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Apuntes de Econometría
II
Nota del autor. Este documento es un resumen del «libro de texto» de la asignatura Econometría II de la licenciatura de Economía en la UNED. Como tal, es mi visión de la asignatura, que no tiene por qué coincidir con la de los demás. No he sido capaz de seguir las mismas pautas en todo el documento, sobre todo en lo que hace referencia a los globos de resalte. Para las ecuaciones he usado el editor de ecuaciones de Word 2010, que está mucho mejor que sus hermanos anteriores. Ya hemos pasados de Neanderthal a Cromagnon. Aun así, en ocasiones es complicado y muy costoso en tiempo pasar todo el formalismo matemático a formato electrónico, por lo que he decidido hacerlo a mano, método tradicional, y pegar las imágenes escaneadas. Esto le da un aspecto en extremo cutre al trabajo, pero la finalidad no es cuidar el aspecto. He decidido, en la medida de lo posible, construir las frases siguiendo el orden tradicional de sujeto-verbo-predicado, evitando además separar el sujeto con una coma. He evitado el uso de condicionales (sobre todo si no se dice qué condición aplica), he cambiado algunas palabras “modernas” (tipo «criticismo») por su versión clásica («crítica») y alguna cosilla por el estilo. Si alguien quiere usar estos apuntes, por mí, encantado. Eso sí, bajo su responsabilidad. El que los reciba es libre de hacer lo que considere: editarlos, cambiarlos, copiarlos, distribuirlos y quemarlos (o borrarlos del disco duro; también se puede quemar el disco duro, pero me parece muy radical). Suerte a todos los que se examinen. Fdo. J. Mayo de 2013
- Presentación del Programa de Econometría II El objeto de esta parte del programa son los modelos econométricos de series de tiempo. Toda la Econometría trabaja con datos de series históricas. La economía cuantitativa se dedica a la medición de las regularidades; esta medición se particulariza en la determinación de los valores de las constantes económicas, supuesto que estas existan. Las series históricas se interpertan como muestras seleccionadas en forma representativa (aleatoria) a partir de una población denominada proceso estocástico. Aleatorio significa «representativo». Tal representatividad se supone conseguida si las observaciones de la muestra fueran seleccionadas de forma independiente del seleccionador de la muestra. El programa pretende realizar aplicaciones orientadas a definir la línea de trabajo del economista. El análisis de series temporales prolonga la aplicación de la inferencia clásica atemporal a una inferencia pensada para series de tiempo. Tras un proceso de generalizaciones formales, se pretende llegar a formular modelos de series de tiempo, con significado y forma, similares a los utilizados en los modelos estructurales. El programa se inicia con el estudio de los procesos estocásticos univariantes estacionarios en el dominio del tiempo ( ARMA ) y en el de las frecuencias ( Análisis Espectral ), para terminar en cuestiones de no estacionaridad ( tendencias ). El análisis univariante de series de tiempo se generaliza a dominios no univariantes como la cointegración, series planteadas en el dominio del tiempo, así como modelos de funciones de transferencia, en el dominio de las frecuencias o periodicidades. El análisis de los ciclos puede verse como antecedente del estudio de series de tiempo, si bien bajo presupuestos metodológicos diferentes. Los primeros estudios de ciclos son empiricistas, no estocásticos, y adoptan la idea de modelo. La omisión de variables se interpreta como un problema de especificación. Se parte de la hipótesis de pluralidad de causas. Se impone gradualmente la idea de modelo econométrico. El modelo pasa a ser la unidad de análisis, frente a la idea de la medición de teorías económicas cualitativas, que parecía esperar como un resultado lógico. No se cuestiona el fundamento de la validez de un modelo, sino que éste se acepta sin ser cuestionado.
con la información numérica sobre la sociedad. Se desarrollan dos sistemas:
- Tablas descriptivas destinadas a informar.
- Los estados informativos para los administradores. En determinado momento irrumpen las probabilidades, que conducen a distintos tipos de certeza:
- La matemática (equiprobabilismo).
