Econometria tema 3, Apuntes de Econometría

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Marzo, 2007 Econometr´ıa II

Tema 3: Modelos Din´amicos

Uniecuacinales

Nektarios Aslanidis Oscar Mart´ınez Ib´a˜nez Dpto. de Econom´ıa Universidad Rovira i Virgili Curso 2007-

Universidad Rovira i Virgili

´Indice 







´Indice

1. Motivaci´on y Definiciones Previas.
2. Modelizaci´on.
   • Retardos distribuidos finitos
   • Retardos distribuidos infinitos ( Modelo de Koyck )  Expectativas Adaptables  Ajuste Parcial
3. Estimaci´on.
   • Retardos finitos: Polinomio de Almon
   • Retardos infinitos: Modelos Autorregresivos.  h de Durbin
4. Regresi´on Espuria y Cointegraci´on.

Series Temporales 2

Introducci´on  ^ Motivaci´on

Modelos de Regresi´on: Herramienta econom´etrica b´asica para analizar la relaci´on entre variables.

Modelos de Series Temporales (Una variable): Herramienta econom´etrica b´asica para analizar la relaci´on entre la variable end´ogena (dependiente) y su pasado (el tiempo). Constituye un estudio de lo que hemos denominado Din´amica de la serie.

¿Que sucede si consideramos ambos an´alisis conjuntamente?

( Modelos de regresi´on para series temporales )

• Es importante estudiar la din´amica de la relaci´on entre variables.
• La din´amica de una serie es relevante, pero tambi´en lo es su relaci´on con ciertas variables ex´ogenas.

Introducci´on

¿Son necesarios estos casos en econom´ıa?

ALGUNOS EJEMPLOS

• La funci´on de consumo.
• La creaci´on de dinero.
• La relaci´on entre dinero y precios.
• Productividad e I+D.
• Balanza comercial y tipo de cambio (curva J).
• Etc.

ALGUNAS RAZONES

Psicol´ogicas, tecnol´ogicas, institucionales....

´Indice 







´Indice

1. Motivaci´on y Definiciones Previas.
2. Modelizaci´on.
   • Retardos distribuidos finitos
   • Retardos distribuidos infinitos ( Modelo de Koyck )  Expectativas Adaptables  Ajuste Parcial
3. Estimaci´on.
   • Retardos finitos: Polinomio de Almon
   • Retardos infinitos: Modelos Autorregresivos.  h de Durbin
4. Regresi´on Espuria y Cointegraci´on.

Series Temporales 7

Modelos de Retardos Distribuidos y Autorregresivos Modelos de Retardos Distribuidos Finitos Yt = α + β 0 Xt + β 1 Xt− 1 + β 2 Xt− 2 + ... + βsXt−s + ut; t = 1, 2 , 3 ..., T con s < ∞.

Interpretaci´on: Si X cambia en un determinado momento temporal, la Y necesitara de s periodos para recoger el efecto de ese cambio completamente.

Ejemplo: Consideremos una variaci´on unitaria permanente en X a partir de t, ∆X = 1:

∆X

t-3 t-2 t-1 t t+1 t+2 t+

X

X+

Modelos de Retardos Distribuidos y Autorregresivos

β 0 : Multiplicador de impacto o multiplicador a corto plazo. Muestra la respuesta instant´anea de Y a un cambio unitario de X.

β =

∑s i=0 βi:^ Multiplicador a largo plazo o multiplicador de equilibrio.^ Muestra el efecto total que tendr´a sobre Y un cambio unitario y permanente de X.

Multiplicadores Relativos o Ponderaciones

wi = ∑siβ=0i βi ⇒ Peso relativo o ponderaci´on del retardo i. Se cumple que:

∑s i=0 wi^ = 1. Si ∀iβi ≥ 0 ´o βi ≤ 0 ⇒ 0 ≤ wi ≤ 1 ⇒ wi puede interpretarse como probabilidad.

Retardo Medio:

∑S

i=0 iwi^ Proporciona una medida del n´umero promedio de per´ıodos que transcurren para que los cambios en X tengan efecto en Y.

Retardo Mediano: M´ınimo q?, tal que

∑q? i=0 wi^ ≥^0.^5.^ N´umero de periodos requeridos para alcanzar un 50% del efecto total sobre Y.

Modelos de Retardos Distribuidos y Autorregresivos Modelos de Retardos Distribuidos Infinitos

Yt =α + β 0 Xt + β 1 Xt− 1 + β 2 Xt− 2 + ... + ut

=α +

∑^ ∞

i=

βiXt−i + ut; t = 1, 2 , 3 ..., T

β 0 : Mult. de impacto. β =

i=0 βi:^ Mult. de Equilibrio.^ wi^ =^

βi ^ β^ :^ Peso relativo ^ Problema Supone infinitos par´ametros y, por lo tanto, no puede ser estimado con una muestra finita. (^) 

^ Soluciones

• Truncar el modelo ⇒ seleccionar s finito ⇒Modelo de Retardos Distribuidos Finitos.
• Imponer restricciones en el comportamiento de β 0 , β 1 , β 2 , ... ⇒ Modelo de Koyck.

