 ≠ 0, sería un AR ( 2 ) y así sucesivamente. Quiere ello decir, que la función de autocorrelación parcial permite identificar el orden del proceso AR , dando respuesta a la indeterminación establecida en la función de autocorrelación total respecto al orden del proceso.
La ecuación de Yule - Walker , generalizada al orden p, es:
R (^) u = α (^) 1 R (^) u–1 + α (^) 2 R (^) u–2 +... + α (^) pR (^) u–p
R 1 R 0 R 1... Ru–1 α 1 1
R 2 =^ R 1 R 0...^ Ru–2 α 22
................ . . Ru Ru–1 Ru–2... R 0 α uu
Permite calcular los coeficientes (parámetros) del proceso. Por ejemplo, se ilustra la obtención del coeficiente de autocorrelación parcial α 22 a partir de los coeficientes de autocorrelación total, R 1 y R 2 :
α 11 =^^1 R 1 –^1 R 1
α 22 R 1 1 R 2
El concepto d autocorrelación parcial es generalizable a un proceso MA. Por ejemplo, para un MA ( 1 ), se obtienen los valores:
β (^) 11 =^ – β (^) 1 (
- β (^) 12 )
Β 22 =^ – β 12 (
- β (^) 12 )
Β kk =^ – β 1 k(1 – β (^) 12 ) 1 – β 14 1 – β 16 1 – β (^) 1 2(k +1)
De manera que la función de autocorrelación parcial no se anularía para u >1.