- La física (frecuencias observadas).
- La moral, basada en el testimonio y la conjetura de índole subjetiva. Dentro de la escuela francesa se instaura la idea del hombre medio: la media representa los ideales de la sociedad. La ley de probabilidad binomial (atemporal) se complica cuando hay que calcular la probabilidad de un suceso para un número elevado de lanzamientos. El descubrimiento de la ley normal permite aplicar la probabilidad a un número prácticamente infinito de sucesos independientes. Aunque el número de pruebas sea atemporal, se realiza en el tiempo. Por eso, a veces, se considera como natural la correspondencia entre el número de pruebas y el tiempo. Los errores de medida son accidentales e inevitables. Son más probables los más pequeños, dependiendo su magnitud de los instrumentos de medida. No hay sesgos (errores sistemáticos). La generalización de la probabilidad de los juegos de azar a los errores de medida mantiene el principio de que en ambos campos se prescinde de la dimensión temporal de las observaciones. Cuando se relacionan inductivamente los números referidos a dos o más fenómenos, el instrumento utilizado es la correlación. La correlación aparece y se contempla como un esquema conceptual opuesto al de la causalidad propia del razonamiento deductivo. K. Pearson asume la idea de que la correlación es una categoría opuesta a la causación. Las razones para su escepticismo sobre la causalidad derivan de su teoría del conocimiento, influenciada por Ernst Mach. Mach se apoya más en la física que en la biología. La categoría de causalidad pasa a ser substituida por el concepto matemático de función, concepto que define una relación de dependencia de los fenómenos entre sí. Pearson interpreta las leyes como fórmulas abreviadas que sintetizan las percepciones. Las leyes funcionales nunca se cumplirían estrictamente. La idea metafísica de causa cedería su lugar a la idea de correlación entre hechos observados. ¿Qué significa correlación? Alguna relación de causa-efecto entre las cosas. Valores de la correlación inferiores a 1 (correlación perfecta) significarían que causas y efectos no han sido asilados perfectamente.
- El desarrollo histórico de los métodos estadísticos en el dominio del tiempo. La aplicación de los métodos estadísticos atemporales a series de tiempo puede verse como un intento de convertir las fluctuaciones temporales en desviaciones atemporales. El procedimiento seguido para trasladar los conceptos atemporales al tiempo se asocia a la transformación de las series de tiempo en estacionarias. Con ello se pretendía descubrir leyes estadísticas. Existían razones para explicar y comprender el salto lógico de lo atemporal a lo temporal. La evolución puede entenderse como un desplazamiento de la media de la distribución de cada generación, lo que hace aparecer de modo natural el desplazamiento en el tiempo. Cuando las
variaciones de las series históricas se traducen a una distribución de frecuencias atemporal, rara vez adoptan la forma de la campana de Gauss. Antes bien, aparecen como distribuciones asimétricas, dejando la media de ser constante. Los investigadores de modelos de series de tiempo se han decantado por la probabilidad y la correlación. La aceptación de este esquema requiere que las series de tiempo puedan ser consideradas la imagen empírica de sucesos aleatorios, es decir, conseguir que las series de tiempo sean estacionarias. Para Wold, si los procesos temporales fuesen estacionarios cabría aplicar la regresión y el análisis espectral. El problema principal radica en la característica de dependencia de las observaciones sucesivas de las series de tiempo. Las observaciones no son consideradas independientes de las anteriores. Yule subraya las dificultades de investigar relaciones causales mediante la correlación de fenómenos económicos. La investigación de relaciones causales entre fenómenos económicos presenta muchos problemas de dificultad peculiar, y presenta muchas oportunidades para establecer conclusiones falaces. En lugar de hablar de relación causal, cantidades relacionadas causalmente, se usa correlación, cantidades correlacionadas. Un coeficiente de correlación elevado no es prueba de relación cuasal. Una de las razones de la dificultad de las inferencias económicas se debería a la pluralidad de causas, que condicionaría la interpretación de los coeficientes de correlación, pudiendo estar enmascarados los efectos de las diferentes causas. Hooker propone correlacionar las desviaciones respecto a una media instantánea (idea aproximada a la tendencia). Este procedimiento sería aplicable cuando las oscilaciones son periódicas. En una primera etapa, los datos se presentan en forma de tablas; luego se representan gráficamente en el tiempo. En la época de Pearson los diagramas temporales y las formas geométricas son tan importantes como las ecuaciones.
