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II EXÁMENES DE ECONOMETRÍA
1 Se han estimado con una muestra de 39 observaciones las siguientes funciones de producción por el método de MCO : ˆ (^) ˆ 1,30^ 0,32^ 0,0055 t Ot = α Lt K (^) t e R^2 = 0, ˆ ˆ 1,41^ 0, O t = β Lt Kt R^2 = 0, ˆ (^) ˆ 0,039 t Ot = γ e R^2 = 0, a) Contraste la significatividad conjunta de Lt y K (^) t. b) Indique las hipótesis estadísticas básicas bajo las cuales el contraste realizado en el apartado anterior es adecuado, y como aparecería la perturbación aleatoria en la especificación econométrica. (2-6-1992) Solución
a) F =126; (^) F 2,35 0,01 ≈ F 2,300,01 = 5,39⇒ Se rechaza H (^) 0 para los niveles usuales (0,10; 0,05;0, 01)
b) Todas las hipótesis básicas; la perturbación aleatoria debe aparecer de forma multiplicativa
2 Un investigador, después de realizar la estimación de un modelo por MCO, calcula
∑ u ˆ t y comprueba que no es 0. ¿Es esto posible? Razone la respuesta indicando en su
caso las condiciones en las cuales puede producirse este hecho. (2-6-1992)
3 Dado el siguiente modelo estimado con 43 observaciones:
Y ˆ t^ = - 0, 06 +1, 44 X (^) 2 t −0, 48 X 3 t
donde
10 8 11 598 791 1128
′ = ^
X X^1
−
−^ −
′ = ^ −
X X
′ = ^
X y y y ′^ = 444
Se pide: a) Contraste de la hipótesis nula β^2 +2^ β 3 = 1 b) Dado el valor del período de predición Y 0 = 1, verifique si puede haber sido
generado por el modelo anteriormente estimado. (Se sabe que X 20 = 1 y X 30 = 2).
(2-6-1992) Solución
a) F =79,84; F 1,40 0,01 = 7,31⇒ Se rechaza H (^) 0 para los niveles usuales (0,10; 0,05;0, 01)
b) Intervalo del 90%: (-0,80; 164); el valor Y 0 =1 sí ha podido ser generado por el modelo
4 Bajo las hipótesis básicas del modelo lineal, ¿cómo se distribuyen los residuos obtenidos por MCO?. Razone la respuesta. (2-6-1992)
5* Habiendo estimado por MCO la siguiente de consumo,
Ct = α 0 + α 1 Rt + ut
se ha detectado autocorrelación de primer orden. Con la finalidad de corregir este problema, un analista obtiene inicialmente la siguiente regresión auxiliar:
C ˆ^ t = βˆ 0 + βˆ 1 Ct (^) − 1 +β ˆ 2 Rt +βˆ 3 Rt − 1 Explique detalladamente los pasos del procedimiento que el analista ha decidido aplicar. (2-6-1992)
6 A partir de los residuos mínimocuadráticos obtenga, un estimador insesgado para σ^2. Si
la E ( u u ′ ≠ ) σ^2 I ¿cual sería el estimador insesgado de σ^2?
(5-4-1993)
7 En un modelo que tenga variables ficticias entre las explicativas, se desea saber: a) ¿ Qué indican los coeficientes de las ficticias? b) ¿Por qué no se deben incluir el mismo número de variables ficticias que grupos? (5-4-1993)
8 Considere el siguiente modelo de demanda de alimentos
Dt = β 0 + β 1 Pt + β 2 Yt + ut
donde D es el gasto, P es el precio relativo e Y es la renta. El investigador A omite por olvido la variable Y , obteniendo la siguiente estimación del modelo:
(11,85) (0,118)
D ˆ^ t = 89,97 +0,107 Pt
La investigadora B, que es más cuidadosa, obtiene la siguiente estimación del modelo:
(5,84) (0,067) (0,031)
D ˆ^ t = 92, 05 −0,142 Pt +0, 236 Yt
(Entre paréntesis figuran desviaciones típicas) A lo largo de la discusión entre la investigadora B y el investigador A acerca de cual de los dos modelos estimados es el más adecuado, el investigador A trata de justificar su olvido, atribuyendo la omisión de la variable Y al problema de la multicolinealidad. a) En favor de cual de los investigadores se inclinaría usted, a la vista de los resultados obtenidos. Argumente razonadamente su posicionamiento. b) Obtenga analíticamente la expresión del sesgo de estimación del estimador del parámetro β 1 en el modelo con error de especificación por omisión de variable relevante.
