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TEMA 2. ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL.
ESTIMACIÓN
2.1. MODELO DE REGRESIÓN
EJEMPLO 1. DEMANDA DE CAFÉ
Modelo poblacional de regresión múltiple sería :
Cantidad de café = Bo + B1precio café + B2renta disponible + B3precio leche + B4 precio té + E
Variables que pueden interferir en su demanda
La función de regresión poblacional (FRP) sería :
E(cantidadcafé |precios, YD) = Bo + B1precio café + B2YD + B3precio leche + B4 precio té
Esta función nos indica que con todos los precios puestos la renta disponible será 0 , YDo.
Ha la estimación de ésta se le conoce como función de regresión muestral (FRM) en la que se escoge una muestra que arrojará unas estimaciones de la FRP.
Variables explicativas: Pc, Pt, Pl, YD.
Coeficientes: B1, B2, B3, B4.
El coeficiente del precio del café indica el efecto parcial (ef. Ceteris paribus) que se prevé en la demanda de café como consecuencia de la variación unitaria en el precio del café manteniendo constante el resto de precios y el nivel de renta.
2.2. MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS
2.2.1. REGRESIÓN SIMPLE
EJEMPLO 2. DEMANDA DE TABACO
La ley de demanda nos dice que la cantidad demandada depende inversamente del precio del bien. En consecuencia, el modelo de regresión simple se puede plantear así:
Cantidad = Bo + B1precio + E Resto de factores no considerados
Se espera que la pendiente tenga signo negativo, puesto que la relación es inversa.
Se mide de una encuesta continua de presupuestos familiares que se hizo en 1998 y otra de 2005, y se dispone del precio y la cantidad de cajetillas consumidas en los periodos.
La regresión estimada es:
(tabaco t / pob t) = 33.48 - 8.98 * (precio t / ipc t)
N = 32, R^2 =0.
La interpretación de la regresión es:
A un precio de 2 euros (la media del periodo en la muestra es de 1.74 euros) el modelo predice un consumo medio de 16 cajetillas (33.48-8.98*2=15.52) por persona y trimestre.
Si el precio 1 euro, ceteris paribus, el consumo será de 33.48-8.98*3=7 cajetillas, por lo que se reducirá en 9 unidades, y así sucesivamente. (son predicciones).
El R^2=0.906 indica que la regresión explica el 90% de la varianza del consumo per cápita de tabaco.
EJEMPLO 3. RELACIÓN ENTRE EL SALARIO Y EL NIVEL DE ESTUDIOS EN EL SECTOR TURÍSTICO
Se puede medir mediante un modelo poblacional:
Salario = Bo + B1 estudios + E
Se cogen los datos de estructura salarial de 2006, cuya estimación resultante es:
Salario = 7.97 + 1.13 * estudios i indica que los datos son de corte transversal y el
N = 5286 , R^2 = 0.098 nivel de estudios se mide por estudios completados
La expresión se interpreta así:
Nivel de estudios Estudios i E(salarios|estudios) % Sin estudios 1 9.10 80. Estudios primarios 2 10.23 90. Estudios secundaria I 3 11.36 100 Estudios secundaria II 4 12.49 109. F.P. Grado medio 5 13.62 119. F.P. Grado superior 6 14.75 129. Diplomado o equivalente
Licenciado, ingeniero o doctor
Partiendo de que el 3 sea la media = 12.49*100 / 11. ……
Podemos observar que el porcentaje va aumentando aproximadamente un 10% a medida que se superan niveles de estudio. Y que hay una diferencia de un 50% en el salario que recibirá una persona que simplemente tenga los estudios de secundaria I y un licenciado.
En términos ceteris paribus, el salario/hora aumenta 1.13 euros (11.36-1.23) por cada nivel de estudios finalizado.
Pero el modelo solo explica el 9.8% del comportamiento del salario, por lo que la FRM se ajusta poco a las observaciones.
El resultado sugiere que necesariamente otros factores influyen en el salario.
La pendiente de la variable beneficios se ha multiplicado por 1000, por lo que el incremento de 1000 millones de euros produce un incremento salarial de 267.99 euros.
Si expresamos la variable dependiente en euros y el beneficio en millones:
( salario i * 1000 ) = 296.362 + 267,99 * beneficios i
N = 31 R^2 = 0,
Por lo que predice un sueldo de alta dirección de 296.362 euros que aumenta 267,99 euros por cada millón de euros de beneficio.
2.2.2.2. FORMA FUNCIONAL
EJEMPLO 6. EL CRECIMIENTO DE LA ECONOMÍA ESPAÑOLA
Tanto en la economía como en los negocios, el análisis del crecimiento de las variables es algo habitual. Uno de los procedimientos para estimar la tasa de crecimiento es el uso de tendencias.
Con los datos del PIB p.m. español en millones de euros de 2000 corregidos del efecto calendario (es decir, desestacionalizados) y periodicidad trimestral entre el primer trimestre de 1970 y el cuarto de 2010 vamos a analizar algunos de los modelos usuales de crecimiento que podemos utilizar.