- El método de las diferencias variantes y el significado de la correlación El origen del método de diferencias se encuentra en los algoritmos monetarios utilizados por los comerciantes, los financieros y los especuladores, derivados de la observación de los movimientos de precios y cantidades. El empleo de diferencias y tasas obedece a razones económicas, antes que a formales. Se considera desde un principio que la dificultad principal de llevar los métodos atemporales a series históricas estaría en la no estacionaridad, entendida como indicador de la existencia de causas inalteradas. Para eliminar su influencia se recurre a la transformación de las series históricas observadas en estacionarias, lo que conllevaría la eliminación de la dimensión histórica (temporal). Para Hooker, las medias móviles serían útiles en caso de movimientos periódicos. La aplicación de la transformación de diferencias sería útil para tratar movimientos cortos, fueran o no periódicos, siendo su principal ventaja la sencillez de aplicación. A largo plazo, lo adecuado para medir la interdependencia podría ser utilizar desviaciones respecto a la media aritmética. Las primeras diferencias revelarían los movimientos a corto plazo. Las variaciones sistemáticas estarían representadas en los movimientos a largo plazo; las irregulares, en los movimientos a corto. Student proporciona una regla para decidir el orden de diferenciación (el valor en el que se estabiliza la varianza) como procedimiento para descubrir la correlación verdadera. Permitiría sustituir una correlación espuria por otra considerada verdadera. El criterio sería el valor en el que se estabilizara la varianza. Inconveniente: a veces la varianza no se estabiliza.
- Análisis de la causalidad
- Consideraciones previas Se ha reemplazado la palabra causar por otras como determinación , influencia , correlación o dependencia funcional. El planteamiento causal se traslada a la medición: «Las curvas de demanda de la teoría económica convencional son relaciones causales. Si en nuestros análisis estadísticos no partimos de aceptar las relaciones causales entre precios y cantidades, no aproximamos las curvas teóricas de demanda». El progreso analítico derivado del principio causal deriva de que una vez conocido el movimiento de la causa, se sigue de modo necesario el del efecto. Consideraciones:
- La relación causal se establece entre una sola causa A y un solo efecto B. Sólo cabe hablar de una relación necesaria si se abstrae la relación entre un efecto y una sola causa, lo que excluye la pluralidad de cusas. La causalidad es una idea lógica, formulada como una proposición simple, relacionando un solo efecto (variable endógena) con una sola causa (variable exógena). Además, se establece deductiva y racionalmente con carácter necesario y general.
- El concepto de relación funcional, de dependencia o interdependencia, no excluye la idea de cusa. Ante un desconocimiento de la dirección de la influencia entre A y B se opta por emplear otro término: dependencia.