(5-4-1993)
b) t (^) P = 2, 09; tI = 8,53; t 15 0,10 / 2 = 1, 753 t 15 0,05 / 2 = 2,131 t 15 0,01/ 2= 2,947⇒ En el coeficiente
de P se rechaza la H (^) 0 para a =0,10, pero no para a =0,05 a =0,01; en el coeficiente de I se
rechaza la H 0 para los niveles usuales.
c) t = −0, 04 ; Se rechaza^ H 0 para cualquier nivel de significación (porque el estadístico^ t es
negativo.
12 Se ha estimado la siguiente función de empleo para la economía japonesa en el periodo 1947-1962:
E ˆ^ i = 11690 − 576, 46 t −19, 77 Dt + 0, 064 PIBt − 0, 01 FAt SCR = 4898596
donde: Et : Empleo en el periodo t. t : Tendencia t = 1,2, ..., 16. Dt : Deflactor del PIB en el periodo t PIBt : Producto Interior Bruto en el periodo t FAt : Número de efectivos de las fuerzas armadas en el periodo t. Además, se dispone de la siguiente información para el año 1965: D 1965 = 118,7 PIB 1965 =582922 FA 1965 = 2900 1 0 (^ )^02 x ′ X X ′ − x = a) Obtener el intervalo de confianza para el valor medio teórico y para el valor individual de predicción. b) ¿A qué se debe la diferencia entre ambos intervalos de confianza? ¿Qué hipótesis es necesario adoptar? Razone las respuestas. (15-3-1996) Solución
a) Y ˆ 65^ = 35669 Intervalo para el valor medio teórico: (33592; 37745); Intervalo para el valor
individual: (33126; 38211)
13* Se ha estimado por MCO la función de producción para la economía española con datos anuales para el periodo 1964-1977. n (1,03) (0,02) (0,09)
ln VAt = −1, 73 + 0, 78ln Kt +0,58ln Lt
R^2 =0,831 R^2 =0,809 DW = 0,
a) ¿Existe autocorrelación positiva? Razone la respuesta. b) Obtenga la matriz de varianzas covarianzas del vector de estimadores minimo- cuadráticos bajo el supuesto de autocorrelación. c) Suponiendo que 1 2
t t t t
u u NID ε
ε ε σ
Describa detalladamente un procedimiento de estimación para obtener estimadores lineales, insesgados y óptimos. (15-3-1996)
Solución
a) t = 14; k ′= 2; d 0,01 L^ = 0, 666; dU 0,01= 1, 254⇒ Se rechaza H (^) 0 de autocorrelación positiva para
α =0,05 y α=0,01.
14 Dada la función de producción
Qt = AKt^ α^ Lt^ β^ eu^ t
se ha procedido a su estimación con datos de la economía española de los últimos 20 años, obteniéndose los siguientes resultados:
ln Q ˆ t = 0,15 + 0,73ln K (^) t + 0,47ln Lt
[ ]
1
−
−^ −
′ = ^ −
X X (^) u ˆ ′ u ˆ = 0,
a) Realice el contraste de significatividad de los estimadores α y β conjuntamente. b) Contraste si el parámetro α es significativamente distinto de 1. (31-1-1996) Solución
a) F =4613,4; F 2,17 0,01 = 6,11⇒ Se rechaza H 0 para los niveles usuales (0,10; 0,05;0, 01).
b) t = 8,54; t 17 0,01/ 2 = 2,898⇒ Se rechaza H (^) 0 para los niveles usuales.
