¡Descarga edp eliptiques y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Mitjans homogenis i termes font
- u(x, t) temperatura en x en l’instant t ⇒ equació del calor 1d: ∂u(x, t) ∂t
= κ
∂^2 u(x, t) ∂x^2
x ∈ (a, b), t ∈ (0, t 1 ) (t 1 potser +∞) i: cond. de frontera: u(a, t) = u(b, t) = 0, t ∈ (0, t 1 ) cond. inicials: u(x, 0) = u 0 (x), x ∈ (a, b).
- κ > 0 difusivitat termal del mitjà homogeni.
- f (x, t) modela font de calor variable.
- EDP lineal parabòlica
- Procés de transferència de temperatura de parts calentes a les més gelades - Distribució inicial de temperatura u 0 (x). - “Parets” (a, b) “refredants” instantanis.
a (^) b
0
t x
T
inicial
condiciofrontera condiciofrontera
condicio
la solucio aci
cal trobar
Domini per a l’equació del calor unidimensional
Difusivitat variable
- Mitjà no homogeni (κ(x) variable):
∂u(x, t) ∂t
∂x
κ(x)
∂u(x, t) ∂x
- Equació anterior és cas particular quan κ(x) constant.
Estat estacionari
- Estat estacionari general:
−
∂x
κ(x)
∂u(x) ∂x
= f (x),
u(a) = u(b) = 0.
- Equació el.líptica lineal, amb coeficients no constants
- Cas anterior és cas particular d’aquest.
- Nota: denotarem derivades parcials amb subíndex ⇒
− (κ(x)ux(x))x = f (x),
Discretització d’EDP
- Solució exacta sols en casos favorables (1d, coef. constants, condicions de frontera periòdiques) ⇒ necessitem mètodes numèrics.
- Primer pas: “discretitzar” possible solució, seleccionar quantitat finita d’informació a partir de la qual es puga aproximar la solució buscada. En el cas anterior: - Substituïm u per ui ≈ u(a + ih) (i = 0,... , n + 1, h = (b − a)/(n + 1)). - xi = a + ih, (i = 0,... , n + 1) malla equiespaiada per a [a, b], n punts al interior i x 0 = a, xn+1 = b. - condicions de frontera ⇒ u 0 = un+1 = 0.
Discretització d’EDP
- Exemple: trobarem una discretització (no és única) de l’equació de Poisson −uxx = f (x), x ∈ (0, 1),
- Malla computacional: xi = ih, i = 0,... , n + 1, h = 1/(n + 1)
- Aproximem:
uxx(xi) ≈
u(xi + h) − 2 u(xi) + u(xi − h) h^2 =
u(xi+1) − 2 u(xi) + u(xi− 1 ) h^2
- Substitució en equació de Poisson (per a x = xi):
−u(xi+1) + 2u(xi) − u(xi− 1 ) h^2
≈ f (xi),
- Discretització en diferències finites de l’equació de Poisson: −ui+1 + 2ui − ui− 1 h^2
= f (xi), i = 1,... , n,
ui ≈ u(xi).
Discretització d’EDP
- Sistema lineal de n equacions amb n incògnites u 1 ,... , un.
- En general caldria passar els valors de u 0 i un+1 al segon membre.
- Forma matricial:
h^2
u 1 · · · · un
f (x 1 ) · · · · f (xn)
- Matriu simètrica, diagonals -1,0,1 úniques 6 = 0.
Discretització d’EDP
h−^2
κ 0 + κ 1 −κ 1 0... 0 −κ 1 κ 1 + κ 2 −κ 2 0... 0
....................................................... ....................................................... 0... 0 −κn− 2 κn− 2 + κn− 1 −κn− 1 0... 0 −κn− 1 κn− 1 + κn
u 1 · · · · un
=
f (x 1 ) · · · · f (xn)
- Matriu simètrica, diagonals -1,0,1 úniques 6 = 0, però no constants quan κ no constant.
- Idèntica a matriu de Poisson quan κ(x) = 1.
- Proposició: matriu anterior, κi > 0 , és definida positiva.
- Prova: denotem
B =
K =
κ 1 0 0... 0 0 κ 2 0... 0
................. ................. 0... 0 κn− 1 0 0... 0 0 κn
E =
κ 0 0 0... 0 0 0 0... 0
.............. .............. 0... 0 0 0 0... 0 0 0
⇒ A = BT^ KB + E.