Modelos de Retardos Distribuidos y Autorregresivos ¿Tienen sentido los Modelos de Koyck en la econom´ıa? SI

• Modelo de Expectativas Adaptativas:

La variable end´ogena depende de la esperanza o expectativa de una variable en el futuro (no observable).

Ejemplos: Demanda de dinero y t/i de equilibrio a L/P esperado, producci´on de una empresa y sus ventas esperadas,...

• Modelo de Ajuste Parcial:

Tambi´en llamado de Ajuste de Inventarios o Existencias. La variable no observada (tambi´en llamada de equilibrio) es la variable end´ogena.

Ejemplos: Nivel ´optimo de inventario como funci´on de las ventas, consumo ´optimo de un bien a partir de precios de ciertos factores de producci´on,...

Modelos de Retardos Distribuidos y Autorregresivos Modelo de Expectativas Adaptativas

Denotamos Xt? la expectativa para Xt+1 en t.

Modelo:Yt = α + βXt? + ut.

Hip´otesis auxiliar: Formaci´on de las expectativas.

Xt? − Xt?− 1 = γ(Xt − Xt?− 1 ), 0 ≤ γ ≤ 1 Xt? = Xt?− 1 + γ(Xt − Xt?− 1 )

Xt? = γXt + (1 − γ)Xt?− 1 = γXt + (1 − γ)LXt? =

γXt 1 − (1 − γ)L

Sustituyendo la hip´otesis auxiliar en el modelo:

Yt = α + β

γXt 1 − (1 − γ)L

• ut

Yt − (1 − γ)Yt− 1 = α[1 − (1 − γ)] + βγXt + ut − (1 − γ)ut− 1 







Yt = αγ + βγXt + (1 − γ)Yt− 1 + ut − (1 − γ)ut− 1

´Indice 







´Indice

1. Motivaci´on y Definiciones Previas.
2. Modelizaci´on.
   • Retardos distribuidos finitos
   • Retardos distribuidos infinitos ( Modelo de Koyck )  Expectativas Adaptables  Ajuste Parcial
3. Estimaci´on.
   • Retardos finitos: Polinomio de Almon
   • Retardos infinitos: Modelos Autorregresivos.  h de Durbin
4. Regresi´on Espuria y Cointegraci´on.

Series Temporales 16

Estimaci´on Retardos Finitos: Polinomios de Almon

Yt = α + β 0 Xt + β 1 Xt− 1 + ... + βsXt−s + ut.

Supuesto: Las variable ex´ogenas son realmente ex´ogenas y el t´ermino de perturbaci´on cumple las condiciones cl´asicas. ⇓ Los estimadores MCO son insesgados y ´optimos  ^ Problemas

• Perdida de grados de libertad: a medida que s aumenta disminuye el n´umero de observaciones y aumentan los par´ametros a estimar.
• Potencial multicolinealidad: debido a que las series suelen contener cierta tendencia o componente c´ıclica.
• Selecci´on de s: A partir del R^2 corregido, criterio de Akaike o Schwarz.

Estimaci´on As´ı, fijando r = 2:

β 0 =a 0 β 1 =a 0 + a 1 + a 2 β 2 =a 0 + 2a 1 + 4a 2 ...

βs =a 0 + sa 1 + s^2 a 2.

Sustituyendo en la ecuaci´on original:

Yt =α +

∑^ s

i=

βiXt−i + ut = α +

∑^ s

i=

(a 0 + ia 1 + i^2 a 2 )Xt−i + ut =

=α + a 0

∑^ s

i=

Xt−i + a 1

∑^ s

i=

iXt−i + a 2

∑^ s

i=

i^2 Xt−i + ut =

=α + a 0 Z 0 + a 1 Z 1 + a 2 Z 2 + ut.

Estimaci´on 







Propiedades

• Si ut cumple las condiciones del modelo cl´asico, la estimaci´on MCO de a 0 , a 1 , ..., ar ser´a insesgada y ´optima.
• Imponemos s − r restricciones a la estimaci´on original.  ^ Problemas
• Determinaci´on del n´umero m´aximo de retardos (s).

Soluci´on: Estimar el modelo original y determinar s en funci´on del R^2 corregido o los criterios de Akaike y Schwarz.

• Determinaci´on del grado del polinomio (r).

Soluci´on: Determinado s, empezaremos con r?^ elevado y contrastaremos que ar+1 = ar+2 = ... = ar?^ = 0 a trav´es de un test de la F. (Un t-test tendr´ıa problemas por la posible multicolinealidad).

• No obstante, la multicolinealidad podr´ıa subsistir.