15 a) Explique para qué sirven y que miden los coeficientes de determinación ( R^2 ) y de
determinación corregido ( R^2 ). Razone la respuesta.
b) Dados los modelos
ln Y (^) t =β 0 + β 1 ln Xt + ut (1)
ln Y (^) t =β 0 + β 1 ln Xt + β 2 ln Zt + ut (2)
ln Y (^) t =β 0 + β 1 ln Zt + ut (3)
Y (^) t =β 0 +β 1 Zt + ut (4)
Indique qué medida de bondad del ajuste es adecuada para comparar los siguientes pares de modelos: (1)-(2); (1)-(3); y (1)-(4). Razone la respuesta. (31-1-1996) Solución
b) (1)-(2); R^2 ; AIC ; (1)-(3); R^2 ; R^2 ; AIC ; (1)-(4); AIC
b) Se ha estimado el modelo por MCO con 33 observaciones, obteniendo los siguientes resultados:
Y ˆ i =^ 12,7^ +^ 14,2 X 1 i +^ 2,1 X 2 i
[ ] 2 1
σ
−
−^ −
′ = ^ −
X X
¿Es admisible la hipótesis de significatividad de cada uno de los parámetros del modelo individualmente? (5-9-1997) Solución
a) Matriz y vector de restricciones:
D d
b) t (^) αˆ 0 = 6, 27; t (^) αˆ 1 = 7, 28; t α (^) ˆ 2 = 1,52; t 30 0,1/ 2 = 1, 697 t 30 0,01/ 2= 2, 750⇒ En el caso de α 0 y
α 1 se rechaza H (^) 0 para los niveles usuales (0,10; 0,05;0, 01); en el caso de α 2 no se rechaza
la H (^) 0 para los niveles usuales
20 Se estima por MCO el siguiente modelo ln Y (^) t =β 0 + β 1 ln Xt + β 2 ln Zt + ut a) ¿Los residuos mínimo cuadráticos pueden ser todos positivos? Razone la respuesta. b) Bajo la hipótesis básica de no autocorrelación de las perturbaciones, ¿son independientes los residuos minimocuadráticos? Razone la respuesta.
a) Suponiendo que las perturbaciones no tengan distribución Normal, ¿el vector de estimadores minimocuadráticos será insesgado? Razone la respuesta. (5-9-1997)
21* (^) a) Describa el método de estimación por mínimos cuadrados generalizados (MCG).
b) ¿En qué condiciones es recomendable su utilización y por qué? c) Indique analíticamente en qué circunstancias los estimadores MCG son equivalentes a los estimadores MCO. (5-9-1997)
22* (^) a) Explique detalladamente en qué consiste el problema de la heteroscedasticidad en el
modelo de regresión lineal. b) Ilustre brevemente el problema de la heteroscedasticidad con un ejemplo. c) Proponga soluciones al problema de la heteroscedasticidad. (5-9-1997)
23* (^) Explique detalladamente cuál sería el contraste de autocorrelación y la transformación del
modelo adecuados a) cuando el modelo no tiene variables endógenas retardadas y las observaciones son anuales.
b) cuando el modelo tiene variables endógenas retardadas y las observaciones son anuales. c) cuando el modelo no tiene variables endógenas retardadas y las observaciones son trimestrales. (5-9-1997)
24 Se han estimado con una muestra de 30 empresas las siguientes funciones de costes:
2 2 (11,97) (3,70)
Y ˆ i^ = 172, 46 + 35, 72 X (^) i R = 0,838 R = 0,829 u u ˆ ˆ′ = 8090
(2) 2 3 2 2 (29,44) (33,81) (11,61) (1,22)
Y ˆ i^ = 310, 07 − 85,39 X (^) i + 26, 73 X (^) i − 1, 40 X (^) i R = 0,978 R = 0,9739 u u ˆ ˆ′ = 1097
donde Yi es el coste medio y Xi es la cantidad producida. (Entre paréntesis se indican las desviaciones típicas de los estimadores) a) ¿Cuál de las dos estimaciones elegiría?. ¿En base a qué criterio? b) Contraste si los términos cuadrático y cúbico de la cantidad producida son significativos en la determinación del coste medio. c) En el modelo (2), realice el contraste de significatividad de todos los parámetros del modelo, excluido el término constante. (28-1-1998) Solución a) Utilizando (^) R^2.