- Críticas atemporales del principio causal En el orden atemporal, existe un gran progreso analítico derivado de hacer abstracción del tiempo. Un progreso similar ocurre también en la causalidad y en la doctrina de las probabilidades. La econometría ha tratado de evitar el recurso al principio causal, sin proponer un sustituto adecuado ni llegar a invalidarlo. La dualidad entre establecer una o varias causas es utilizada para explicar la diferencia entre la causalidad aplicada a los fenómenos físicos y a los sociales. En los primeros, se considera posible atribuir un determinado efecto a una sola causa, mientras en las ciencias sociales habrá que aceptar una pluralidad de causas. Como, de hecho, no se conocen todas las causas, es preciso recurrir a esquemas alternativos, como los basados en las probabilidades, o la regresión. La regresión no es independiente de la correlación: inferir causalidad a partir de los coeficientes de regresión implicaría inferir causalidad a partir de correlación. El determinismo causal es contradictorio con la probabilidad. En el esquema causal, puesta la causa el efecto se sigue necesariamente, y no con una determinada probabilidad. La causalidad choca con los planteamientos derivados de los métodos estadísticos. Causalidad lógica y correlación estadística obedecen a esquemas opuestos. La econometría procede a sustituir la terminología de causa y efecto por la de variables exógenas y endógenas. Según el positivismo lógico moderno, la relación entre una causa y un efecto sería un principio lógico, aplicable tan solo a ciencias de observación (no experimentales) como la economía, aceptada la condición de ceteris paribus. Para el positivismo, toda proposición científica ha de estar dotada de contenido empírico. McLelland pretende aunar causalidad y probabilidad. En economía, las relaciones tienden a ser
válidas en promedio o en su mayor parte. Asume la pluralidad de causas determinantes de un único efecto, para argumentar que el término conexión necesaria entre cusa y efecto debe remplazarse por el de probabilidad. La econometría posterior a los años 30 asume la multiplicidad de causas (múltiples regresores). La aceptación de la noción de correlación, atemporal, favorecería medir cuantitativamente una relación entre una sola variable endógena (efecto) y múltiples variables exógenas (regresores).
- La causalidad en el tiempo Si la causalidad se analizase en el tiempo debería ser, además de una relación necesaria, permanente. En los modelos dinámicos se acostumbra a incluir entre los regresores la propia variable endógena retardada (una garantía para mejorar o conseguir un buen ajuste), formulación contradictoria con el principio causal. Nada se puede causar a sí mismo. En cambio, Hicks se concentra en un doble tipo de causalidad: débil y fuerte. Causalidad débil significa que A es una de las causas de B, y la fuerte, que A es la única causa de B. Incluir el tiempo implica perder la característica de necesidad propia de una relación causal lógica, incompatible con el carácter contingente de las sucesiones en el tiempo. Ignorar la dirección de la influencia es ignorar la propia causalidad. Los intentos de fundamentar la causalidad en regresiones dinámicas no resuelve el problema clásico de sustituir causalidad por correlación. Hooker señala que el problema de la causalidad no puede inferirse a partir de series de tiempo, dado que al tratarse de datos no experimentales, no cabe consdierar por separado una sola causa. Propone correlacionar las desviaciones a la tendencia, entendida como media instantánea. Para Yule: «la dificultad esencial del problema de la correlación en el tiempo es la dificultad de aislar para el estudio diferentes componentes dentro del movimiento observado de cada variable». Hubo un momento en que el carácter científico de un artículo se evaluaba por los valores de los coeficientes de correlación. La letra ha cambiado, pero el espíritu subsiste. La causalidad lógica se establece deductivamente, sin apelación a la experiencia (datos), poseyendo carácter necesario. La prelación temporal no tendría validez con independencia de todo tiempo y lugar, no posee carácter necesario. Sólo es un resultado empírico que relaciona variables o diferentes retardos, siendo establecida a posteriori.
- Análisis univariante de series temporales estacionarias. Fundamentos metodológicos.
- Consideraciones previas Los modelos, hipótesis y teorías económicas trabajan con variables teóricas. Que, en la mayor parte de los casos, los datos sean del tipo de series históricas ( temporales) no quiere decir que haya correspondencia necesaria entre las variables teóricas y los datos. Las variables consideradas en los modelos estructurales no consideran explícitamente la dimensión temporal de los datos. Los parámetros estimados no variarían aunque se alterase el orden de las observaciones. La distribución atemporal sigue siendo la misma. Sin embargo, si se produjera un cambio en el orden de las observaciones , afectaría a las tendencias y ciclos subyacentes.