El más sencillo es regresar el PIB directamente con el tiempo, es decir, calcular una tendencia lineal.
Pib = Bo + B1 t + E
v. dependiente v. independiente
La FRM será:
Pib t = 55041,70 + 840,7810 * t
N = 164 R^2 = 0,
Cada trimestre que pasa el PIB crece
La predicción para el 1º trimestre del 2011 es [55.041,7 + (840,781 * 165) = 193.771] y el valor del PIB del 1º trimestre fue de 194.292 millones de euros.
El error de predicción fue de [(193.771/194.292)-1]*100= 0.27%.
Para estimar la tasa de crecimiento hay que estimar la tendencia exponencial, que tiene forma de logaritmo-lineal.
El modelo logarítmico-lineal es:
Ln pib = Bo + B1 t + E
Cuya estimación es:
Ln pib t = 11,11444 + 0,006833 * t
N = 164 R^2 = 0,
En los modelos logarítmicos lineales la tasa de variación es la pendiente multiplicada por 100 (100*0.006833=0.6833), de tal manera que la predicción para el 1º trimestre del 2011 es el valor
de la producción interior en el 4º trimestre de 2010 multiplicado por 1. [193.735*1,006833=195.059].
Esto implica un error de [(194.292/195.059)-1]*100=0.39%
En el modelo de tendencia lineal subestima la predicción (0.27%), mientras que en el modelo de tendencia exponencial la sobreestima(0.39%). 0.27<0.
EJEMPLO 7. ESPERANZA DE VIDA E INGRESOS
A partir del informe sobre desarrollo humano mundial de 2010 elaborado por la ONU, obtenemos datos del ingreso per cápita de 78 países en miles de dólares en términos de paridad de poder adquisitivo (PPA) y de la esperanza de vida al nacer.
Partiendo de estos datos nos planteamos si los ingresos per cápita influyen en la esperanza de vida.
El modelo poblacional es:
Esperanza = Bo + B1 ( Ln ingresos) + E
La FRM será:
Esperanza i = 57,27 + 6,197 * (ln ingresos i)
N = 178 R^2 = 0,
El coeficiente de la pendiente se explica de la siguiente manera:
Un de un 1% en los ingresos per cápita (PPA) propicia un incremento de 0,06197 años en la esperanza de vida Y= (B1/100) X%
El modelo recíproco es el que la variable independiente aparece en su forma inversa, es decir:
Y = Bo + B1 ( 1 / X ) + E
A medida que aumenta X, la v. independiente disminuye 1/X, y en el límite se va acercando a cero, momento en el que la variable explicada Y se hace igual al término constante Y = Bo; por ellos en este tipo de modelos tiene sentido si la v. dependiente tiene límite asintótico Bo.
EJEMPLO 8. MORTALIDAD INFANTIL Y AÑOS DE ESTUDIO
Con datos de mortalidad infantil por cada cien mil habitantes y años de estudios en promedio de 185 países nos planteamos cómo influyen los estudios en la mortalidad infantil utilizando el modelo poblacional recíproco:
Mortalidad = Bo + B1 ( 1/ estudios ) + E
Y su modelo estimado FRM:
Mortalidad = -1,56 + 292,78 ( 1/estudios)
N=185 R^2=0,
Para poder calcular el coeficiente mínimo cuadrático ninguna de las variables independientes o explicativas puede ser constante (las variables deben recoger variabilidad para poder observar la intensidad de la relación entre las variables regresoras y la variable objetivo). No obstante, no puede haber relaciones lineales exactas entre las variables explicativas (colinealidad o multicolinealidad exacta). Además el nº de observaciones tiene que ser mayor que el de coeficientes a estimar “n>k + 1”. Por otra parte, el coeficiente de determinación o R^2 se calcula igualmente y tiene la misma interpretación que en el modelo de regresión lineal simple:
R^2 = Var (Y) / Var (Y) = SRC/n / SRT/n = 1 – ( SCE / SCT )
2.3.3. FORMAS FUNCIONALES CUADRÁTICAS
EJEMPLO 10. SALARIOS EN EL SECTOR TURÍSTICO ESPAÑOL
Con los datos de la encuesta salarial de 2006, estimamos el modelo en el que el salario hora en el sector turístico español depende del nivel de estudios acabados, y también de la antigüedad en la empresa, de la misma forma.
El modelo planteado es:
Salario = Bo + B1 estudios + B2 estudios^2 + B3 antigüedad + B4 antigüedad^2 + E
Y su estimación FRM:
Salario i = 8,04 – 0,385estudios i + 0,189estudios^2 i + 0,299antigüedad - 0,0017antigüedad^2 i
N= 5286 R^2= 0,2165 R^2= 0,
Los estudios tienen una relación en forma de U con mínimo en 1,01 = (0,385/ 20,189), de manera que el efecto sobre el salario es distinto para los trabajadores sin estudios que para el resto de trabajadores con estudios terminados. La relación de los salarios con la antigüedad tiene forma de U invertida con máximo en los 87,94 años trabajados = (0,299/ 20.0017), de manera que en todo el tramo relevante la relación es creciente, pero con incrementos decrecientes.