b) H (^) 0 : β 2 = β 3 = 0; R^2^ → F = 85,91; SCR → F = 86, 06; F 2,270,01= 5, 49⇒ Se rechaza H 0 para los niveles usuales (0,10; 0,05;0, 01).
c) H (^) 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0; F = 400, 09; F 3,270,01⇒ Se rechaza H (^) 0 para los niveles usuales.
25 Sea el modelo
y = X β + u donde y es un vector T ×1, X es una matriz T ×8, β es un vector 8×1 y u es un vector T ×. a) Indique el número de ecuaciones normales contenido en el sistema X X ′ β =ˆ X y ′ , justificando la respuesta. b) ¿Qué ocurrirá si X X ′ es singular? Proponga un ejemplo en el que X X ′ sea singular. c) Proponga un estimador insesgado de σ2. Razone la respuesta.
d) ¿Qué hipótesis básicas deben cumplirse para que β =ˆ [ X X ′ ]
− 1 X y ′ sea un vector de estimadores óptimo? Razone la respuesta. (28-1-1998)
26 Suponiendo que u ~ N [ 0 , σ^2 Ω]
a) Obtenga la distribución de u ˆ y sus características b) ¿Los residuos ˆ ut son homoscedásticos y no autocorrelacionados? Justifique la respuesta. c) ¿Los estimadores por MCG son óptimos? Justifique la respuesta
d) Elasticidad de demanda de café respecto al precio del té.
30 Se desea estimar el siguiente modelo:
2 3 4 1 2 3 4
ut Yt X (^) t X (^) t X (^) te =β β^ β β
utilizando las siguientes observaciones: X 2 X 3 X 4 3 12 4 2 10 5 4 4 1 3 9 3 2 6 3 5 5 1
¿Qué problemas se pueden presentar en la estimación de este modelo con estos datos? Solución
X (^) 3 t = X (^) 2 t × X (^) 4 t ⇒ ln X (^) 3 t = ln X (^) 2 t + ln X 4 t ⇒Multicolinealidad perfecta
31* Unos grandes almacenes que tienen puntos de venta en 18 capitales de provincia se
preguntan acerca del impacto relativo de la publicidad ( P ) y de los incentivos a sus vendedores ( I ) sobre las ventas. Para ello han estimado la siguiente función de ventas:
(3548,11) (8,92) (3,60)
V ˆ i^ = 396,59 + 18, 63 Pi +30, 69 Ii
Posteriormente, se ordenan las observaciones de acuerdo con los gastos en publicidad, de menor a mayor, y se realizan dos estimaciones separadamente obteniéndose los siguientes resultados:
i = 1,.....9., ∑ u ˆ t^2 = 473
i = 10, ....18 ∑ u ˆ t^2 = 43822
a) Contrastar la hipótesis de homoscedasticidad. b) Si existiera heteroscedasticidad, ¿cómo procedería para realizar inferencias con este modelo?
Solución
a) GQ =92,65; F 6,6 0,01 = 8, 47⇒ Se rechaza H (^) 0 para los niveles usuales (0,10; 0,05;0, 01).
33* a) Se tiene el modelo de ventas ( V t ) en función del precio ( Pt ) y gasto en publicidad ( Gt ),
con datos trimestrales. Explique razonadamente cómo puede contrastar si existe autocorrelación. b) Describa detalladamente, introduciendo los supuestos que considere oportunos, cómo estimaría el modelo
Y (^) t = β 0 + β 1 Xt + ut
cuando se rechaza H 0 : ρ = 0 , en el esquema ut = ρ ut − 1 + ε t.