modelos probabilísticos aparecen como observaciones discretas sucesivas en el tiempo. El problema a abordar es extender el modelo probabilístico de forma que nos permita representar fenómenos dinámicos. La estructura de dependencia de lso valores de Z(t) es esencial en la definición de un proceso estocástico. Un proceso estocástico debe representarse por la función de distribución conjunta del proceso : F((Z(t 1 ), …, Z(tn)) ≤ P[Z(t 1 ) ≤ Z 1 , …, Z(tn) ≤ Zn) ] Al ser el tamaño T del proceso teóricamente infinito, la función de distribución debería tener dimensión infinita. Kolomogorov ha demostrado que esto no es necesario si se cumplen las condiciones de regularidad : Que el proceso estocástico Zt dependa de t quiere decir que para cada t, Zt tiene una distribución aleatoria diferente.
- Procesos estocásticos estacionarios Malinvaud califica los procesos estacionarios como aquellos cuyas propiedades son estables en el tiempo. El concepto de estacionario en sentido estricto no es operativo, pues requiere el conocimiento de la función de distribución, concepto desconocido en la teoría de los procesos estocásticos. Si el proceso estocástico sigue una distribución normal, coindicen los dos tipos de estacionaridad. Por otra parte, la exigencia de que un momento de un proceso estocástico estacionario sea constante e independiente de t se interpreta como ausencia de movimientos sistemáticos, es decir, sin tendencias ni ciclos. La función de autocorrelación generaliza la noción atemporal de correlación al tiempo considerando diferentes desfases. Se usa el prefijo auto para indicar correlación entre valores de la misma serie, considerados para diferentes retardos (designados por u). La función de autocorrelación sólo está definida para procesos estacionarios.
Si los valores del proceso estocástico estacionario no fueran independientes sino que estuvieran autocorrelacionados, lo razonable sería considerar que la correlación entre valores sucesivos del proceso se fuese haciendo menor a medida que los valores están más alejados en el tiempo. Así, habrá menos correlación entre Zt y Zt-k, que entre Zt y Zt-1 (k > 1). En consecuencia, la función de correlación tomará valores decrecientes a medida que crece el valor de u: Valores autocorrelacionados u correlación Función de autocorrelación decreciente con los retardos crecientes: Ru si u La función de autocorrelación se considera útil para la identificación del proceso al ser diferente según los procesos a partir de los que ha sido calculada. La autocorrelación de una variable con su misma historia (en el tiempo), toma el valor 1:
- r 0 = c(0)/c(0) = 1
- ru ≤ 1
- Es una función par del tamaño del retardo: ru = r-u
- No unicidad El análisis de regresión basado en datos de series de tiempo asume implícitamente que las series de tiempo subyacentes son estacionarias. Los contrastes clásicos de la t, la F, etc, se basan en este supuesto. Estos contrastes han sido construidos para distribuciones atemporales, y su generalización a series de tiempo es una cuestión no resuelta. Toda distribución probabilística atemporal es estacionaria. La estacionaridad es una característica esencial de las variables estocásticas. No basta imponer a las series temporales la condición de estacionaridad para que el planteamiento sea probabilístico. Como el proceso estocástico estacionario es desconocido, lo son sus funciones de distribución o densidad, supuesto que existan. La independencia asintótica postulada para los valores del proceso estocástico implica una restricción de la memoria en el tiempo. Permite modelar la dependencia temporal mediante un número finito de parámetros. La dependencia entre valores sucesivos se hace más débil a medida que crece el desfase entre las observaciones.
- Principales procesos estacionarios Tres tipos de procesos estocásticos estacionarios: ruido blanco (RB), medias móviles (MA) y autorregresivos (AR).