Mitjans homogenis i termes font
- u(x, y, t) ≡ temperatura en (x, y) ∈ Ω en instant t
- Equació del calor 2D
∂u(x, y, t) ∂t
= κ
∂^2 u(x, y, t) ∂x^2
∂^2 u(x, y, t) ∂y^2
(x, y) ∈ Ω = (a, b) × (c, d), t ∈ (0, t 1 ) cond. frontera u(x, y, t) = 0, (x, y, t) ∈ ∂Ω × (0, t 1 ). cond. inic. u(x, y, 0) = u 0 (x, y), (x, y) ∈ Ω, temperatura inicial.
- f (x, y, t) ≡ font de calor.
- Amb notació habitual ∆u = uxx + uyy:
ut(x, y, t) = κ∆u(x, y, t) + f (x, y, t),
Difusivitat variable
∂u(x, y, t) ∂t
∂x
κ(x, y)
∂u(x, y, t) ∂x
∂y
κ(x, y)
∂u(x, y, t) ∂y
- Anterior cas particular quan κ(x, y) constant.
Diferències finites 2D
- Malla computacional sobre Ω = [a, b] × [c, d] producte cartesià malles triades en [a, b] i [c, d]: (xi, yj), - Sobre [a, b]: a = x 0 ,... , xm+1 = b, xi = a + ih, h = (b − a)/(m + 1). - Sobre [c, d] c = y 0 ,... , yn+1 = d, yi = c + ik, k = (d − c)/(n + 1).
- (xi, yj) ∈ Ω, i = 1,... , m, j = 1,... , n (mn punts), resta ∈ ∂Ω.
- Nota: per simplificar suposarem Ω = (0, 1) × (0, 1) i m = n ⇒ xi = yi, encara que seguirem utilitzant yj quan aquest valor actue en la segona variable de les funcions.
Discretització Poisson 2D
- Segon pas: diferenciació numèrica per a uxx, uyy.
- (^) ∂x∂
(∂u(x i,yj) ∂x
≡ (x 7 → u(x, yj))′′^ ⇒
uxx(xi, yj) ≈
u(xi + h, yj) − 2 u(xi, yj) + u(xi − h, yj) h^2 =
u(xi+1, yj) − 2 u(xi, yj) + u(xi− 1 , yj) h^2
(∂u(x i,yj) ∂y
≡ (y 7 → u(xi, y))′′^ ⇒
uyy(xi, yj) ≈
u(xi, yj + h) − 2 u(xi, yj) + u(xi, yj − h) h^2 =
u(xi, yj+1) − 2 u(xi, yj) + u(xi, yj− 1 ) h^2
- Aproximació equació Poisson 2D:
−
h^2
u(xi+1, yj) − 2 u(xi, yj) + u(xi− 1 , yj)
- u(xi, yj+1) − 2 u(xi, yj) + u(xi, yj− 1 )
≈ f (x, y) ⇒ 1 h^2
− ui+1,j − ui− 1 ,j − ui,j+1 − ui,j− 1 + 4ui,j
= f (x, y)
Expressió matricial
- ui,j (i = 1, · · · m, j = 1, · · · , n) formen U m × n.
- Cal adonar-se’n: - línies horizontals (j fix) ⇒ columnes - línies verticals (i fix) ⇒ files.
- Per trobar l’expressió matricial d’un operador cal treballar amb vectors amb índex naturals.
- Expressar matricialment discretització uxx i uyy ⇒ treballar amb U i matriu resultant com a vectors.
- Juxtaposició de columnes : isomorfisme
J(U )(mj + i) = U (i, j), 0 ≤ j < n, 0 ≤ i < m. i ≡ reste divisió entera (mj + i)/m = j.
- Expressió matricial-vectorial operador M :
M : mat(m, n) → mat(m, n) ⇒ M^ ˜ = J ◦ M ◦ J−^1 : Rmn^ → Rmn^ ⇒ M^ ˜ (x) = Ax (A matriu de M )
Producte de Kronecker
- Suposem inici dels índex = 0, per simplificar.
- Producte de Kronecker A = (ai,j) n × n amb B = (bi,j) m × m A ⊗ B mn × mn:
A ⊗ B =
a 0 , 0 B... a 0 ,n− 1 B
...................... an− 1 , 0 B... an− 1 ,n− 1 B
(A ⊗ B)(mj + i, mp + q) = AjpBiq 0 ≤ j, p < n, 0 ≤ i, q < m,
{k : 0 ≤ k < mn} = {m · k 1 + k 2 : 0 ≤ k 1 < n, 0 ≤ k 2 < m}.
