valors i vectors propis, Apuntes de Álgebra

¡Descarga valors i vectors propis y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!

INTRODUCCI O´

Introducci´o

Equaci´o caracter´ıstica

• (x, λ) (vector/valor) propi de A:

Ax = λx, x 6 = 0

• Determinar parells propis ´es un problema no lineal, m´es complicat que els lineals vists fins ara.
• Metode t´ıpic de calcul (eq. caracter´ıstica) det(A − tI) = 0 ⇒ valors propis λ (A − λI)x = 0 ⇒ vectors propis
• Per tant:
  • ∃ valors i vectors propis ∈ C, no necess`ariament [ ∈ R: 0 1 −1 0

]

vp: ± i

• 6 ∃ metodes directes per calcular valors propis ( 6 ∃ formules per arrels de polinomis de grau ≥ 5)

Introducci´o

Metode de la potencia

• Quocient de Rayleigh:

qr(x)

xT^ Ax ‖x‖^22

• Funci´o cont´ınua en Rn^ \ { 0 }.
• x vector propi de A associat al valor propi λ ⇒ qr(x) = λ)
• Aleshores x ≈ vector propi associat a λ, ⇒ qr(x) ≈ λ.
• Suposem A n × n diagonalitzable i

|λ 1 | ≥ |λ 2 | ≥ · · · ≥ |λn|, valors propis i v 1 ,... , vn els vectors propis corresponents.

• |λ 1 | > |λ 2 | ⇒ λ 1 valor propi dominant.
• Suposem tamb´e z(0)^ = α 1 v 1 + · · · + αnvn, α 1 6 = 0.

Introducci´o

Metode de la potencia

• Metode de la potencia

Triar z(0), ‖z(0)‖ 2 = 1 for i = 1,... p(i)^ = Az(i−1) λ(i−1)^ = (z(i−1))T^ p(i) z(i)^ = p

(i) ‖p(i)‖ 2 end

• ‖z(i)‖ = 1, z(i)^ = A

iz(0) ‖Aiz(0)‖ 2

• ±z(i)^ → v 1 (vector propi associat a λ 1 )
• λ(i)^ = qr(z(i)) ⇒ λ(i)^ → λ 1
• Velocitat de converg`encia lineal |λ 2 |/|λ 1 |.
• Inconvenient: |λ 1 | ≈ |λ 2 | ⇒ convergencia extremadament lenta, metode poc efica¸c.

APLICACIONS

Aplicacions

Sistemes de ODEs

• Soluci´o de sistemes d’EDOs lineals amb coeficients constants obtenible amb valors i vectors propis de la matriu de coeficients.
• ui = ui(t) i = 1,... , n funcions desconegudes, u′ 1 (t) = a 11 u 1 (t) + · · · + a 1 nun(t) ... u′ n(t) = an 1 u 1 (t) + · · · + annun(t) ui(0) = αi, i = 1,... , n problema de valors inicials.
• A ≡ matriu formada per coeficients ⇒

u′(t) = A u(t), ∀t.

• Suposem A diagonalitzable, A = P DP −^1
• Si P −^1 = (qij), fem canvi de variables

vi(t) = qi 1 u 1 (t) + · · · + qinun(t), v(t) = P −^1 u(t) ∀t.

Aplicacions

Estabilitat soluci´o ODE

• Suposem valors propis de A:

Re(λ 1 ) ≥ · · · ≥ Re(λn).

• Trevent factor com´u eλ^1 t:

u(t) = eλ^1 t(v︸ 1 (0)p 1 + · · · + (^) ︷︷vn (0)e(λn−λ^1 )tpn︸ w(t)

• Prenem m`oduls:

|ui(t)| = |eλ^1 t||wi(t)| = eRe(λ^1 )t|wi(t)|.

• |e(λi−λ^1 )t| = eRe(λi−λ^1 )t^ ≤ 1 ⇒ |wi(t)| < M
• Dedu¨ım

lim t→∞

u(t) =

0(estable) si Re(λ 1 ) < 0 ∞(inestable) si Re(λ 1 ) > 0 oscil·laci´o si Re(λ 1 ) = 0

Aplicacions

Condicionament

• Determinaci´o de valors propis m´ultiples problema mal condicionat, exemple:

A =

[

]

, v.p.1(doble)

• Pertorbaci´o de[ A: 1 1 ε 1

]

v.p. 1 ±

ε

• Petita variaci´o de ε en A d´ona variaci´o

ε en valors propis.

• Condici´o d’aquest valor propi:

lim ε→ 0

sup ‖∆A‖=ε

vp(A+∆A)−vp(A) ‖∆A‖

≥ lim ε→ 0

ε ε

• En general: multiplicitat λ=m ⇒ ∃ pertorbacions A ≈ ε que donen pertorbacions en λ ≈ ε

1 m (^) (determinaci´o v.p. m´ultiples mal condicionat)

Aplicacions

Matrius normals

• Conseq¨u`encia: condici´o λ ≤ κ(P ) ⇒ bon condicionament quan κ(P ) petit.
• Millor cas: κ(P ) = 1 (matrius ortogonals o unit`aries en norma 2).
• Dedu¨ım: matrius diagonalitzables per matrius ortogonals o unitaries donen problemes de valors propis perfectament condicionats, ideals des del punt de vista numeric.
• Aquestes matrius s’anomenen matrius normals.

MATRIUS SIMETRIQUES`

Matrius sim`etriques

Reducci´o a forma tridiagonal

• Transformaci´o de Householder H 1 tal que

H 1 =

[

0 H˜ 1

]

, H˜ 1

A 21

An 1

A′ 21

• B = H 1 A, B(1, :) = A(1, :) = A(:, 1)T^ ⇒

B(1, :)H 1 = A(1, :)H 1 = (H 1 A(:, 1))T^ =

A 11

A′ 21

T

=

[

A 11 A′ 21... 0

]

Matrius sim`etriques

Reducci´o a forma tridiagonal

• Esquem`aticament:













 

 

























































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































                                                

                                                

                                                

                                                

                                                

                                                

                                                

                                                

                                                

                                                

                                                

                                                















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































zeros sense modificar modificat

A H A 1 H AH 1 1

• Continuem de manera recursiva amb la submatriu A 1 (2 : n, 2 : n) fins obtenir una matriu tridiagonal ( cost computacional ≈ 83 n^3 ).

Matrius sim`etriques

Iteraci´o del quocient de Rayleigh

• Per reduir el cost de cada iteraci´o ara no podem fer sols una LU (la matriu canvia d’una iteraci´o a l’altra) inicialment i despr´es sustitucions ⇒ cost per iteraci´o O(n^3 ).
• Per`o, A tridiagonal ⇒ (A − λ(i−1)I) tridiagonal i cost de resoldre el sistema O(n)
• Converg`encia excel·lent:
  1. Convergeix per a quasi tot z(0).
  2. Converg`encia ´es c´ubica: λ(i)^ → λ ⇒ |λ − λ(i+1)| = O(|λ − λ(i)|^3 ) (les xifres coincidents entre λ i les aproximacions es triplica en cada iteraci´o!)

ALGORITME QR