- Proceso estocástico estacionario puramente aleatorio (ruido blanco, RB) Malinvaud define un proceso puramente aleatorio en el tiempo como una serie de variables aleatorias independientes con la misma distribución de probabilidades. El proceso estocástico puramente aleatorio (Ruido Blanco, RB) es el más simple de los procesos
El valor medio cuadrático de un proceso puramente aleatorio en el tiempo toma un valor infinito, lo cual significa su inexistencia. La imposibilidad del proceso RB en el caso continuo es coherente con la evidencia obtenida en las simulaciones discretas. Todos los procesos discretos tienen correlaciones distintas de cero, pese a ser generadas por simulación a partir de procesos pseudo-aleatorios, aparentemente RB. La noción de persistencia ha de verse como contradictoria con la de independencia. El análisis estocástico de series temporales atribuye las desviaciones entre la definición teórica de RB (correlación nula) y la evidencia empírica (correlaciones no nulas) a errores de muestreo. La hipótesis probabilística asume que las series históricas son muestras aleatorias.
- Proceso de medias móviles (MA)
- Consideraciones previas El fallo de la argumentación en la que descansa la hipótesis de Slutzky está en asumir que la serie es aleatoria, cuando sólo es irregular. La intuición de una elevada irregularidad lleva a inferir en forma equivocada que una serie irregular es puramente aleatoria en el tiempo (o sea, que es RB). A juicio de Davis, los procesos MA tienen la ventaja de la simplicidad de cálculo, así como su utilidad para suavizar fluctuaciones cortas, sin interferir con otras oscilaciones. El grado de suavizado crece con el tamaño de la media móvil. Las medias móviles se usan para aproximar tendencias y suavizar movimientos estacionales; sin embargo, han sido cuestionadas en Econometría.
- Características de un proceso de medias móviles (MA) Como ambos momentos, media y varianza, no dependen del tiempo t, se considera demostrado que el proceso Zt es estacionario. Además:
Esta condición implica un número finito de parámetros con suma finita. De esta condición de convergencia se sigue la convergencia a cero de la función de autocorrelación, al depender su valor de los valores de los parámetros βi. La forma de la función de autocorrelación será decreciente. En general, para los momentos de un proceso MA (q) tenemos: Las funciones de autocovarianza y autocorrelación dependen del desfase u, no del tiempo histórico. Con ello quedaría establecida la estacionaridad en sentido amplio o en covarianza de un proceso MA. Sería estacionario en sentido estricto si además Vt siguiera una distribución normal.
- Características de un proceso de medias móviles MA(2) La condición de invertibilidad para un MA(2) viene dada por la exigencia de que caigan fuera del círculo unitario las raíces de la ecuación
- Los procesos de medias móviles y el efecto Slutzky La hipótesis defendida en el manual es que los ciclos no pueden ser generados en la aleatoriedad. Es una hipótesis opuesta a la de Slutzky. Kuznets es favorable a la hipótesis de Slutzky, que revisa las críticas derivadas de aplicar la correlación atemporal a series de tiempo: «el coeficiente de correlación, en cuanto medida de la relación entre series de tiempo, ha estado sometido a una crítica considerable. Hay acuerdo en que la magnitud del coeficiente no indica la existencia o ausencia de una relación funcional entre los fenómenos correlacionados. El coeficiente sería un promedio de una tendencia cambiante en covarianza, un promedio de reducido valor descriptivo, y menos inferencial». Concluye la no generalización a series de tiempo de los conceptos construidos para distribuciones de frecuencias atemporales. Slutzky afirma ser posible obtener regularidad a partir de irregularidad. El efecto se llama efecto Slutzky. Crítica 1. El argumento de Slutzky es experimental, no deductivo ni racional. Su conclusión sería, por tanto, de valor contingente y particular, establecida tan sólo como una mera posibilidad que no cabría predicar de ningún ciclo concreto. [Malinvaud se lo cuestiona en el mismo sentido: actúa sobre ciclos ya existentes, no creando nada nuevo] Crítica 2. El periodograma de un proceso RB debería registrar, por definición, una contribución constante en todas las periodicidades. Las evidencias difieren de esta definición. La transformación de medias móviles amplifica la contribución de períodos medios y largos del proceso V, atenuando la contribución de los ciclos cortos. La conclusión de Malinvaud: «el cálculo de medias móviles de una serie puramente aleatoria conduce a una serie oscilante. Este resultado tiene una gran importancia para el tratamiento estadístico de datos temporales. (…) Si se trata de estudiar las fluctuaciones cíclicas, el ajuste de medias móviles hace aparecer, al lado de las oscilaciones de la componente sistemática, oscilaciones artificiales debidas únicamente al tratamiento estadístico. Este fenómeno se llama efecto Slutzky».