Manteniendo constante la antigüedad para el trabajador sin estudios (valor de la variable estudios = 1), el modelo predice una disminución del salario hora de aprox. 0,2 euros [-0,385*
- 0,1891^2 = 0,196]; para trabajadores con estudios primarios, el modelo predice una disminución promedio del salario prácticamente nula [0,3852 + 0.189 2^2 = -0,04]. Debemos observar que el paso del valor 1, sin estudios, a 2, con estudios primarios implica un incremento del salario hora de 0,192 = (0,196-0,04). El incremento del salario hora que predice el modelo cuando pasamos del valor 7, diplomado, al 8, licenciado, es de aprox. 2,4 euros [-0,385 + 2(0,189*7) = 2,387].
La predicción del salario hora cuando la antigüedad aumenta es positiva, pero con incrementos decrecientes. Cuando el trabajador pasa de 1 a 2 años de antigüedad, el incremento del salario hora es aprox. De 0,296 euros [0,299 – 2(0,00171) = 0,2956], y cuando pasa de una antigüedad de 29 a 30 años, tiene un incremento aprox. de 0,2 euros [ 0,229 – 2(0,001729) = 0,2004].
EJEMPLO 11. CONSUMO DE LAS FAMILIAS DEDICADAS A LA HOSTELERÍA
A partir del ejemplo 9, nos preguntamos cómo influye el nivel de estudios terminados de la persona principal de la unidad familiar en el consumo de la familia. Para ello introducimos en el modelo en nivel de estudios en forma cuadrática.
El modelo estimado es:
Ln(consumo)= 4,689 + 0,410 ln(ingresos) + 0,154tamaño + 0,337estudios – 0.029*estudios^
N= 95 R^2 = 0,4619 R^2 = 0,
La influencia de los estudios terminados de la persona principal de la familia sobre el consumo familiar tiene forma de U invertida con max. Aprox. En 6 [0,337 / (2*0,029) = 5,81].
Por tanto el consumo familiar es reciente (pero con incrementos decrecientes) hasta el nivel de estudios 6, formación profesional de grado superior, y decreciente para los niveles 7 y 8, diplomado y licenciado.
La predicción del modelo, dado un nivel de ingresos, es que el consumo familiar aumenta cuando pasamos del nivel de estudios primarios, valor 1, al de estudios de secundaria I, valor 3, en aprox. Un 22,1% < 100/[0,337-2(0,0292)] = 22,1% >. Si pasamos de un nivel de 7 a 8, el consumo familiar decrece aprox. Un 6,9% < 100[0,337-2(0,0297)] = -6,9% >.
2.3.4. TÉRMINOS DE INTERACCIÓN
EJEMPLO 12. USUARIOS DE INTERNET
A partir del informe sobre desarrollo humano mundial de 2010, obtenemos datos del ingreso per cápita de 169 países en miles de dólares en términos de paridad de poder adquisitivo (PPA), el nº de años de escolaridad promedio de la población, y la proporción de usuarios de internt en cada país. Dados estos datos nos planteamos si los ingresos per cápita y los años de estudio influyen en la proporción de la población usuaria de internet. Consideramos además que el efecto sobre los usuarios de internet de una variación porcentual en los ingresos depende de los años de educación. Para ello añadimos a la regresión habitual un término de interacción entre ambas variables:
Internet = 52,608 – 6,26 ln(ingresos) – 19,08estudios + 2,511[ln(ingresos)estudios]
N= 169 R^2 = 0,8024 R^2 = 0,
En principio sorprende que los coeficientes estimados sean negativos tanto para los ingresos como para los estudios; pero recordemos que ahora el efecto parcial de cualquiera de las variables regresoras no se explica mirando únicamente el valor del parámetro correspondiente. Veamos entonces como debemos interpretar este modelo.
El efecto parcial de los ingresos respecto de la proporción de usuarios de internet, ceteris paribus, el factor estudios, es:
Internet = [ (-6,26 + 2,51*estudios) / 100 ] * [ln (ingresos)]
El efecto parcial depende del nivel de estudio. Si consideramos, por ejemplo, el nivel de estudios medio, que en la muestra es de 7,59; y sustituimos el valor de la media en la expresión, podemos establecer el efecto parcial sobre internet de los ingresos: su valor es 0,13 [(6,26 + 2,51*7,59)/100 = 0,1279]. A sí pues, un incremento de un 1% en los ingresos produce un incremento de la proporción de usuarios de internet de 0,13%, fijados los años de estudio en 7,59. El efecto parcial de los años de estudio es:
Internet = [ -19,08 + 2,51*ln(ingresos)] estudios