- Proceso autorregresivo El proceso estocástico estacionario autorregresivo (AR) establece una dependencia de Z de su propia historia pasada.
- Consideraciones generales Frisch y Yule sugieren que los sistemas de ecuaciones lineales en diferencias podrían ofrecer soluciones al problema de las oscilaciones amortiguadas. El modelo de periodicidad perturbada
se expresa mediante ecuaciones autorregresivas.
- Características de un proceso autorregresivo En notación compacta: Un proceso autorregresivo puede interpretarse como un modelo de regresión múltiple en el que el papel de los regresores corresponde a los valores retardados de la propia serie. También puede considerarse como una ecuación en diferencias. Dado que los valores retardados de la propia serie invalidan toda interpretación con significado causal (nada se causa a sí mismo), la estimación de un AR se reduce a un problema de ajuste o de inferencia estocástica.
La forma de la función de autocorrelación depende del valor del parámetro 1. Si fuera negativo, la función de autocorrelación se comportaría como una sinusoide amortiguada. Si fuese positivo, decrecería exponencialmente. En ambos casos, tendería a cero cuando crece el desafse u. Esto es una forma de caracterizar la estacionaridad. La función de autocorrelación de un AR(1) no se anula a partir del primer retardo, dificultando con ello la identificación del orden del proceso AR.
- Función de autocorrelación parcial A la función de autocorrelación usada hasta aquí se la denomina función de autocorrelación total. La función de ACP permite identificar el orden de un proceso AR. La ecuación de Yule-Walker generalizada al orden p es:
Es de notar que la varianza de un ARMA(1,1) viene expresada en función de la varianza de V y de los parámetros de los componentes autorregresivo y de medias móviles. La forma típica de la función de autocorrelación total de un ARMA(1,1) podría considerarse una exponencial decreciente. El decrecimiento es imputable a la parte AR y puede ser atenuado por el componente MA. Un proceso ARMA (p, q) con valores bajos de p y q (procesos ARMA parsimoniosos ) permiten alcanzar buenas representaciones de series observadas, transformadas en estacionarias. Puede utilizarse en las aplicaciones como criterio práctico que el proceso identificado verifique la relación p + q 2 A partir de un proceso dado AR(B)·Zt = MA(B)·Vt Se puede obtener, intercambiando los operadores AR y MA, la función de autocorrelación inversa , que se ha propuesto como uno de los instrumentos prometedores para la identificación: Función de ACI: MA(B)Zt = AR(B)Vt Esta función tiene propiedades similares a las de la función de ACP. Aplicada a un AR(p) se anularía para retardos mayores que p y tendería a cero lentamente para procesos MA o ARMA.
Siguiendo el criterio de parsimonia se recomienda iniciar el procedimiento especificando procesos de orden reducido. En la práctica se alcanzan representaciones adecuadas para muchas series estacionarias con modelos ARMA(p, q) con p + q 2.
- Procesos estocásticos estacionales Los modelos estacionales generalizan el análisis anterior de los procesos estocásticos estacionarios con valores anuales a datos de periodicidad inferior al año, como meses y trimestres. Se distingue entre estacionalidad determinística y estocástica: «… aunque parte de las fluctuaciones estacionales pueden ser aproximadas en forma determinística, debido a los efectos del tiempo y calendario una parte de las fluctuaciones estacionales puede ser causada por el comportamiento de los agentes económicos…». Se recomienda tratar la estacionalidad determinística mediante variables cualitativas. En términos intuitivos, la estacionalidad determinística presentaría una variabilidad constante, mientras la amplitud de las fluctuaciones estacionales sería variable para la estacionalidad estocástica. Un AR(2) estacional:
